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第2课时 乘法的运算律
多个有理数相乘
1.已知a=(-1)×(-2)×(-3),b=(-12)×(-23)×(-34)×(-45),下列叙述正确的是( )
A.a,b皆为正数
B.a,b皆为负数
C.a为正数,b为负数
D.a为负数,b为正数
D
2.4个非零有理数相乘,积的符号是负号,则这4个有理数中,正数有
( )
A.1个或3个 B.1个或2个
C.2个或4个 D.3个或4个
3.大于-5且小于5的所有整数的积是( )
A.576 B.24 C.-576 D.0
4.若五个有理数的积为负数,则这五个数中负数的个数是 .
.
A
D
1个或3个
或5个
乘法的运算律
B
C
D
(2)-989×(-9)+989×(-19)-(-989)×10=989×(9-19+10)=989×0
=0.
A
11.a,b,c在数轴上的位置如图,则( )
A.abc<0 B.ab-ac>0
C.(a-b)c>0 D.(a-c)b>0
12.在数-3,-2,4,5中任取三个数相乘,所得的积中最大的是 .
13.如图是一个简单的数值运算程序.当输入的值为4时,输出的值
为 .
C
30
3
14.某同学把7×(□-3)错抄为7×□-3,抄错后算得答案为y,若正确答案为x,则x-y= .
-18
解:(1)小军的解法较好.
(2)你还有更好的方法吗 如果有,请把它写出来.
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1.3.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法
有理数的减法运算
1.计算1-2,结果是( )
A.3 B.1
C.-1 D.-3
2.下面是小亮同学做的作业,其中正确的是( )
A.(-10)-(+8)=-2
B.0-(-2 020)=-2 020
C.-2 020-2 020=0
D.-2 020-(+20)=-2 040
C
D
3.下列说法正确的是( )
A.减去一个数等于加上一个数
B.两个相反数相减得0
C.两个数相减差一定小于被减数
D.两个数相减,差不一定小于被减数
4.若a的相反数是-3,b的绝对值是4,且|b|=-b,则a-b= .
5.若x=4,则|x-5|= .
D
7
1
6.计算:
(1)(-5)-2;(2)7.21-(-9.35);(3)0-(+3).
解:(1)(-5)-2=(-5)+(-2)=-7.
(2)7.21-(-9.35)=7.21+9.35=16.56.
(3)0-(+3)=0+(-3)=-3.
有理数减法的应用
7.某种植物成活的主要条件是该地区的四季温差不得超过20 ℃,已知某地区适合大面积栽培这种植物,若该地区四季最高气温为37 ℃,不考虑其他因素,则该地区四季最低气温可以是( )
A.12 ℃ B.18 ℃ C.-11 ℃ D.-45 ℃
B
0.06 mm
9.某班6名同学的身高(单位:cm)情况如表:
同学 A B C D E F
身高 165 166 171
身高与班级平 均身高的差值 -1 +2 -3 +3
(1)完成表中空白的部分.
解:(1)由题意,得
班级的平均身高为165-(-1)=166(cm),
166+2=168(cm),166-166=0(cm),
166-3=163(cm),166+3=169(cm),
171-166=5(cm),
故从左到右,从上到下依次填入168,163,169,0,5.
(2)6名同学身高的最大值和最小值的差是多少
(3)求6名同学的平均身高.
解:(2)根据表格,知身高最大值为171 cm,身高最小值为163 cm,
171-163=8(cm).
答:6名同学身高的最大值和最小值的差是8 cm.
10.已知|a|=8,|b|=3,且|a-b|=b-a,则a+b的值为( )
A.5或11 B.-5或-11
C.-5 D.-11
11.若x的相反数是5,|y|=9,且x+y<0,则x-y的值是( )
A.-14 B.4
C.-14或4 D.14或-4
B
B
12.巴黎与北京的时差为-7小时(正数表示同一时刻巴黎时间比北京时间早的时间),如果北京时间是9月2日14:00,那么同一时刻巴黎时间是( )
A.9月2日21:00 B.9月2日7:00
C.9月1日7:00 D.9月2日5:00
13.已知a,b都是有理数,且|a-1|+|b+2|=0,则a-b= .
14.设[x]表示不超过x的最大整数,如:[1.99]=1,[-1.02]=-2,根据此规律计算:[-3.4]-[-0.6]= .
B
3
-3
16.(分类讨论题)若有理数x,y满足|x|=9,|y|=5,且|x+y|=x+y,求x-y的值.
解:因为|x|=9,所以x=±9.
因为|y|=5,所以y=±5.
因为|x+y|=x+y,所以x+y≥0,
所以x=9,y=±5.
当x=9,y=5时,x-y=9-5=4;
当x=9,y=-5时,x-y=9-(-5)=14.
所以x-y的值为4或14.
17.已知A,B两点在数轴上表示的数分别为m,n.
(1)对照数轴填写下表:
m 6 -6 -6 -6 2 -1.5
n 4 0 4 -4 -8 -1.5
A,B两点 间的距离
解:(1)2 6 10 2 10 0
(2)若A,B两点间的距离记为d,试问d与m,n有何数量关系 用文字描述出来.
(3)已知A,B两点在数轴上表示的数分别为x和-1,则A,B两点间的距离d可表示为 ;如果d=3,求x的值.
解:(2)d=|m-n|,文字描述为数轴上两点间的距离d等于两点表示的数之差的绝对值.
(3)d可表示为|x+1|.
根据题意,得|x+1|=3,
可得x+1=3或x+1=-3,
解得x=2或x=-4.
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1.5.3 近似数
近似数
1.下列各数据中,是近似数的有( )
①小明的身高是172.5厘米;②黄山莲花峰的海拔是1 864.8 m;③小强买笔花了4.8元;④小军同学的体重是60千克.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
2.我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠,该成果领先世界一千多年.圆周率π≈
3.141 592 6,按照四舍五入法对π精确到百分位是( )
A.3.1 B.3.10
C.3.14 D.3.15
3.数4是4.3的近似数,其中4.3叫做真值.若一个数经四舍五入得到的近似数是12,则下列各数中不可能是12的真值的是( )
A.12.38 B.12.66
C.11.99 D.12.42
C
B
4.用四舍五入法,对下列各数按括号中的要求取近似数:
(1)0.632 8(精确到0.01);
(2)7.912 2(精确到个位);
(3)130.96(精确到十分位);
(4)46 021(精确到百位).
解:(1)0.632 8≈0.63.(2)7.912 2≈8.
(3)130.96≈131.0.(4)46 021≈4.60×104.
由近似数确定近似的位数
5.近似数13.95亿,是精确到( )
A.百分位 B.百万位
C.千万位 D.千位
6.用四舍五入法按要求对21.672 54分别取近似数,下列判断正确的是( )
A.21.67精确到十分位 B.21.673精确到千分位
C.21.7精确到百分位 D.21.672 5精确到0.001
B
B
7.对于近似数3.07×104,下列说法正确的是( )
A.精确到0.01 B.精确到千分位
C.精确到万位 D.精确到百位
8.圆周率π=3.141 592 6…,取近似数3.142,是精确到 位;近似数1.5×105精确到 位.
D
千分
万
9.下列各近似数精确到什么位 请分别指出来.
(1)0.016;(2)1 680;(3)1.20;(4)2.49万.
解:(1)精确到千分位.
(2)精确到个位.
(3)精确到百分位.
(4)精确到百位.
10.当数M精确到0.01时,近似数是2.90,那么数M的范围是( )
A.2.8≤M<3 B.2.80≤M≤3.00
C.2.85≤M<2.95 D.2.895≤M<2.905
11.下列三个关于近似数的说法:①近似数2.6的准确值a满足2.60≤
a<2.65;②近似数3.05万精确到0.01;③近似数1.6和近似数1.60的精确度相同.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
D
A
12.数据“275 809.4万”精确到千万位可用科学记数法表示为( )
A.27×108 B.2.76×109
C.2.758×109 D.2.7×109
13.在-5.745,-5.75,-5.738,-5.805,-5.794,-5.845这6个数中,精确到十分位得-5.8的数共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
14.某市九年级考生约有14 978人,数据14 978精确到千位为
.
B
C
1.5×104
15.如图,一个圆形喷水池的半径是3米,要在其周围修1米宽的小路.小路的面积是多少平方米 (π取3.14,结果精确到0.01平方米)
解:3+1=4(米),
π×(42-32)≈21.98(平方米).
答:小路的面积约为21.98平方米.
16.车工小王加工了两根轴,当他把轴交给质检员验收时,质检员说:
“不合格.”小王说:“图纸要求精确到2.60 m,一根轴长为2.56 m,另一根轴长为2.62 m,怎么不合格 ”
(1)图纸要求精确到2.60 m,则工人加工轴的长度范围是多少
(2)你认为是小王加工的轴不合格,还是质检员故意刁难
解:(1)设工人加工轴的长度为x.因为图纸要求精确到2.60 m,
所以工人加工轴的长度范围是2.595 m≤x<2.605 m.
(2)由(1),知轴的长度范围是2.595 m≤x<2.605 m,
所以轴长为2.56 m与2.62 m的产品不合格.
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1.2.4 绝对值
第1课时 绝对值
绝对值的定义
2.下列说法错误的有( )
①绝对值是其本身的数有两个,它们是0和1;②一个数的绝对值必为正数;③2的相反数的绝对值是2;④任何数的绝对值都不是负数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.π-4的绝对值是 .
B
B
4-π
绝对值的性质
5.(2023长春月考)下列各式中,不成立的是( )
A.|-3|=3 B.-|3|=-3
C.|-3|=-3 D.-|-3|=-3
6.若a=|-a|,则a是( )
A.零 B.负数
C.非负数 D.负数或零
7.已知|-m|=3,则m的值为 .
8.当|a|+3取最小值时,2a+8的值为 .
C
C
3或-3
8
9.某配件厂生产一批圆形的橡胶垫,从中抽取6件进行检验,比标准直径(单位:mm)长的部分记作正数,比标准直径短的部分记作负数,检查记录如表(单位:mm):
1 2 3 4 5 6
+0.4 -0.2 +0.1 0 -0.3 +0.25
(1)哪件产品的质量相对较好 请你用学过的绝对值知识说明.
解:(1)因为|+0.4|=0.4,|-0.2|=0.2,|+0.1|=0.1,|0|=0,|-0.3|=
0.3,|+0.25|=0.25,
所以|0|<|+0.1|<|-0.2|<|+0.25|<|-0.3|<|+0.4|,
所以第4件质量较好.
(2)若规定与标准直径相差不大于(小于或等于)0.2 mm为合格产品,则上面的6件产品中有几件是不合格产品
解:(2)因为|+0.4|=0.4>0.2,|-0.3|=0.3>0.2,|+0.25|=0.25>0.2,
所以第1,5,6这3件产品不合格,第2,3,4这3件产品合格,
所以6件产品中有3件是不合格产品.
10.如果a表示一个任意有理数,那么下面说法正确的是( )
A.-a是负数
B.|a|一定是正数
C.|a|一定不是负数
D.|-a|一定是负数
11.若a=-5,|a|=|-b|,则b的值为( )
A.+5 B.-5
C.0 D.±5
C
D
12.已知a与b的和为2,b与c互为相反数,若|c|=1,则a的值为( )
A.1或3 B.2或-4
C.3 D.3或-3
13.满足|a+5|+|a-3|=8的整数a有( )
A.4个 B.5个 C.7个 D.9个
14.若|x|=-x,则x一定是 .
15.如图,图中数轴的单位长度为1,如果点B,C所表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是 .
A
D
非正数
-5
2
17.计算:
(1)|-3|+|+5|-|-4|;
(2)|-3|×|-6|-|-7|×|+2|.
解:(1)|-3|+|+5|-|-4|=3+5-4=4.
(2)|-3|×|-6|-|-7|×|+2|=3×6-7×2=18-14=4.
18.一条直线流水线上依次有5个机器人,它们站的位置在数轴上依次用点A1,A2,A3,A4,A5表示,如图.
(1)站在点 上的机器人表示的数的绝对值最大,站在点 和点 , 和 上的机器人到原点的距离相等.
解:(1)因为|-4|最大,
所以站在点A1上的机器人表示的数的绝对值最大.
因为|-3|=|3|,|-1|=|1|,
所以站在点A2和A5,A3和A4上的机器人到原点的距离相等.
(2)怎样将点A3移动,使它先到达A2点,再到达A5点 请用文字语言说明.
(3)若原点是零件供应点,则5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少
解:(2)点A3向左移动2个单位长度到达A2点,再向右移动6个单位长度到达A5点.
(3)|-4|+|-3|+|-1|+|1|+|3|=12.
故5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12个单位长度.
解:(2)π-3.14
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第2课时 有理数大小的比较
利用数轴比较有理数的大小
1.(2023淄博月考)有理数a,b在数轴上的位置如图,则a,b的大小关系是( )
A.a
b
C.a=b D.|a|=|b|
2.若a>b>0,则下列表示数a,b的点在数轴上的位置正确的是( )
B
A
C
A
利用法则比较有理数的大小
6.在下列四个数中,比-5大的数是( )
A.-40 B.0
C.-10 D.-6
B
D
8.(跨学科综合题)几种气体的液化温度(标准大气压)如下表:
其中液化温度最低的气体是( )
A.氢气 B.氮气 C.氨气 D.氧气
9.“霜降”是秋季的最后一个节气,“霜降”之后气温骤降、昼夜温差更大,霜降后的某天,某四个市的最低气温分别是1 ℃,-1 ℃,
0 ℃,-2 ℃,其中最低气温是 ℃.
A
气体 氧气 氢气 氮气 氨气
液化温度/℃ -183 -253 -195.8 -33.35
-2
解:(1)因为-(-5)=5,-|-5|=-5,正数大于一切负数,所以-(-5)>-|-5|.
(2)因为-(+3)=-3,负数小于0,所以-(+3)<0.
11.(跨学科综合题)古筝是中国独特的民族乐器之一,为了保持音准,弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音.如图是某古筝调音器软件的界面,指针指向40表示音调偏高,需放松琴弦.下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦,且最接近标准音(指针指在0处为标准音)的是
( )
A.10 B.20
C.-25 D.-5
D
12.在-0.142 6中用数字3替换其中的一个非零数字后,使所得的数最大,则被替换的数字是( )
A.1 B.2 C.4 D.6
13.有理数a在数轴上的对应点的位置如图,若有理数b满足-aA.2 B.0 C.-1 D.-3
14.已知|x|=3,|y|=2,且x>y,则x的值为 ,y的值为 .
15.(1)比3.5小的非负整数是 .
(2)绝对值大于2而不大于4的所有正整数的和为 .
C
D
3
±2
0,1,2,3
7
16.有理数a<0,b>0,c>0,且|b|<|a|<|c|.
(1)如图,在数轴上将a,b,c三个数表示出来,把a,b,c填入括号的正确位置;
(2)a+c 0,b-c 0,ac 0;(用“>”或“<”填空)
(3)将a,b,c,-c,0用“<”连接.
解:(2)因为a<0,b>0,c>0,且|b|<|a|<|c|,
所以a+c>0,b-c<0,ac<0.
(3)-c解:(1)当a>0时,2a>a;
当a=0时,2a=a;
当a<0时,2a谢谢观赏！(共14张PPT)
1.2.3 相反数
相反数的意义
1.(2023开封月考)在8,-4,5,-3,4,0这六个数中,互为相反数的是
( )
A.8和-3 B.8和-4
C.5和0 D.-4和4
D
A
B
A
5.已知m与-10互为相反数,则m= ;如果-a=2,那么a= .
6.已知数轴上A,B两点表示的数互为相反数,并且两点间的距离是
2 022,点A在点B的左边,则点A,B表示的数分别是 .
10
-2
-1 011,1 011
化简多重符号
8.-2的相反数应表示为( )
A.+(-2) B.-(-2)
C.-(+2) D.+(+2)
9.下列式子的化简结果是5的是( )
A.-(-5) B.-(+5)
C.-[-(-5)] D.-[+(+5)]
B
A
10.下列化简正确的是( )
A.-(+3)=3
B.-[-(-11)]=-11
C.-(-5)=-5
D.-[-(+9)]=-9
B
B
12.化简下列各数:
+(-7),-(+1.4),+(+2.5),-[+(-5)],-[-(-2.8)] ,-(-6),-[-(+6)].
解:+(-7)=-7,
-(+1.4)=-1.4,
+(+2.5)=2.5,
-[+(-5)]=5,
-[-(-2.8)]=-2.8,
-(-6)=6,
-[-(+6)]=6.
13.下列各对数:+(-3)与-3,+(+3)与+3,-(-3)与+(-3),-(+3)与+
(-3),+(+3)与-(-3),+3与-3.其中互为相反数的有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
14.若2a-3与-7互为相反数,则a= .
15.数轴上A点表示-3,B,C两点表示的数互为相反数,且点B到点A的距离是2,则点C表示的数是 .
A
5
1或5
16.如图,数轴的单位长度为1.请回答下列问题:
(1)如果点A,B表示的数互为相反数,那么点C表示的数是多少
(2)如果点D,B表示的数互为相反数,那么点C,D表示的数分别是多少
解:(1)因为点A,B表示的数互为相反数,所以原点就应该是线段AB的中点,即在点C右边一格,所以点C表示数-1.
(2)如果点D,B表示的数互为相反数,那么原点在线段BD的中点,即点C左边半格,所以点C表示的数是0.5,点D表示的数是-4.5.
17.已知表示数a的点在数轴上的位置如图.
(1)在数轴上标出a的相反数的位置.
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度,则a表示的数是多少
(2)因为数a与其相反数相距20个单位长度,所以表示数a的点到原点的距离为10,且在原点的左侧,据此可得a=-10.
即a表示的数是-10.
(3)在(2)的条件下,若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度,则b表示的数是多少
解:(3)-a=10.
当b在-a的右边时,b表示的数是10+5=15;
当b在-a的左边时,b表示的数是10-5=5.
即b表示的数是5或15.
18.化简下列各式的符号,并探究运算规律.
(1)-[-(-2)];
(2)+{-[-(+5)]};
(3)-{-[-…-(-6)…]}(共n个负号);
解:(1)-2.
(2)5.
(3)当n为偶数时,为6;当n为奇数时,为-6.
(4)根据上面的计算,总结多重符号化简的规律.
解:(4)化简的规律:
①多重符号化简的结果的符号与正号的个数无关;
②多重符号化简的结果的符号与负号的个数有关,有偶数个负号时,结果为原来的数;有奇数个负号时,结果为原来的数的相反数.
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1.5.2 科学记数法
用科学记数法表示较大的数
1.(2022淮安)2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出,今年城镇新增就业目标为11 000 000人以上.数据
11 000 000用科学记数法表示应为( )
A.0.11×108 B.1.1×107
C.11×106 D.1.1×106
B
2.(2022黔西南)据央视6月初报道,电信5G技术赋能千行百业,打造数字经济底座.5G牌照发放三年来,三大电信运营商共投资4 772亿元.把4 772亿用科学记数法表示为( )
A.4.772×109 B.4.772×1010
C.4.772×1011 D.4.772×1012
3.2022年2月20日,北京冬奥会完美“收官”,北京冬奥会从申办成功以来带动全国约346 000 000人参与冰雪运动,346 000 000用科学记数法表示为 .
C
3.46×108
4.用科学记数法表示下列各数.
(1)3 000 000;(2)-52 000;(3)38 000 000;(4)-642 000;
(5)6 900 000;(6)36.53万.
解:(1)3 000 000=3×106.
(2)-52 000=-5.2×104.
(3)38 000 000=3.8×107.
(4)-642 000=-6.42×105.
(5)6 900 000=6.9×106.
(6)36.53万=3.653×105.
将用科学记数法表示的数还原成原数
5.某市2022年GDP总量约为6.49×1011元.数据6.49×1011可以表示为( )
A.64.9亿 B.649亿
C.6 490亿 D.64 900亿
6.某整数用科学记数法表示为-3.6×106,则这个整数是( )
A.360 000 B.3 600 000
C.-360 000 D.-3 600 000
C
D
7.把下列用科学记数法表示的数还原成原数.
(1)3.25×105;
(2)-4.057×108;
(3)7.03×106;
(4)-2.450×103.
解:(1)3.25×105=325 000.
(2)-4.057×108=-405 700 000.
(3)7.03×106=7 030 000.
(4)-2.450×103=-2 450.
8.已知某人每毫升血液中约有420万个红细胞,则5×102毫升血液中红细胞的个数用科学记数法表示为( )
A.21×1012 B.2.1×1013
C.21×108 D.2.1×109
9.已知光速为300 000千米/秒,光经过t(1≤t≤10)秒传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米,则n可能为( )
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
D
C
10.当地球与火星处于最远位置时,从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒.已知光速约为3×108米/秒,则地球与火星处于最远位置时的距离是( )
A.3.84×1011米 B.3.84×108米
C.3.784×1011米 D.3.784×108米
A
11.节约用水是每一个公民应当遵循的准则.把下列计算结果用科学记数法表示.
(1)如果按每人每天需水2千克计算,那么100万人一天约需水多少
千克
解:(1)100万=106,所以100万人一天约需水106×2=2×106(千克).
(2)若你家每天用水量为400千克,我国现有人口约14亿,若每人每天节约10克水,一天节约的水够你家用多长时间
解:(2)14亿=1 400 000 000,
10克=0.01千克,
所以14亿人每天节约的水约为
1 400 000 000×0.01=14 000 000(千克),
这些水够家用
14 000 000÷400=35 000=3.5×104(天).
12.先计算,然后根据计算结果回答问题:
(1)①(1×102)×(2×104)= ,
②(2×104)×(3×107)= ,
③(3×107)×(4×104)= ,
④(4×105)×(5×1010)= ;
解:(1)①2×106
②6×1011
③1.2×1012
④2×1016
(2)已知式子(a×10n)×(b×10m)=c×10p成立,其中a,b,c均为大于或等于1且小于10的数,m,n,p均为正整数,你能说出m,n,p之间存在的数量关系吗
解:(2)(a×10n)×(b×10m)=ab×10m+n=c×10p.
因为a,b,c均为大于或等于1且小于10的数,m,n,p均为正整数,
所以当ab<10时,m+n=p;当ab≥10时,m+n+1=p.
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1.4.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
有理数的除法
B
A
5.计算:
(1)(-2.7)÷(-0.4);
(2)(-32)÷4×(-8).
(2)(-32)÷4×(-8)=(-8)×(-8)=64.
分数的化简
C
B
B
(2)写出本题的正确解答过程.
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第2课时 有理数的混合运算
有理数的混合运算
B
A
3.对有理数a,b,规定运算如下:a b=a-ab,则-2 3的值为( )
A.-10 B.-6
C.6 D.4
4.若a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数,数c在数轴上对应的点与原点的距离为1,则a+b2+|c|= .
5.已知|x|=3,y2=4且xy<0,则(x+y)2 023的值为 .
C
0
1或-1
解:(1)9+5×(-3)-(-2)2÷4=9+(-15)-1=-7.
(3)18+32+(-2)3-(-4)2×5-|-4|=18+32+(-8)-16×5-4
=18+32-8-80-4=-42.
利用乘方特点探求规律性变化
7.按照一定规律排列的数:-2,4,-8,16,-32,64,…,第n个数为( )
A.(-1)2·n2 B.(-1)n·2n
C.(-1)n+1·2n D.(-1)n·2n
8.观察图中“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出b的值为 .
D
141
9.“发现问题比解决问题更重要”,这句话启发我们:要想学会数学,就需要观察、发现问题,探索问题的规律性,要有一双敏锐的眼睛.请先观察下列算式,再填空.
32-1=8×1,52-32=8×2.
(1)72-52=8× ;
(2)92-72=8× ;
(3)( )2-92=8×5;
(4)132-( )2=8× ;
(5)通过观察、归纳,用含字母n的式子表示这一规律为 .
.
3
4
11
11
6
(2n+1)2-
(2n-1)2=8n(n为正整数)
C
C
12.我们常用的数是十进制数,计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1),它们两者之间可以互相换算,如将(101)2,(1011)2换算成十进制数应为(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5;(1011)2=1×23+0×
22+1×21+1×20=8+0+2+1=11.按此方式,将二进制数(1001)2换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制数的结果分别为( )
A.9,(1101)2 B.9,(1110)2
C.17,(1101)2 D.17,(1110)2
A
13.请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用,可以重复,将四个数-2,4,-6,8组成算式(四个数都用且每个数只能用一次),使运算结果为24,你列出的算式是 .
(只写一种)
14.数字运算蕴藏着许多不为人知的奥妙,下面就让我们来做一个数字游戏:
第一步:取一个自然数n1=4,计算+2得a1;
第二步:计算出a1各数位上的数字之和得n2,再计算+2得a2;
第三步:计算出a2各数位上的数字之和得n3,再计算+2得a3……
以此类推,则a2 022= .
8×(-6)÷[4÷(-2)]=24(答案不唯一)
38
15.对于有理数a,b定义一种新运算“ ”:规定a b=|a|+|b|-|a-b|.
(1)计算2 3的值;
解:(1)根据新定义,得
2 3=|2|+|3|-|2-3|
=2+3-1
=4.
(2)当a,b在数轴上的对应位置如图时,化简a b;
(3)已知a<0,a a=12+a,求a的值.
解:(2)由a,b在数轴上的对应位置,得
a>0,b<0,a-b>0,
则a b=|a|+|b|-|a-b|=a-b-a+b=0.
(3)因为a<0,所以a a=-a-a-0=12+a,解得a=-4.
16.(1)计算(-1+5)2与(-1)2+2×(-1)×5+52的值.
(2)计算[2+(-4)]2与22+2×2×(-4)+(-4)2的值.
解:(1)(-1+5)2=42=16,
(-1)2+2×(-1)×5+52=1+(-10)+25=16.
(2)[2+(-4)]2=(-2)2=4,
22+2×2×(-4)+(-4)2=4+(-16)+16=4.
(3)观察(1)(2)的计算结果,你发现了什么规律 根据你发现的规律,解答下列题目:
若(a+2 022)2+|b-2 021|=0,求a2+2ab+b2的值.
解:(3)规律为两数和的平方等于两数的平方和加上两数积的2倍.
因为(a+2 022)2+|b-2 021|=0,
所以a+2 022=0,b-2 021=0,
解得a=-2 022,b=2 021,
则a2+2ab+b2=(a+b)2=(-2 022+2 021)2=(-1)2=1.
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第2课时 加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算
C
A
D
0
有理数加减乘除混合运算的应用
B
7.某冷库的温度是-4 ℃,现有一批食品必须在 -36 ℃ 以下冷藏,如果每小时能降温8 ℃,那么 h后能达到所要求的温度.
8.根据实验测定:高度每增加1 km,气温大约降低6 ℃.某登山运动员在攀登某山峰的途中发回信息,报告他所在高度的气温为-15 ℃.如果当时地面气温为3 ℃,求此时该登山运动员所在位置相对地面的高度.
4
解:根据题意,得[3-(-15)]÷6×1=3(km).
答:此时该登山运动员所在位置相对地面的高度是3 km.
计算器的应用
B
-10
11.有个填写运算符号的游戏:在“4□6□9□2”中的每个□内填入+,-,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.若4÷6×9□2=
8,则在□内的符号为( )
A.+ B.-
C.× D.÷
A
①②④
12
解:(1)二 运算顺序错误 三 符号错误
(2)把正确的解题过程写出来.
(1)依依的解法是错误的,最开始出现错误的步骤是 .
(2)请给出正确的解题过程.
解:(1)第一步
16.对于有理数a,b,定义运算:a b=ab-2a-2b+1.
(1)计算5 4的值.
(2)计算[(-2) 6] 3的值.
解:(1)5 4=5×4-2×5-2×4+1=20-10-8+1=3.
(2)原式=[-2×6-2×(-2)-2×6+1] 3
=(-12+4-12+1) 3=(-19) 3
=-19×3-2×(-19)-2×3+1
=-24.
(3)对于定义的新运算,交换律是否还成立 请写出你的探究过程.
解:(3)成立.
因为a b=ab-2a-2b+1,b a=ab-2b-2a+1,
所以a b=b a,
所以对于定义的新运算,交换律还成立.
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1.2 有理数
1.2.1 有理数
有理数的概念
1.下列说法正确的是( )
A.0是正数 B.0是负数
C.0是整数 D.0不是自然数
C
B
B
有理数的分类
C
B
A
D
9.如图,每个椭圆表示一个数集,请在每个椭圆内填上6个数,其中三个写在重叠部分.
10.给出一个数-0.101 001 000 1,下列说法正确的是( )
A.这个数不是分数,但是有理数
B.这个数是负数,也是分数
C.这个数不是有理数
D.这个数是一个负小数,不是有理数
B
A
B
13.写出三个有理数,使它们满足:①是负数;②是整数;③能被2,3,5整除,这三个有理数可以是 .
-30,-60,-120(答案不唯一)
(2)非负整数有0,+3.
15.阅读材料:把几个数用大括号括起来,相邻两个数之间用逗号隔
开,如{1,2},{1,4,7},…,我们称之为集合,其中的每一个数称为该集合的元素,注意集合中的元素不能重复.
如果一个所有元素均为有理数的集合满足:当有理数x是集合的一个元素时,10-x也必是这个集合的元素,这样的集合我们又称为黄金集合.例如{0,10}就是一个黄金集合.
回答问题:
(1)集合{1} 黄金集合,集合{-1,10} 黄金集合(两空均填“是”或“不是”);
解:(1)根据黄金集合的定义,10-1=9,而集合{1}中没有9,故集合{1}不是黄金集合;对于集合{-1,10},因为10-10=0,而集合{-1,10}中没有0,故集合{-1,10}不是黄金集合.
(2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合,一个含有四个元素的黄金集合(不能与上述集合重复);
(3)写出元素个数最少的黄金集合.
解:(2)因为10-1=9,10-9=1,故集合{1,9}是黄金集合;因为10-2=8,10
-4=6,10-6=4,10-8=2,故集合{2,4,6,8}是黄金集合.
(3)因为10-5=5,故集合{5}是元素个数最少的黄金集合.
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第2课时 加法的运算律
运用加法运算律计算
C
B
0
1
5.计算:
(1)(-23)+(+58)+(-17);
(2)(-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6;
解:(1)(-23)+(+58)+(-17)
=[(-23)+(-17)]+(+58)
=(-40)+58=18.
(2)(-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6
=[(-2.8)+(-1.5)]+[(-3.6)+3.6]
=(-4.3)+0=-4.3.
(4)(-2.5)+(-3.26)+5.5+(+7.26).
解:(4)(-2.5)+(-3.26)+5.5+(+7.26)
=[(-2.5)+5.5]+[(+7.26)+(-3.26)]
=3+4
=7.
有理数加法运算律的应用
6.一天早晨的气温是-7 ℃,中午上升了11 ℃,晚上又下降了9 ℃,则晚上的气温是( )
A.-5 ℃ B.-6 ℃ C.-7 ℃ D.-8 ℃
7.某人用400元购买了8套儿童服装,准备以一定价格出售.他以每套55元的价格为标准,将超出的记作正数,不足的记作负数,记录如下
(单位:元):+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2.他卖完这八套儿童服装后
(填“盈利”或“亏损”)了 元.
A
盈利
37
8.有一批食品罐头,标准质量为每听454 g,现抽取10听样品进行检
测,结果如表(单位:g):
这10听罐头的总质量是多少
听号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
质量 444 459 454 459 454 454 449 454 459 464
解:把超过标准质量的克数用正数表示,不足标准质量的克数用负数表示,列出10听罐头的质量与标准质量的差值如表(单位:g):
听号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
差值 -10 +5 0 +5 0 0 -5 0 +5 +10
这10听罐头的质量与标准质量的差值和为
(-10)+5+0+5+0+0+(-5)+0+5+10
=[(-10)+10]+[(-5)+5]+(5+5)
=10(g).
因此,这10听罐头的总质量为454×10+10=4 540+10=4 550(g).
9.把笔尖放在数轴上表示数-2的点处,沿数轴先向左(负方向)移动6个单位长度,再向右移动3个单位长度,用算式表示上述过程与结果,正确的是( )
A.-2+(-6)+3=-5
B.-2+(-6)+(-3)=-11
C.-2+6+(-3)=1
D.-2+6+3=7
A
D
0
-9
12.若符号[a,b]表示两数中较大的一个数,符号(a,b)表示两数中较小的一个数,则计算(1,-2)+[-1,-3]的结果是 .
-3
4
14.一名足球守门员练习折返跑,从球门的位置出发,向前记作正数,返回记作负数,他的记录如下(单位:米):+6,-2,+10,-8,-7,+11,-10.
(1)守门员是否回到了原来的位置
(2)守门员离开球门的位置最远是多少米
解:(1)根据题意,得6+(-2)+10+(-8)+(-7)+11+(-10)=0(米).
所以守门员回到了原来的位置.
(2)第一次离开6米,第二次离开4米,第三次离开14米,第四次离开6米,第五次离开1米,第六次离开10米,第七次离开0米,
则守门员离开球门的位置最远是14米.
(3)守门员一共跑了多少米
解:(3)总路程为|+6|+|-2|+|+10|+|-8|+|-7|+|+11|+|-10|=54(米).
故守门员一共跑了54米.
15.在如图的程序中,若第1次输入的数x是2,则输出的结果是a;若第2次输入的数x是a,则输出的结果是b;若第3次输入的数x是b,则输出的结果是c;若第4次输入的数x是c,则输出的结果是d……
(1)分别求出a,b,c,d的值;
解:(1)a=-|2+(-5)+8|=-5,
b=-|-5+(-5)+8|=-2,
c=-|-2+(-5)+8|=-1,
d=-|-1+(-5)+8|=-2.
(2)按上面的规律进行下去,第2 022次输出的结果是多少
解:(2)输出结果依次是-5,-2,-1,-2,-1,-2,-1,-2,….
因为2 022是偶数,
所以第2 022次输出的结果是-2.
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1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方
第1课时 有理数的乘方
有理数乘方的意义
1.(-3)5表示( )
A.-3乘5 B.5个-3相乘
C.3个-5相乘 D.3个-5相加
B
A
3.关于-94的说法,正确的是( )
A.底数是-9
B.表示4个-9相乘
C.表示9个-4相乘
D.底数是9,指数是4
4.对于(-2)4与-24,下列说法正确的是( )
A.它们的意义相同
B.它们的结果相等
C.它们的意义不同,结果相等
D.它们的意义不同,结果不等
D
D
有理数乘方的运算
B
A
7.在|-1|,(-1)2,(-1)3这三个数中,等于-1的有( )
A.0个 B.2个
C.1个 D.3个
8.若(a-1)2+|b-2|=0,则(a-b)2 023的值是 .
9.计算(-1)2 023×(-2)2的结果为 .
C
-1
-4
解:(1)(-5)4=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625.
(2)-54=-(5×5×5×5)=-625.
A
B
13.我们规定:若一个整数能表示成a2+b2(a,b是整数,且a≠b)的形
式,则称这个数为“完美数”.例如,10是“完美数”,理由:因为10=
32+12,所以10是“完美数”.下列各数中,“完美数”是( )
A.18 B.48
C.29 D.28
C
15.已知(x+3)2与|y-2|互为相反数,z是绝对值最小的有理数,求(x+y)y+xyz的值.
解:因为(x+3)2与|y-2|互为相反数,
所以(x+3)2+|y-2|=0.
因为(x+3)2≥0,|y-2|≥0,
所以(x+3)2=0,|y-2|=0,
即x+3=0,y-2=0,
所以x=-3,y=2.
因为z是绝对值最小的有理数,所以z=0.
所以(x+y)y+xyz=(-3+2)2+(-3)×2×0=1.
16.有一张厚度是0.1 mm的纸,将它对折1次后,厚度为2×0.1 mm.
(1)对折4次后,厚度是多少
(2)对折15次后,厚度是多少
(3)如果一层楼高约为3 m,那么把纸对折15次后,其厚度与一层楼相比,哪个高 (215=32 768)
解:(1)对折4次后,纸的厚度是24×0.1=1.6(mm).
(2)对折15次后,纸的厚度是215×0.1 mm.
(3)215×0.1=3 276.8(mm).因为3 276.8 mm=3.276 8 m>3 m,
所以把纸对折15次后,其厚度大于一层楼的高度.
17.定义:若10x=N,则x=log10N,称x为以10为底的N的对数,简记为lgN,其满足运算法则:lgM+lgN=lg(M·N)(M>0,N>0).例如:因为102=100,所以2=lg100,亦即lg100=2;lg4+lg3=lg12.根据上述定义和运算法
则,计算(lg2)2+lg2·lg5+lg5的结果为( )
A.5 B.2 C.1 D.0
C
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1.3 有理数的加减法
1.3.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法
有理数的加法运算
1.计算(-20)+40的结果等于( )
A.-20 B.60 C.-60 D.20
2.下列说法错误的是( )
A.两数之和可能小于其中的一个加数
B.两数相加就是它们的绝对值相加
C.两个负数相加,和取负号,绝对值相加
D.两个数若不是相反数,则相加不能得零
D
B
-5
16
(-15)
-1
解:(1)(-24)+(+18)=-(24-18)=-6.
(2)(-10)+(-3)=-(10+3)=-13.
有理数加法的应用
6.某地某天8:00的气温是-2 ℃,15:00的气温比8:00的气温上升了
5 ℃,则该地该天15:00的气温是( )
A.2 ℃ B.3 ℃ C.4 ℃ D.5 ℃
7.在下列各数中,比-1大6的数是( )
A.-7 B.7 C.-5 D.5
8.已知|a|=4>a,|b|=6,那么a+b的值是 .
9.如图,数轴上A,B两点分别对应数a,b,则a+b 0.(用“>”“<”或“=”填空)
B
D
2或-10
>
解:(1)-(+1.2)+|-1.3|=(-1.2)+1.3=0.1.
11.中国人最先使用负数,魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中,用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正,黑色为负).如图①表示的是(+2)+(-2),根据这种表示法,可推算出图②所表示的算式的计算结果是( )
A.9 B.-3 C.+3 D.-9
B
① ②
12.若a是最大的负整数,b是最小的正整数,c的相反数等于它本身,则a+b+c的值是( )
A.-2 B.-1
C.1 D.0
13.如图,在一个由6个圆圈组成的三角形里,把-25到-30这6个连续整数分别填入圆圈中,要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等,那么S的最小值是( )
A.-84 B.-85
C.-86 D.-87
D
A
15.某水果超市购进10箱果冻橙,以每箱25千克为基准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,称重后的记录如下:1.5,0.6,1.3,
-3,1.8,-0.5,1,-2,-2,-1.4.
解决下列问题:
(1)求这10箱果冻橙中最接近标准质量的那箱果冻橙的质量;
解:(1)|-0.5|最小,最接近标准质量,其质量为24.5千克.
答:这10箱果冻橙中最接近标准质量的那箱果冻橙的质量为24.5千克.
(2)与标准质量相比较,求这10箱果冻橙总计超过或不足的质量;
(3)若果冻橙每千克售价8元,求出售这10箱果冻橙收入的金额.
解:(2)1.5+0.6+1.3+(-3)+1.8+(-0.5)+1+(-2)+(-2)+(-1.4)=-2.7
(千克).
答:不足2.7千克.
(3)(25×10-2.7)×8=1 978.4(元).
答:出售这10箱果冻橙收入的金额为1 978.4元.
16.我们给出如下规定:如果两个有理数的和是8,那么称这两个有理数互为“吉祥数”.
(1)下列各数对:①5和3;②-5和13;③-54和46中,互为“吉祥数”的数对有 .(只填写序号)
(2)若一个有理数的“吉祥数”是-3,求这个有理数;
解:(1)5+3=8,-5+13=8,-54+46=-8,
所以①②是互为“吉祥数”数对.
(2)因为11+(-3)=8,
所以这个有理数为11.
(3)在数轴上,点A到原点O的距离是8,请直接写出点A表示的数的“吉祥数”.
解:(3)因为点A到原点O的距离是8,
所以点A表示的数为±8.
当点A表示的数为8时,其“吉祥数”为0;
当点A表示的数为-8时,其“吉祥数”为16.
17.(1)用“>”“<”或“=”填空:
|(-3)+(-5)| |-3|+|-5|,
|6+(-2)| |6|+|-2|,
|(-8)+5| |-8|+|5|,
|(-7)+0| |-7|+|0|;
解:(1)|(-3)+(-5)|=|-3|+|-5|,
|6+(-2)|<|6|+|-2|,
|(-8)+5|<|-8|+|5|,
|(-7)+0|=|-7|+|0|.
(2)归纳猜想:|a+b| |a|+|b|;
(3)当a,b取什么数时,|a+b|=|a|+|b|
解:(2)|a+b|≤|a|+|b|.
(3)当a,b同号或其中有一个数为0时,
|a+b|=|a|+|b|.
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微专题一 有理数的运算技巧
归类与凑整
1.计算:
(1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+5.7;
(2)(-49)-(-91)-(+51)+(-9).
解:(1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+5.7=[(-2.4)+(-4.6)]+[(-3.7)+5.7]
=-7+2=-5.
(2)(-49)-(-91)-(+51)+(-9)
=(-49)+91-51+(-9)
=[(-49)+(-9)]+(91-51)
=(-58)+40=-18.
组合与对消
2.计算:
(1)2.8+(-8.5)-(-8.5)-(-1.2);
解:(1)原式=2.8-8.5+8.5+1.2
=(2.8+1.2)+(-8.5+8.5)=4+0=4.
分解与重组
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第一章 章末复习
有理数的相关概念及分类
1.(2022桂林)在东西向的马路上,把出发点记为0,向东与向西意义相反.若把向东走2 km记作“+2 km”,那么向西走1 km应记作( )
A.-2 km B.-1 km C.1 km D.+2 km
B
D
C
C
有理数大小的比较
5.(2022阜新)在有理数-1,-2,0,2中,最小的是( )
A.-1 B.-2
C.0 D.2
B
A
A
有理数的运算
8.(2022温州)计算9+(-3)的结果是( )
A.6 B.-6
C.3 D.-3
A
A
10.(2022杭州)如图,圆圆想了解某地某天的天气情况,在某气象网站查询到该地这天的最低气温为-6 ℃,最高气温为2 ℃,则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)为( )
A.-8 ℃ B.-4 ℃ C.4 ℃ D.8 ℃
D
B
12.(2021河北)如图,将数轴上表示-6与6的两点间的线段六等分,这五个等分点所对应的数依次为a1,a2,a3,a4,a5,则下列结论正确的是
( )
A.a3>0
B.|a1|=|a4|
C.a1+a2+a3+a4+a5=0
D.a2+a5<0
13.(2022西藏改编)已知a,b都是有理数,若|a+1|+(b-2 022)2=0,则ab= .
C
1
14.(2022烟台)小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则:从一副扑克牌(去掉“大王”“小王”)中任意抽取四张,根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌上的数字只能用一次),使得运算结果等于24.小明抽到的牌如图,请帮小明列出一个结果等于24的算式: .
.
5×6-2×3(答
案不唯一)
15.(2022宜昌)中国是世界上首先使用负数的国家.两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例.《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则,并给出名为“正负术”的算法.请计算以下涉及“负数”的式子的值:-1-(-3)2= .
16.(2022广西)计算:(-1+2)×3+22÷(-4).
-10
解:原式=1×3+4÷(-4)=3-1=2.
科学记数法、近似数
17.(2022镇江)“珍爱地球,人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题,旨在倡导公众保护自然资源.全市现有自然湿地28 700公顷,人工湿地13 100公顷,这两类湿地共有( )
A.4.18×105公顷 B.4.18×104公顷
C.4.18×103公顷 D.41.8×102公顷
B
18.(2022菏泽)2022年3月11日,新华社发文总结2021年中国取得的科技成就.主要包括:北斗全球卫星导航系统平均精度2～3米;中国高铁运营里程超40 000 000米;“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至
10 909米;中国嫦娥五号带回月壤重量1 731克.其中数据40 000 000用科学记数法表示为( )
A.0.4×108 B.4×107
C.4.0×108 D.4×106
B
有理数中的规律探究
19.(2022新疆)将全体正偶数排成一个三角形数阵:
按照以上排列的规律,第10行第5个数是( )
A.98 B.100
C.102 D.104
B
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第2课时 加减混合运算
有理数加减混合运算
1.将式子(-20)+(+3)-(-5)-(+7)省略括号和加号后变形正确的是
( )
A.20-3+5-7 B.-20-3+5+7
C.-20+3+5-7 D.-20-3+5-7
C
B
3.式子(-15)+(-6)-(-8)-(+4),写成省略加号和括号的形式为
,读作 或 ,计算结果为 .
-15-6+8-4
负15、负6、正8、负4的和
负15减6加8减4
-17
4.计算:
(1)23-17-(-7)+(-16);
(2)(-26.54)-(-6.4)+18.54-6.4;
解:(1)23-17-(-7)+(-16)=23-17+7-16=(23+7)+(-17-16)=30-33=-3.
(2)(-26.54)-(-6.4)+18.54-6.4
=(-26.54+18.54)+(6.4-6.4)
=-8+0=-8.
有理数加减混合运算的应用
5.某银行的一个储蓄所某天上午在一段时间内办理了5笔储蓄业务
(存入为正,取出为负):+1 080元,-900元,+990元,+1 000元,-1 100元.这时银行现款增加了( )
A.1 080元 B.1 070元
C.1 060元 D.1 050元
6.点A到原点的距离为4个单位长度,且位于原点的左侧,若一个点从A处向右移动2个单位长度,再向左移动7个单位长度,此时终点所表示的数为 .
B
-9
7.分别输入-1,-2,按如图的程序运算,则输出的结果分别是 .
1,0
8.一辆公共汽车从起点站开出后,途中经过6个停靠站,最后到达终点站.下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况,其中正数表示上车人数.
停靠 站 起点 站 中间 第1 站 中间 第2 站 中间 第3 站 中间 第4 站 中间 第5 站 中间 第6 站 终点
站
上下车 人数 +21 -3 +8 -4 +2 0 +4 -7 +1 -9 +6 -7 0 -12
(1)中间第4站上车人数是 人,下车人数是 人.
(2)中间的6个站中,第 站没有人上车,第 站没有人下车.
(3)中间第2站开车时车上人数是多少 第5站停车时车上人数是多少
解:(1)1 7
(2)6 3
(3)中间第2站开车时车上人数为 21-3+8-4+2=24(人),
第5站停车时车上人数为 21-3+8-4+2-0+4-7+1=22(人).
9.实际测量一座山的高度时,有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度(如A-C为90米表示观测点A比观测点C高90米),然后用这些相对高度计算出山的高度.下表是某次测量数据的部分记录,根据这次测量的数据,可得A-B是( )
A.210米 B.130米 C.390米 D.-210米
A
A-C C-D E-D F-E G-F B-G
90米 80米 -60米 50米 -70米 40米
C
7
14.通过计算下列每对数在数轴上的对应点之间的距离,你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗
解:(1)数轴上两点之间的距离等于这两点表示的两个数之差的绝对值.
(2)|x-1|
(3)-2
(1)请将你的发现用文字语言叙述如下: ;
(2)数轴上表示数x与1的两点之间的距离可用符号语言记作 ;
(3)|x+2|的含义是数轴上表示数x与 的两点之间的距离;
(4)请你在草稿纸上画出数轴,当表示数x的点在表示-2与3的两点之间移动时,可以发现|x-3|+|x+2|的值总是一个固定的值,求这个值.
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第一章 有理数
1.1 正数和负数
正数和负数的概念
A
2
相反意义的量
4.如果向东走2 m记为+2 m,那么向西走3 m可记为( )
A.+3 m B.+2 m C.-3 m D.-2 m
5.《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”.意思是:今有两数,若其意义相反,则分别叫做正数与负数.若收入50元记作+50元,则-20元表示( )
A.收入20元 B.收入30元
C.支出20元 D.支出30元
C
C
6.(易错题)下列各对量:①汽车向北行驶30千米和汽车向南行驶45千米;②气温升高5摄氏度与气温为-5摄氏度;③收入3万元与亏损3万
元;④甲、乙两支篮球队进行了两场比赛,甲、乙两队的比分分别是65∶60和60∶65.具有相反意义的量有 对.
1
7.某车床生产一种工件,该工件的标准直径为(400±10 )mm,下面是从中抽取的5个工件的检测结果(单位:mm):305,408,402,380,405.该车床所生产的工件的合格率是多少
8.(2023德州月考)已知每袋大米以50 kg为标准,其中超过标准的千克数记为正数,不足的千克数记为负数.
(1)图中第2袋大米的实际质量是 kg.
(2)这五袋大米的总质量是多少千克
解:(1)50-0.3=49.7(kg).
(2)(50+0.6)+(50-0.3)+(50-0.7)+(50+1.1)+(50+0.9)=251.6(kg).
答:这五袋大米的总质量是251.6 kg.
9.(2023廊坊月考)2020年,中尼两国领导人共同宣布珠穆朗玛峰最新高度——8 848.86米.2022年5月4日,我国科考队员成功在珠峰海拔
8 830米处架设自动气象观测站,这是全世界海拔最高的自动气象观测站.若将自动气象观测站作为基准,记珠峰山顶为+18.86米,则海平面应记为( )
A.-8 830米 B.0米
C.-8 848.86米 D.+8 830米
A
10.北京与莫斯科的时差为5小时,例如,北京时间13:00,同一时刻的莫斯科时间是8:00.小丽和小红分别在北京和莫斯科,她们相约在各自当地时间9:00～17:00之间选择一个时刻开始通话,这个时刻可以是北京时间( )
A.10:00 B.12:00 C.15:00 D.18:00
C
11.某房地产公司推出该县城商品房的报价:基础价格为4 000元/平方米,各楼层的价格在基础价格的基础上进行上浮或下调,如下表(“+”表示上浮的百分比,“-”表示下调的百分比).
如果工人老李同时看中了三楼和六楼面积均为110平方米的户型,那么这两个户型的总差价是 元.
楼层 1 2 3 4 5 6
差价百 分比 -2% +12% +15% +12% +8% -10%
110 000
12.某公交车原有22位乘客,经过4个站点时上下车情况如下(上车为正,下车为负):(-8,+4),(-5,+6),(-3,+2),(-7,+1),则车上还有
位乘客.
12
14.国庆节放假七天,高速公路免费通行,各地风景区游人如织.某景点在10月1日的游客人数就已经达到了7万人,接下来的六天中,每天的游客人数变化(单位:万人)如表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数):
日期 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月
7日
人数 变化 +0.6 -0.2 +0.1 +0.2 -0.8 -1.6
(1)10月3日的人数为 万人;
解:(1)10月3日的人数为7+0.6-0.2=7.4(万人).
(2)这七天,游客人数最多的是10月 日,达到 万人,游客人数最少的是10月 日,为 万人;
解:(2)10月2日的人数为7+0.6=7.6(万人),
10月3日的人数为7.6-0.2=7.4(万人),
10月4日的人数为7.4+0.1=7.5(万人),
10月5日的人数为7.5+0.2=7.7(万人),
10月6日的人数为7.7-0.8=6.9(万人),
10月7日的人数为6.9-1.6=5.3(万人),
所以10月5日,人数最多,达到7.7万人;10月7日,人数最少,为5.3万人.
(3)请计算这7天参观该景点的总人数.
解:(3)7+7.6+7.4+7.5+7.7+6.9+5.3=49.4(万人).
答:这7天参观该景点的总人数为49.4万人.
15.观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律 接着填出后面的2个数,并指出第100个数是什么数.
(1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,….
解:(1)中,1和-1交错排列,很容易可以看出,如果n为奇数,那么第n个数为1;如果n为偶数,那么第n个数为-1.
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1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法
有理数的乘法
1.计算(-5)×3的结果等于( )
A.-2 B.2
C.-15 D.15
2.下列算式中,积为负数的是( )
A.0×(-5)
B.4×(-0.5)×6×(-10)
C.(-1.3)×(-2)
D.(-2)×(-3)×4×(-5)
C
D
3.下列说法中正确的有( )
①0乘任何数都得0;
②一个数同1相乘,仍得原数;
③-1乘任何有理数都等于这个数的相反数;
④互为相反数的两个数相乘,积是1.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
4.一个数是-3,另一个数比-3的相反数大2,则这两个数的积是( )
A.5 B.-5
C.-15 D.15
C
解:(1)(+4)×(-6)=-(4×6)=-24.
(3)0×(-2 018)=0.
倒数
D
-3
1
10.如果ab>0,a+b<0,那么a,b的符号为( )
A.同正 B.同负
C.一正一负 D.无法确定
11.有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图,则下列结论中错误的是
( )
A.-b<0 B.a+b<0
C.ab>0 D.|a|>|b|
B
C
12.某玩具商店周年店庆,全场八折促销,持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电动汽车原价300元,小明持会员卡购买这个电动汽车需要花( )
A.240元 B.180元
C.160元 D.144元
13.已知|a|=2,|b|=7,若|a-b|=b-a,则ab的值为 .
14.在整数集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}中,选取两个整数填入“□×□=6”的□内,使等式成立,则选取后填入的方法有 种.
D
±14
6
15.已知:-5,1,-3,5,-2中,任意两个数相乘,最大的积为m,最小的积为n.
(1)求m,n的值;
(2)若|x+n|=m,求x的值.
解:(1)m=(-5)×(-3)=15,
n=(-5)×5=-25.
(2)因为|x+n|=m,
所以|x-25|=15,即x-25=±15,
所以x=10或x=40.
16.定义一种新的运算“*”,规定有理数a,b满足a*b=4ab,如2*3=4×
2×3=24.
(1)求3*(-4)的值;
(2)求(-2)*(6*3)的值.
解:(1)3*(-4)=4×3×(-4)=-48.
(2)(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.
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1.2.2 数轴
数轴的定义及画法
1.下列各图中,是数轴的是( )
D
A B C D
2.下列说法:①数轴就是一条直线,直线也是数轴;②通常规定数轴上原点右边的点表示正数,原点左边的点表示负数;③数轴上的点不能表示分数;④画数轴时可以不画原点.其中错误的说法有 .
(填序号)
①③④
用数轴上的点表示有理数
C
D
5.学校、家、书店依次在一条南北走向的大街上,学校在家的南边20米,书店在家的北边100米,张明同学从家里出发,向北走了50米,接着又向北走了-70米,此时张明的位置( )
A.在家 B.在学校
C.在书店 D.不在上述地方
6.(易错题)在数轴上,点A与原点相距6个单位长度,则点A表示的数为
.
B
6或-6
7.如图,数轴上的点A,B,C,D分别表示-3,-1.5,0,4.请回答下列问题.
(1)在数轴上描出A,B,C,D四个点.
(2)B,C两点间的距离是多少 A,D两点间的距离是多少
(3)现在把数轴的原点取在点B处,其余都不变,那么点A,C,D分别表示什么数
解:(2)观察数轴上各点所表示的数,得BC=1.5,即B,C两点间的距离是1.5,AD=7,即A,D两点间的距离是7.
(3)因为点B为原点,AB=1.5,BC=1.5,BD=5.5,
所以A点表示的数是-1.5,C点表示的数是1.5,D点表示的数是5.5.
8.下列说法正确的是( )
A.数轴上所有的点都表示有理数
B.有理数都可以用数轴上的点表示
C.数轴上表示-a的点一定在原点左边
D.数轴上的一个点可以表示两个不同的数
9.在数轴上,位于表示-3和3的点之间的点可以表示的整数有( )
A.7个 B.5个
C.4个 D.无数个
B
B
10.如图,已知纸面上有一数轴,折叠纸面,使表示-3的点与表示1的点重合,则与表示-5的点重合的点表示的数是( )
A.3 B.4 C.5 D.-1
11.如图,将一刻度尺放在数轴上(数轴1个单位长度是1 cm),刻度尺上0 cm对应数轴上的数3,那么刻度尺上6.5 cm对应数轴上的数为
( )
A.-2.5 B.-3.5
C.-6 D.-6.5
A
B
12.如图,A,B,C,D,E为某未标出原点的数轴上的五个点,且相邻两点之间的距离相等,则点B所表示的数是( )
A.2 B.7
C.10 D.12
13.数轴上点M表示有理数-2,将点M向右平移2个单位长度到达点N,点E到点N的距离为4,则点E表示的有理数为( )
A.5 B.5或-3
C.-9或-1 D.-4或4
A
D
14.如图,半径为1个单位长度的圆上有一点A落在数轴上的1处,把圆向左无滑动滚动22圈,那么圆上的A点落在数轴上对应的数是( )
A.-44π B.-44π+1
C.-22 D.-44π-1
B
15.(2023济南月考)如图,数轴上有三个点A,B,C,完成下列问题.
(1)A点表示的数是 ,B点表示的数是 ,C点表示的数是 ;
(2)将点B向右移动5个单位长度到点D,D点表示的数是 ;
(3)在数轴上找点E,使点E到B,C两点的距离相等,则E点表示的数是
;
解:(1)A点表示的数是-2,B点表示的数是-5,C点表示的数是3.
(2)因为点B向右移动5个单位长度到点D,所以D点表示的数是0.
(3)因为点E到B,C两点的距离相等,观察数轴得E点表示的数是-1.
(4)将点E移动2个单位长度后到点F,求点F表示的数.
解:(4)将点E向右移动2个单位长度得到的点表示的数是1,
即此时点F表示的数是1;
将点E向左移动2个单位长度得到的点表示的数是-3,
即此时点F表示的数是-3.
综上所述,点F表示的数是-3或1.
16.(1)借助数轴,回答下列问题.
①从-1到1有3个整数,分别是 ;
②从-2到2有5个整数,分别是 ;
②-2,-1,0,1,2
③从-3到3有 个整数,分别是 ;
④从-200到200有 个整数.
解:③7 -3,-2,-1,0,1,2,3
④因为从-1到1有3个整数,即2×1+1=3;
从-2到2有5个整数,即2×2+1=5;
从-3到3有7个整数,即2×3+1=7;
所以从-200到200有2×200+1=401(个)整数.
(2)根据以上规律,直接写出:从-2.9到2.9有几个整数,从-10.1到10.1有几个整数.
解:(2)因为从-n到n(n为正整数)有(2n+1)个整数,
所以从-2.9到2.9有2×2+1=5(个)整数;
从-10.1到10.1有2×10+1=21(个)整数.
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