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分课时教学设计
第二课时《因式分解法解一元二次方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的，通过之前的学习我们了解到配方法和公式法是所有一元二次方程的通用解法，但是对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单。同时利用因式分解法求解一元二次方程，既可以复习之前所学因式分解的知识，又为后续处理有关一元二次方程的问题提供了一些求解的思路与方法。
学习者分析 学生在八年级已经学习了因式分解，掌握了用提公因式法及运用公式法(平方差、完全平方)分解因式:在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，了解并掌握了这两种方法的解题思路及步骤。结合学生实际，有必要在课前让学生对因式分解的方法和一般步骤进行回顾，这样有利于提高课堂效率和准确率。
教学目标 1.理解用因式分解法解方程的依据。 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程。 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。 4.熟练掌握相应的数学模型，快速准确求解一元二次方程的解。
教学重点 用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点 因式分解的准确利用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 【提问】 1.已经学过了哪些解一元二次方程的方法？ 2.什么叫分解因式 3.多项式因式分解的方法有哪些？ 学生活动1： 学生思考，回忆回答问题 活动意图说明： 先回顾解一元二次方程和因式分解的相关知识，为本节课学生学习因式分解法解一元二次方程做好铺垫。环节二：新知探究教师活动2： 【问题】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位) 师：尝试用配方法和公式法求方程的解？ 【提问】观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？ 师：尝试用因式分解求方程的解？ 【提问】解方程①时，二次方程是如何降为一次的？ 先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 提 示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”学生活动2： 学生积极思考，学生板演 学生积极回答，允许学生有不同的观点 通过引导，学生得出：可以将方程10x-4.9x2=0，通过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0。 学生积极思考，学生板演 学生积极思考，教师引导与总结活动意图说明：将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。本题数量关系较简单，学生很容易列出相应的方程。通过配方法和公式法可以求得方程答案，但通过观察方程结构，原方程可以转化为A B=0的形式，从而引出了通过因式分解求解一元二次方程的方法。再通过提问环节，引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。环节三：典例精析 教师活动3： 例 解下列方程： (1) x(x﹣2)+x﹣2=0 (2) 5x2﹣2x﹣ =x2﹣2x+ 学生活动3： 请学生板演，然后师生共同纠错 1)解： 因式分解得 (x﹣2)(x+1)=0 于是得x-2=0，或x+1=0 ∴x1=2，x2=﹣1 2) 移项、合并同类项得4x2﹣1=0 因式分解得 (2x+1)(2x-1)=0 于是得2x+1=0或2x﹣1=0 ∴x1=0.5，x2=﹣0.5 活动意图说明：加深学生对因式分解法求解一元二次方程的理解与掌握。环节四：归纳总结教师活动4： 【提问】简述通过因式分解法解一元二次方程的步骤。 (1)移项：将方程右边化为______________； (2)化积：提取公因式，将方程左边分解成两______________的乘积； (3)转化：令每个因式都等于____________，得到两个一元一次方程； (4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的根就是方程的解. 归纳：左分解，右化零，两因式，各求解。 学生活动4： 先由学生尝试归纳总结，再由师生共同总结 活动意图说明：培养学生语言表达归纳的能力，形成完整的知识体系。
板书设计 1. 因式分解法的概念 2. 因式分解解方程的原理 3. 因式分解法解一元二次方程的步骤
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．一元二次方程 x2＋2x＝0的根是 ( ) A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝－2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝2 2．若关于 x 的方程 (x＋a)(x－4)＝0和 x2－3x－4＝0的解完全相同，则 a 的值为_________. 3．用因式分解法解方程 (1) x2－2x＝2x－4； (2) (x＋4)2＝5(x＋4)． 选做题： 4.关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于1，求k的取值范围． 【综合拓展类作业】 5.已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根． (1)求a的值及方程的另一个根； (2)一个三角形的三边长是此方程的根，求这个三角形的周长．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（ ） A．13 B．15 C．18 D．13或18 2.已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ） A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2 选做题： 3.△ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则△ABC的周长是( ) A．10 B．12 C．6或10或12 D．6或 8或10或12 4.若分式的值为0，则x= . 【综合拓展类作业】 5.由多项式乘法：(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a + b) x+ ab = (x + a) (x + b). 示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). (1)尝试： 分解因式：x2+6x+8=(x+ )(x+ )； (2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.
教学反思 教学方法的核心是强调学习者是一个主动的积极的知识构建者。本节课，我根据九年级学生的心理特征及其认知规律，通过由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，动手实践，合作交流，教学模式遵循了“以学生为主体，教师为主导”的教学原则，培养学生良好的学习习惯和严谨的科学态度。在参透教材的同时，也在引入上多做文章，让学生的自主能力、发现能力、探索能力、创造能力得到锻炼和提高，并及时反馈，查漏补缺。
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21.2.3因式分解法解一元二次方程
人教版九年级上册
教材分析
本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的，通过之前的学习我们了解到配方法和公式法是所有一元二次方程的通用解法，但是对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单。同时利用因式分解法求解一元二次方程，既可以复习之前所学因式分解的知识，又为后续处理有关一元二次方程的问题提供了一些求解的思路与方法。
教学目标
1.理解用因式分解法解方程的依据。
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程。
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。
4.熟练掌握相应的数学模型，快速准确求解一元二次方程的解。
新知导入
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法
2.什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
直接开平方法
配方法
x2=a (a≥0)
(mx+n)2=p (p≥0)
公式法 x=
新知讲解
3、多项式因式分解的方法有哪些？
① 提公因式法： pa+ pb + pc=p(a+b+c)
② 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
③ 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2
新知讲解
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，
即 10x－4.9x2＝0. ①
尝试用配方法和公式法求方程的解？
新知讲解
解：
,
配方法
公式法
解：移项得，
a=4.9，b=-10，c=0
△=
方程有两个不相等的实数根
=
即
这两个根中，x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
新知讲解
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
两个因式的积等于零
至少有一个因式为零
10x - 4.9x 2 = 0
x1 = 0，x2 =
x = 0
或 10 - 4.9x = 0
x(10 - 4.9x) = 0
新知讲解
【提问】解方程①时，二次方程是如何降为一次的？
10x-4.9x2=0
x(10-4.9x)=0
先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
提 示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”
因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
典例精析
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0.
解：
转化为两个一元一次方程
典例精析
(2)5x2-2x-=x2-2x+.
（2）移项、合并同类项，得
系数化为1，得
直接开平方，得
即,
直接开平方法
归纳总结
利用因式分解法解一元二次方程的步骤：
(1)移项：将方程右边化为___________；
(2)化积：提取公因式，将方程左边分解成两______________的乘积；
(3)转化：令每个因式都等于____________，得到两个一元一次方程；
(4)求解：分别解这两个一元一次方程，它们的根就是方程的解.
0
一次因式
0
归纳：左分解，右化零，两因式，各求解。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．一元二次方程 x2＋2x＝0的根是 ( )
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝2
2．若关于 x 的方程 (x＋a)(x－4)＝0和 x2－3x－4＝0的解完全相同，则 a 的值为_________.
B
1
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．用因式分解法解方程：
(1) x2－2x＝2x－4； (2) (x＋4)2＝5(x＋4)．
(1)解：移项、合并同类项，
得 x2－4x＋4＝0.
因式分解，得 (x－2)2＝0.
于是得 x－2＝0，
x1＝x2＝2.
(2)解：移项，得 (x＋4)2－5(x＋4)＝0.
因式分解，得 (x＋4)(x－1)＝0.
于是得 x＋4＝0，或 x－1＝0，
x1＝－4，x2＝1.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，
Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)
＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围．
解：∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，
∴x1＝2，x2＝k＋1.
∵方程有一根小于1，
∴k＋1<1，解得k<0，
∴k的取值范围为k<0.
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根．
(1)求a的值及方程的另一个根；
将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0中，得9(a－1)－12－1＋
2a＝0，解得a＝2.
将a＝2代入原方程中得x2－4x＋3＝0，
因式分解得(x－1)(x－3)＝0，
∴x1＝1，x2＝3. ∴方程的另一个根是x＝1.
课堂练习
(2)一个三角形的三边长是此方程的根，求这个三角形的周长．
∵三角形的三边长都是这个方程的根，
∴①当三边长都为1时，周长为3；②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．
故三角形周长为3或9或7.
课堂总结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
如果 a · b =0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma + mb + mc = m(a+ b+ c);
a2 ±2ab+b2=(a ± b)2；
a2 -b2=(a + b)(a-b).
板书设计
1.因式分解法的概念
2.因式分解解方程的原理
21.2.3因式分解法解一元二次方程
3.因式分解法解一元二次方程的步骤
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的一个根，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
2.已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2
A
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.△ABC的三边长都是方程x2－6x＋8＝0的解，则△ABC的周长是( )
A．10 B．12
C．6或10或12 D．6或 8或10或12
4.若分式的值为0，则x= .
C
－2
作业布置
【综合拓展类作业】
5.由多项式乘法：(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a + b) x+ ab = (x + a) (x + b).
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(1)尝试：
分解因式：x2+6x+8=(x+ )(x+ )；
2
4
作业布置
【综合拓展类作业】
解：（2）由 x2-3x-4=0得 (x-4)(x+1)=0，
所以 x-4=0 或 x+1=0，
所以 x1=4，x2=-1.
(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.
谢谢
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十一章
课标要求 “数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。本章的具体要求：能根据二元一次方程组的特征，选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系；了解一元二次的根与系数的关系；知道利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性，建立模型观念。
内容分析 “一元二次方程”主题单元结构包括一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。第一节研究一元二次方程的概念及一般形式；第二节研究用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；第三节研究一元二次方程的应用。一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程组等的基础上进一步学习，是对以前实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，它也是一种数学建模的方法，同时又是以后学习一元二次不等式、二次函数等知识的基础，是学好高中数学的基础。此外，学习一元二次方程对其他学科有重要意义，因此，它在初中数学中占有重要的地位。结合学生的实际水平，采用探索学习方式，以类比发现法为主，讨论法、练习法为辅的教学方法，教学中力求体现“问题情境一数学模型一求解一解释应用”的模式，借助多媒体辅助教学指导学生通过观察直观形象的演示,从具体的问题情境中抽象出数学问题，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性的解决问题，有效的发挥学生的思维能力。
学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，从知识结构上看他们已经具备了继续探一元二次方程的基础。这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高。但是通过近一阶段的教学，也发现很多问题：解一元一次方程、整式乘法、移项、去分母、去括号、分解因式、合并同类项、乘法公式的应用都还存在一问题，在本章知识的教学中，要加强学生计算能力的培养，巩固以前所学的知识。
单元目标 （一）教学目标1、联系一元一次方程、方程组和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型。2、了解一元二次方程及其相关概念，理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法。3、理解配方法的意义，用直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。4、掌握根的判别式的有关应用，理解一元二次方程两根与系数的关系。5、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力。6、经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力。（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及一元二次方程的实际应用。教学难点：列一元二次方程解决实际问题和转化思想的灵活运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数21.1 一元二次方程121.2 解一元二次方程421.3实际问题与一元二次方程1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务21.1一元二次方程通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力; .掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。学生能够根据概念判断出一元二次方程；正确指出一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项任务1.出示问题：一元一次方程的概念，一元一次方程的形式任务2.出示四个问题来探究一元二次方程任务3.步步追问，得出一元二次方程的概念任务4.出示例题任务5.归纳总结21.2.1配方法1.通过平方根的意义，解形如x2=p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程；2.掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤；通过配方法将一元二次方程变形，让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激发学生学习的兴趣。会利用直接开平方法解一元二次方程；掌握利用配方法解一元二次方程的步骤，正确解出一元二次方程；掌握转化思想在解题中的应用。任务1：由实际问题得出直接开平方法解一元二次方程；任务2：探究配方法解一元二次方程的步骤；任务3：通过例题进一步理解掌握因式分解法；21.2.2公式法1.会用公式法解一元二次方程；2.理解用根的判别式判别根的情况；3.通过推导求根公式的过程，加强推理能力的训练，进一步发展逻辑思维能力， 体验类比、转化、降次的数学思想。会利用公式法解一元二次方程；掌握用判别式判断根的情况；会推导求根公式。任务1：由配方法推导出根的判别式；任务2：得出一元二次方程的求根公式任务3：通过例题掌握用公式法解一元二次方程。21.2.3因式分解法1.利用因式分解法解一元二次方程；2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法；3.通过学生讨论解一元二次方程的方法，理 解对于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起来较为简单，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。让学生再次体会“降次”的思想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。理解因式分解法解一元二次方程的原理，体会“降次”方法的优势；能判断什么情况用因式分解法解一元二次方程简便；会利用因式分解法准确求一元二次方程的解。任务1：探究解方程的方法任务2：思考一元二次方程是如何降次的，得出因式分解法任务3：通过例题掌握用因式分解法解一元二次方程。21.2.4一元二次方程根与系数的关系1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算；3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊一般-特殊的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神。学生掌握一元二次方程根与系数的关系；会利用一元二次方程根与系数的关系解方程。任务1：思考从因式分解法还原到一般式得出根与系数的关系任务2：用求根公式验证根与系数的关系任务3：通过例题会用根与系数的关系求两根的和与积。21.3实际问题与一元二次方程能够利用一元二次方程解决有关实际问题；能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题，解决问题的意识和能力学生能找出题目的等量关系列出方程，并能注意解的合理性，进行取舍。任务1.传播问题任务2.平均增长率问题任务3.几何面积问题
《第二十一章 一元二次方程》单元教学设计
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