人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列 第2课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列第2课时 同步作业（原卷版）
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
2．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　　　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
3．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an＝(　　)
A. B.
C. D.
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝(　　)
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
5．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则a3＋a5等于(　　)
A. B.
C. D.
6．若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的第34项是(　　)
A. B．100
C. D.
7．【多选题】下列叙述中，正确的是(　　)
A．数列an＝2是常数列
B．数列是摆动数列
C．数列是递增数列
D．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
8．数列{an}满足an＝＋2(n≥2，n∈N*)，当a1＝1时，a4＝________．
9．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
10．已知an＝a(a为常数且a≠0)，试判断{an}的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．
∵an－an－1＝a－a＝－a<0，
∴{an}是递减数列．
11．在数列{an}中，已知an＝(c∈R)，则对于任意正整数n有(　　)
A．anB．an与an＋1的大小关系和c有关
C．an>an＋1
D．an与an＋1的大小关系和n有关
12．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 018＝________．
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
13．已知数列{an}：，－，，－， …
(1)写出数列的通项公式；
(2)计算a10，a15，a2n＋1；
(3)求证：数列{|an|} 是递增数列．
14．数列{an}满足a1＝1，且an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；
(3)实数是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？
15．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　)
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
16．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
17．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2 019.
1．以下公式中：①an＝[1－(－1)n]；②an＝；③an＝可以作为数列，0，，0，，0，…通项公式的有(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
2．数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an2－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________．
3．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N*)，试判断{an}是递增数列还是递减数列．
人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列第2课时 同步作业（解析版）
1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
答案　B
解析　逐项验证可知B合适．
2．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　　　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案　B
解析　由a1>0，且an＋1＝an，
知an>0，又＝<1，∴an＋1因此数列{an}为递减数列．
3．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　a1＝1＝，∵an＋1＝an，∴a2＝＝.
同理a3＝＝.猜想an＝.
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝(　　)
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
答案　C
解析　由题可得，a2＝a1＋a1，所以a1＝－3，a10＝a1＋a9＝…＝a1＋a1＋…＋a1＝－30.
5．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则a3＋a5等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
6．若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的第34项是(　　)
A. B．100
C. D.
答案　C
解析　a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，猜想an＝，
∴a34＝＝.
7．【多选题】下列叙述中，正确的是(　　)
A．数列an＝2是常数列
B．数列是摆动数列
C．数列是递增数列
D．若数列{an}是递增数列，则数列{an·an＋1}也是递增数列
答案　ABC
解析　ABC正确．对于D，如an为－2，－1，0，1，2，3，…，即不合要求．
8．数列{an}满足an＝＋2(n≥2，n∈N*)，当a1＝1时，a4＝________．
答案　
解析　由a1＝1，an＝＋2(n≥2，n∈N*)，得a2＝3，a3＝，a4＝.
9．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
答案　－9
解析　an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
10．已知an＝a(a为常数且a≠0)，试判断{an}的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．
∵an－an－1＝a－a＝－a<0，
∴{an}是递减数列．
解析　这种解法误认为a>0，因此不对，对于非零实数a应讨论a>0和a<0两种情况．
∵an－an－1＝－a(n≥2)，
∴当a>0时，an－an－1<0.
∴an当a<0时，an－an－1>0，∴an>an－1.∴{an}是递增数列．
11．在数列{an}中，已知an＝(c∈R)，则对于任意正整数n有(　　)
A．anB．an与an＋1的大小关系和c有关
C．an>an＋1
D．an与an＋1的大小关系和n有关
答案　B
解析　∵an＝＝＝1＋，
∴an－an＋1＝－＝.
当c－1>0时，an>an＋1；当c－1<0时，an当c－1＝0时，an＝an＋1.
12．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 018＝________．
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
答案　1
解析　由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2，1，5，2，1，…，故数列{xn}为周期为3的周期数列．∴x2 018＝x3×672＋2＝x2＝1.
13．已知数列{an}：，－，，－， …
(1)写出数列的通项公式；
(2)计算a10，a15，a2n＋1；
(3)求证：数列{|an|} 是递增数列．
解析　(1)原数列变形为：，－，，－，…，由数列的分子、分母与项数n的关系以及符号相间出现，且第一项为正，可得数列的通项公式为an＝(－1)n＋1.
(2)当n＝10时，a10＝－＝－；
当n＝15时，a15＝；
将an中的n换成2n＋1，得a2n＋1＝.
(3)证明：令bn＝|an|(n∈N*)，
则bn＝＝.
∵bn＋1－bn＝－＝>0，
∴bn＋1>bn.即对一切正整数n，恒有|an＋1|>|an|成立．因此数列{|an|}为递增数列．
讲评　本题求解时，若与函数的定义、函数相关的性质联系容易理解，an＝f(n)即为函数的解析式；a10＝f(10)，即是函数在n＝10的函数值；a2n＋1＝f(2n＋1)即为函数代换，将函数中的变量n换成了2n＋1；当|an＋1|>|an|时，数列{|an|}在n∈N*时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n，当n＋1>n时，都有|an＋1|>|an|，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．
14．数列{an}满足a1＝1，且an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式；
(3)实数是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？
解析　(1)∵a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0，
∴a2＋2a1a2－a1＝0，解得a2＝.
同理，可以解得a3＝，a4＝，a5＝.
∴数列的前5项为1，，，，.
(2)由(1)可得an＝.
(3)令＝，得n＝50.即是这个数列的第50项．
15．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　)
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
答案　C
16．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．
答案　n2－n＋1
解析　图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有n－1个点，故第n个图中点个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
17．在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2 019.
解析　(1)证明：an＋3＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－＝1－(1－an)＝an，∴an＋3＝an.
(2)由(1)知数列{an}的周期T＝3，∵a1＝，∴a2＝－1，a3＝2.∴a2 019＝a3×673＝a3＝2.
1．以下公式中：①an＝[1－(－1)n]；②an＝；③an＝可以作为数列，0，，0，，0，…通项公式的有(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
答案　D
解析　将各个通项公式中赋值验证都满足，故选D.
2．数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an2－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________．
答案　33
解析　令n＝2，得a22－a1·a3＝－1，∴a3＝10.
令n＝3，得a32－a2a4＝(－1)2，∴a4＝33.
3．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N*)，试判断{an}是递增数列还是递减数列．
解析　由已知得an＝＝－，
∴an＋1－an＝－－＝<0，
∴数列{an}是递减数列．