2022-2023学年甘肃省平凉市重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省平凉市重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 等于( )
A. B. C. D.
2. 如图图标中属于中心对称图形的是( )
A. 甘肃高速 B. 甘肃地矿
C. 兰州地铁 D. 甘肃银行
3. 使得式子有意义的的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 平凉市崆峒山塔群是研究院东地区砖石建筑艺术的宝贵实物资料，图是位于崆峒山灵龟台西的灵秘塔，塔为石基砖砌身，呈六角六面四级阶状尖顶塔，图是灵秘塔某层的平面示意图，若将其抽象为正六边形，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 若一元二次方程的一根为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则( )
A. B. C. D.
8. 如图，在 中，将沿折叠后，点恰好落在延长线上的点处若，，则 的周长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如果点，，都在反比例函数的图象上，那么，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，，，点是沿方向运动，点是沿方向运动．现、两点同时出发匀速运动，设点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒个单位长度，当点运动到点时，点立即停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的长度为个单位长度，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式：______．
12. 不等式的解集______ ．
13. 计算： ．
14. 如图，已知为原点，点的坐标为，点的坐标为，过，，三点，点为优弧上一点不与点重合，则的值为______ ．
15. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离______
16. 如图，在中，，，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为______．
17. 如图，在菱形中，，点在上，若，则______
18. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第幅图中有个菱形，第幅图中有个菱形，第幅图中有个菱形，如果第幅图中有个菱形，则______．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
北京冬奥会之所以能够开启全球冰雪运动新时代，关键在于中国通过筹办冬奥会和推广冬奥运动，让冰雪运动进入寻常百姓家．某校组建了一个滑雪队，现队长需要购买一些滑雪板，经了解，现有、两种滑雪板．若购买副种滑雪板和副种滑雪板共需元；若购买副种滑雪板和副种滑雪板共需元．求副种滑雪板和副种滑雪板各是多少元？
21. 本小题分
如图，已知，
用直尺和圆规求作上一点，使的周长等于，保留作图痕迹不写作法；
若，，求的面积．
22. 本小题分
如图是某公园的一个上肢牵引器，图是其静止状态下的简化示意图、分别在同一水平线上，立柱与水平地面垂直，挑杆，手拉链，且始终与地面垂直．经查询，挑杆，当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图所示的状态，此时，求点上升的高度．
结果精确到，参考数据：，，，，，
23. 本小题分
在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为．
请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；
若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
24. 本小题分
在“双减”形势下要积极引导同学进行户外活动或体育锻炼，使其每天户外活动或体育锻炼的时间在分钟以上某数学小组为了解七、八年级学生每天每天户外活动或体育锻炼的时间单位：分钟的情况，从该校七、八年级中各随机抽查了名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析：，：，：，，：，下面给出了部分信息．
七年级抽取的学生在组的每天户外活动或体育锻炼的时间为：，，，
八年级抽取的名学生每天户外活动或体育锻炼的时间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
七年级抽取的学生每天户外活动或体育锻炼的时间的扇形统计图
七、八年级抽取的学生每天户外活动或体育锻炼的时间的统计量
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
直接写出，，的值；
根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级每天户外活动或体育锻炼的时间情况较好？请说明理由；
若该校七、八年级分别有学生人，试估计该校七、八年级学生一学期每天户外活动或体育锻炼的时间不少于分钟的人数之和．
25. 本小题分
小明和妈妈五一假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到地，约定小明爸爸驾车到地接他们回家，一家人恰好同时到达地，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中已知小明他们与外婆家的距离与小明从外婆家出发的时间之间的函数关系如图所示．
小明家与外婆家的距离是______ ；
小明爸爸驾车返回时的平均速度是______ ；
求他们从地驾车返回家的过程中，与之间的函数关系式．
26. 本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作的切线，交于点，延长交于点，连接．
求证：；
若的直径为，，求的长．
27. 本小题分
如图，在矩形中，，，动点从出发沿射线方向移动，作关于直线的对称．
如图，当点在线段上运动时，直线与相交于点，连接，若，请直接写出和的数量关系；
在的条件下，请求出此时的值：
当时，
如图，当点落在上时，请求出此时的长；
当点在的延长线上时，请直接写出是直角三角形时的长度．
28. 本小题分
如图，已知抛物线与轴交于、两点，，交轴于点，对称轴是直线

求抛物线的解析式及点的坐标；
连接，是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标；
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点设运动时间为秒
若与相似，请直接写出的值；
能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
表示的平方的相反数，的平方等于，所以结果是．
本题主要考查有理数乘方的运算，本题要注意两种不同的写法表示的平方的相反数，表示的次方，初学者容易出错，认为两种写法表示同一种含义．
2.【答案】
【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：使得式子有意义，则：，
解得：，
即的取值范围是：．
故选D．

4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：的度数为，
故选：．
利用多边形的外角和求得答案即可．
考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是了解正多边形的外角和，难度不大．
6.【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数．
【解答】
解：，
，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
由折叠得，，，，
点在的延长线上，
是等边三角形，
，
，
，
的周长为，
故选：．
由四边形是平行四边形，，，得，，由折叠得，，，，因为点在的延长线上，所以是等边三角形，则，即可求得 的周长为，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
，，
，
，
，
，
故选：．
先判断函数图象所在的象限，然后利用反比例函数的增减性可比较、，再利用函数值的正负可得出为正数，可求得答案．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在中，当时，函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，当时，函数图象在二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大．
10.【答案】
【解析】解；，，
，，
即，
故选：．
分类讨论，，时，根据勾股定理，可得函数解析式．
本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分式的加法．掌握分式加法法则是解题的关键．
根据同分母分式加法法则，直接让分子相加即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
，
，
故答案为：．
连接，由勾股定理可求的长，由圆周角定理可得，由锐角三角函数可求解．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
令，则，
解得或舍去，
铅球推出的距离为，
故答案为：
根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，
，，
是的中点，
，
，
故答案为：．
根据，计算即可．
本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
由菱形的性质得出平分，，由平行线的性质得出，，求出，则，由等腰三角形的性质得出，由此即可得出答案．
【解答】
解：四边形是菱形，
平分，，
，，
，
，
，
，
；
故答案为．
18.【答案】
【解析】解：根据题意分析可得：第幅图中有个．
第幅图中有个．
第幅图中有个．
第幅图中有个．
可以发现，每个图形都比前一个图形多个．
故第幅图中共有个．
当图中有个菱形时，
，
，
故答案为：．
根据题意分析可得：第幅图中有个，第幅图中有个，第幅图中有个，，可以发现，每个图形都比前一个图形多个，继而得出答案．
本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．
19.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20.【答案】解：设副种滑雪板元，副种滑雪板元，
由题意得：，
解得：，
答：副种滑雪板元，副种滑雪板元．
【解析】设副种滑雪板元，副种滑雪板元，由题意：若购买副种滑雪板和副种滑雪板共需元；若购买副种滑雪板和副种滑雪板共需元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：如图，点为所作；
垂直平分，
，，
在中，，
的面积．
【解析】作的垂直平分线交于点，交于点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长；
先根据线段垂直平分线的性质得到，，则利用勾股定理计算出，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
22.【答案】解：设与相交于点，如图：
，，
，
，
，
在中，，
过点作，垂足为，
，，
，
在中，，
，
点上升的高度为．
【解析】先在图中，设与相交于点利用等腰三角形的三线合一性质求出，然后在中，求出，再在图中，过点作，垂足为，先求出，然后在中，求出，然后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：树状图如图所示：
方程的解为或者，
若，都是方程的解时，
则，，或，，或，，或，
若，都不是方程的解时，
则，，或，；
由树状图得：共有个等可能的结果，，都是方程的解的结果有个，
，都不是方程的解的结果有个，
小明获胜的概率为，小利获胜的概率为，
小明获胜的概率大．
【解析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出，都是方程的解和，都不是方程的解的结果数，然后根据概率公式求解．
24.【答案】解：把七年级名学生每天户外活动或体育锻炼的时间从小到大排列，排在中间的数分别为、，故中位数，
在八年级名学生每天户外活动或体育锻炼的时间中，出现的次数最多，故众数，
；
八年级每天户外活动或体育锻炼的时间情况较好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级的众数、中位数均高于七年级，方差小于七年级，所以八年级每天户外活动或体育锻炼的时间情况较好；
人，
答：估计该校七、八年级学生一学期每天户外活动或体育锻炼的时间不少于分钟的人数之和大约为人．
【解析】分别根据中位数、众数以及所占样本容量的比例可得答案；
比较两个年级的平均数、众数、中位数以及方差可得答案；
用样本估计总体即可．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数平均数、中位数、众数和理解样本与总体的关系是关键．
25.【答案】
【解析】解：由图象可得小明家与外婆家的距离为，
故答案为：；
小明经过小时到达点，点到小明家的距离，
小明爸爸驾车返回时平均速度，
故答案为：；
设与之间的函数关系式为，且过点，，
，
解得：，
与之间的函数关系式为．
由图象可得小明家与外婆家的距离为；
由速度路程时间，可求小明爸爸驾车返回时平均速度；
利用待定系数法可求解析式．
本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用函数图象获取正确信息是解答此题的关键．
26.【答案】证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
为的直径，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，，
，
为的直径，
，
，
，
，
．
【解析】根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质得到；
连接，根据余弦的定义求出，进而求出，根据平行线分线段成比例定理得到，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
27.【答案】解：结论：．
理由：如图中，四边形是矩形，
，
由翻折的性质可知，，
，
，，
．
如图中，由翻折的性质可知：≌，
，，
，
由知：，
且，
≌，
，
，
．
如图中，在中，，
由勾股定理得：，
设，则，
由对称知：，，
，
又，
，
在中，，
，
解得：，
即．
如图中，当，在的延长线上时，
在中，，
，
在中，则有：，
解得；
如图中，当时，
，，
四边形为正方形，
，
综上所述，或．
【解析】结论：证明，由，，可得结论．
证明≌，可得结论．
设，则，在中，根据，构建方程求解即可．
分两种情形：如图中，当，在的延长线上时，如图中，当时，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】解：点、关于直线对称，，
，，
代入中，得：，解得
抛物线的解析式为，
点坐标为；
设直线的解析式为，
则有：，解得
直线的解析式为，
点、关于直线对称，
又到对称轴的距离为，
，
点的横坐标为，将代入中，
得：，
；
如下图，
，，
与相似，则，
即：，
解得：或或舍去、、，
故：；
，轴，
，
为等腰三角形，
分三种情况讨论，
第一种，当时，
；
第二种，当时，在中
，
，
，
即，
；
第三种，当时，
则点、重合，此时
而，故不符合题意．
综上述，当或秒时，为等腰三角形．
【解析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
将、关坐标代入中，即可求解；
确定直线的解析式为，根据点、关于直线对称，即可求解；
与相似，则，即可求解；分、、三种情况，分别求解即可．
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