21.2.3解一元二次方程—因式分解法 同步练习题2023—2023学年人教版数学九年级上册（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《21.2.3解一元二次方程—因式分解法》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
2．若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为（ ）
A． B． C． D．
3．关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．已知关于x的方程的两个根分别为，，则方程的两个根分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，,
5．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．或
6．若菱形的一条对角线长为10，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．20或24 D．48
7．实数满足方程，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
8．在中，，三边长为整数，且两直角边的长为关于的一元二次方程的两实数根，其中为正整数，则的面积是( )
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．方程的根为．
10．关于x的一元二次方程的解的解为．
11．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？．（填“可能”或“不可能”）
12．关于的一元二次方程有一个根为零，则m的值为
13．一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为．
14．如果关于的方程的解是，，那么关于的方程的解是．
15．已知矩形相邻两边长是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的其中一条对角线长是 ．
16．在直角梯形中，（），，，是上一点，且，，，那么直角梯形的面积是．

三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
19．已知关于x的方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)当m取最大正整数时，求方程的根．
20．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长．
①求k的值；
②求的周长．
21．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．
(2)若，求的值．
(3)利用换元法解方程：．
参考答案
1．解：移项得，
提公因式得，
解得，，
故选：C．
2．解：∵关于的方程的根是2和3，
∴原方程为，
∴，
故选：B．
3．解：∵，
∴， ，
∴，，
故选：A．
4．解：设，则方程变为，
方程的两个实数根是，，
∴方程的两个实数根是，，
∴或，
或，
方程的两个实数根是，．
故选：C．
5．解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴把代入方程，
得，
解得或，
又∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
综上所述，a的值为3或，
故选：C.
6．解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
①当时，，不能构成三角形；
②当时，，能构成三角形，
∴菱形的周长．
故选：B．
7．解：根据题意，设，则原式变形得，
因式分解法解一元二次方程得，，
∴，，
当时，，变形得，，根据判别式，无实根；
当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；
∴，
故选：．
8．解：∵，
解得，
为正整数，
或
当时，，
解得：，，
此时不为整数，故舍去，
当时，，
解得：，，
故，，则；
的面积是，
故选：B．

9．解：
或
∴，．
故答案为：，．
10．解：∵，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，．
解：，
，
或，
即三边为6、11、20，
，不符合三角形三边关系定理，
这个三角形的第三边的长不可能是20，
故答案为：不可能．
12．解：∵关于的一元二次方程有一个根为零，
∴把代入得，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．
13．解：∵，
∴或，
∴，
分两种情况：
当第三边为2时，
∵，
∴不能组成三角形，
当第三边为5时，这个三角形的周长，
综上所述：这个三角形的周长为15，
故答案为：15．
14．解：∵,
∴,
关于的方程的解是，，令，
∴，
∴或，
解得，，
故答案为：，．
15．解：，
，
解得：，，
则矩形的长为，宽为，
则这个矩形的对角线长为，
故答案为：．
16．解：过作，交延长线于，延长至，使，连接．

在直角梯形中，，
，
又，，
四边形为正方形．
，，
∴，
∴，，，
，
∴，即，即，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
即，
设，则，，
在中，
，即，
解得：或（舍去），
，
．
故答案为：27．
17．（1）解：
则，
即，
∴或，
解得，；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴
18．解：（1）
解：
∴或
，．
（2）
∵，，
∴
，．
19．（1）解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：且；
（2）∵结合（1）可得：m的最大整数解为1，
当时，方程为：，即，
解得：．
20．（1）证明：∵，
∴，
∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解①：把代入方程，得：
，
解得；
②方程为，
解得，，
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，又，
所以这个等腰三角形三边分别为、5、5，
所以的周长为．
21．解：（1）设，则，
于是原方程可变为，
解这个方程得：，，
当时，，
移项得：，
∵，
∴此方程无解，
当时，，
解得，；
故答案为：，；
（2）设，则该方程变为．
解得：，．
∵
∴，即
（3）设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即
解得，．
经检验，是分式方程的根．
∴
即
解得：，．
经检验，是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：，．