2022-2023学年湖南省长沙市华益中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市华益中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在，，，，，，这个数中，无理数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 如果，那么下列结论中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 若某三角形的三边长分别为，，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
5. 将一副三角板如图放置，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明≌，这个条件可能是( )
A. B. C. D.
7. 如图，中，，是边上的一点，，，，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
8. 为落实“双减”政策，刘老师把班级里名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是人或人，则分组方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 在平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点，已知的伴随点为，的伴随点为，，这样依次下去得到，，，若的坐标为，则的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知是方程的一个解，那么的值是______ ．
12. 如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为______ ．
13. 下列调查中：了解一批灯泡的使用寿命；检测“神舟十五号”载人飞船的零件质量；调查长江的水质情况；调查某班学生的视力情况，应使用全面调查的是______ ．
14. 如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则的面积是______ ．
15. 已知，在中，，是边上的高，若，则 ______
16. 如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，则点的运动速度为______．
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解二元一次方程组：．
19. 本小题分
解不等式：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
20. 本小题分
人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：．
求作：的平分线．
作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．
画射线，射线即为所求如图．
请你根据提供的材料完成下面问题．
这种作已知角的平分线的方法的依据是______填序号
请你证明为的平分线．
21. 本小题分
长沙市华益中学七年级为了加强学生的职业生涯规划教育，丰富学生的暑期生活，特开展“长沙市华益中学首届职业体验活动”，本次活动旨在通过向学生提供各行各业的具体工作岗位，鼓励学生根据招聘信息撰写个人简历，进一步提高自我认识面试成功的学生可在暑假通过实践，观察，交流等形式获得直观的职业体验和感受此次活动推出个行业的岗位：图书管理员，花艺师，模拟法庭法律职业，幼儿园工作岗位，社区工作人员，要求学生只能就一个工作岗位提交个人简历，为了解本年级学生对这五个行业的喜爱程度，从中抽取了一部分个人简历进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
求所抽取的个人简历份数，并将条形统计图补充完整；
扇形统计图中，请求出项所对应的扇形圆心角度数；
若七年级共有学生人，请估算本年级学生喜爱幼儿园工作岗位的人数．
22. 本小题分
已知关于，的方程组的解都不大于．
求的取值范围；
化简：．
23. 本小题分
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期、学校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，学校计划购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元．
求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍，问有哪几种购买方案？
24. 本小题分
如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
求的度数；
求证：平分；
求的度数；
若，，且，求的面积．
25. 本小题分
我们约定：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”．
例如：不等式组是的“子集”．
若不等式组：，，则其中不等式组______ 是不等式组的“子集”填或；
若关于的不等式组不是不等式组的“子集”，则的取值范围是______ ；
若关于的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求的取值范围是______ ；
若关于的不等式组是不等式组：的“子集”且不等式组的所有整数解的和为，请求出，的取值范围．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，且、满足．
求、两点的坐标；
如图，过点作直线的垂线，在此垂线上截取线段，使，求点的坐标；
如图，在的条件下，交轴于点，点为轴负半轴上一点，记的面积为，四边形的面积为，设点，．
用含的式子表示；
当时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在第二象限，
故选：．
根据第二象限点的符号特点是判断即可．
本题考查了坐标与象限的关系，熟练掌握象限中点的坐标符号特点是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：在，，，，，，这个数中，
无理数有：、、，共有个，
故选：．
根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，
，故本选项不符合题意；
C.，
，
，故本选项符合题意；
D.，
，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】
【解析】解：根据三角形的三边关系定理得：，
解得：，
即符合的只有，
故选：．
根据三角形的三边关系定理得出，求出即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理的内容是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
，
故选：．
根据三角形外角的性质结合三角板中角度的特点进行求解即可．
本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
当时，由可得≌，故A不符合题意；
当时，则，由可得≌，故B不符合题意；
当时，则，由可得≌，故C不符合题意；
当时，不能得出≌，故D符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定，利用、、即可得出答案．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．
7.【答案】
【解析】解：，，
．
．
点到和的距离相等．
表示点到的距离，
到的距离为．
故选：．
易求，根据角平分线的性质可知点到的距离等于点到的距离长度．
本题主要考查了角平分线的性质，题目简单易懂，观察出点到的距离等于点到的距离长度是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设可分成每小组人的小组组，每小组人的小组组，
依题意得：，
．
又，均为自然数，
或或或，
共有种分组方案．
故选：．
设可分成每小组人的小组组，每小组人的小组组，利用各组人数之和为人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出共有种分组方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：点，，，轴，
；
当时，线段最短，
，
，
．
故选：．
先根据轴得出的值，再由垂线段最短即可得出的值，进而得出结论．
本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
根据题意求得；；；．
个点为一个循环，
．
．
故选：．
根据题意和的坐标，推出其伴随点坐标，找出循环规律，个点为一循环，用除以得出的余数对应的点的坐标即为答案．
本题以新定义为背景考查了直角坐标系中点的坐标规律，考核了学生点的坐标中猜想与归纳能力，解题关键是理解题中定义，找出循环得出答案．
11.【答案】
【解析】解：是方程的一个解，
，
解得：．
故答案为：．
将代入中解得的值即可．
本题考查二元一次方程的解，将代入中得到关于的方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：多边形的边数是：，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：了解一批灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式；
检测“神舟十五号”载人飞船的零件质量，适宜采用全面调查的方式；
调查长江的水质情况，适宜采用抽样调查的方式；
调查某班学生的视力情况，适宜采用全面调查的方式．
属于应使用全面调查的是．
故答案为：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
14.【答案】
【解析】解：点为的中点，
，
，
点为的中点，
，
，
点为的中点，
．
故答案为：．
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，根据点是的中点得到，于是得到，根据点是的中点求出，利用点为的中点得到．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15.【答案】或
【解析】解：分为两种情况：如图，
为边上的高，
，
，
，
，
；
如图，
为边上的高，
，
，
，
，
；
故答案为：或．
分为两种情况画出图形，求出的度数，即可得出答案．
本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：设点的运动速度为，则，，，
，
当，时，根据“”判断≌，
即，，解得，；
当，时，根据“”判断≌，
即，，解得，，
综上所述，点的运动速度为或．
故答案为：或．
设点的运动速度为，则，，，由于，则当，时，根据“”判断≌，即，；当，时，根据“”判断≌，即，，然后分别解方程求出即可．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
17.【答案】解：
．
【解析】先计算平方、算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：，
，得，
，
把代入，得，
．
．
【解析】由于、的系数比较简单，用加减、代入消元法都可以．
本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解决本题的关键．
19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为，得．
在数轴上表示如下：
【解析】先根据解不等式的步骤解不等式，再在数轴上表示解集即可．
本题考查了解不等式和在数轴上表示解集，解题关键是能熟练运用解不等式的方法求解，并能在数轴上正确表示解集．
20.【答案】解：；
由基本作图方法可得：，，，
则在和中，
，
≌，
，
即为的平分线．
【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
直接利用角平分线的作法得出基本依据；
直接利用全等三角形的判定与性质得出答案．
21.【答案】解：本次调查共抽取的人数为：份，
的份数为份，
补全条形图如下：
，
答：项所对应的扇形圆心角度数为；
人，
答：估算本年级学生喜爱幼儿园工作岗位的人数为人．
【解析】由的份数除以所占的百分比即可得到样本容量，利用抽取的总人数减去其他项目的人数求出的人数，再补全条形图即可；
用乘以项所占的百分比即可得到答案；
用乘以喜爱幼儿园工作岗位的人数所占的百分比即可得到答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
22.【答案】解：由，得：，
解得，
由，得：，
解得，
关于，的方程组的解都不大于，
，
解得，
的范围是；
，，，
，，，，，
原式
．
【解析】利用“加减消元法”求得原方程组的解，然后根据题意，列出关于的不等式组，解关于的不等式组即可；
利用中的、的取值范围化简二次根式，根据的取值范围来去绝对值，即可求出答案．
本题考查了绝对值，解一元一次不等式组，二次根式的性质，解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，解此题的关键是求出的范围．
23.【答案】解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，
由题意可得，
解得，
．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元；
设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，
由题意可得：，
解得，
又为正整数，
可以取，，，，；
共有种购买方案，
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
方案：购进套甲型号“文房四宝”，套乙型号“文房四宝”；
每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，
甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低．
【解析】根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵元，买套甲型号和套乙型号共用元，得出方程，解方程即可；
设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
24.【答案】解：，
，
，
，
，
，
；
证明：过点分别作于，与，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
解：，，，
，
即，
解得，
，
．
【解析】由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；
过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：：，的解集为，
的解集为，
的“解集为，
则不等式组是不等式组的子集，
故答案为：；
关于的不等式组不是不等式组的“子集”，
当时，关于的不等式组的解集是：，
不等式组的“解集”是，
则关于的不等式组不是不等式组的“子集”，
当时，关于的不等式组的解集是：，
不等式组的“解集”是，
若关于的不等式组不是不等式组的“子集”，
则，
综上所述：时，关于的不等式组不是不等式组的“子集”；
故答案为：；
不等式组有解，
解集为：，且，
，
不等式组的“解集”为，
不等式组有解且是不等式组的“子集”，
，
解得：，
的取值范围是；
关于的不等式组的解集是：且，
关于的不等式组是不等式组：的“子集”，
，，
解得：，，
不等式组的所有整数解的和为，
其整数解是、、或、、、、两种情况：
当整数解是、、时，
，，
解得：，，
当整数解是、、、、时，
，
解得：，，
，的取值范围是，或，．
求出不等式组与的解集，利用题中的新定义判断即可；
根据“子集”的定义确定出的范围即可；
根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
根据“子集“的定义确定出所求即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键
26.【答案】解：，
，，
即，，
、；
由知，，
，，
，，
点作直线的垂线，
，
，，
，
，，，
≌，
，，
，
，
点的坐标为；
设直线的函数关系式为：，
一次函数的图象经过点和点，
则，解得，
，
令得：，
，
，
，
设点，
，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
过点作于，
由题意知：，，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：，
，
的值为．
【解析】根据，即可求出，，从而求出、两点的坐标；
过点作于，证明≌，即可求解；
求出直线的函数关系式，求出和，即可求解；过点作于，求出和的长，即可求解．
本题考查一次函数与几何问题的综合，绝对值的非负性，一次函数的解析式，全等三角形的性质与判断，勾股定理得知识，解题的关键是能够正确作出辅助线．
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