2022-2023学年内蒙古赤峰市重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古赤峰市重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 倒数的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 在，，，这四个实数中，最小的是( )
A. B. C. D.
3. 如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是( )
A. B. C. D.
4. 如图所示，直线，相交于点，已知，则的大小为( )
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 清明节期间某市共接待国内游客约人次，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
7. 若，则下列分式化简正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，四边形的对角线，相交于点，且，添加下列条件后仍不能判断四边形是平行四边形的是( )
A. B. C. D.
9. 某同学在体育备考训练期间，参加了七次测试，成绩依次为单位：分，，，，，，，这组数据的众数、中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10. 若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 我国古代数学著作九章算术卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出钱，则剩余钱：如果每人出钱，则差钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有人，物品的价格为元，可列方程组为( )
A. B. C. D.
12. 一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点，，在上，垂直平分于点现测得，，则圆形标志牌的半径为( )
A. B. C. D.
13. 如图，是用棋子摆成的图案，摆第个图案要枚棋子，摆第个图案要枚棋子，摆第个图案要枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第个图案要棋子( )
A. 枚 B. 枚 C. 枚 D. 枚
14. 二次函数的图象如图所示，与轴交于点，与轴负半轴交于点，且，有下列五个结论：；；，；其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
15. 因式分解______．
16. 一个不透明的袋中装有个红球，个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出球，则“摸出的球至少有个黑球”是______事件．填“必然”、“不可能”或“随机”
17. 如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为______．
18. 如图，根据尺规作图痕迹与标记的数据，计算的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中；
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
20. 本小题分
如图，某同学在大楼的观光电梯中的点处测得大楼楼底点的俯角为，此时该同学距地面的高度为米，电梯再上升米到达点处，此时测得大楼楼顶点的仰角为，求大楼的高度参考数据：，，．
21. 本小题分
电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡、在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如图统计图表不完整．
组别 成绩分 人数
请观察上面的图表，解答下列问题：
统计表中 ______ ；统计图中 ______ ，组的圆心角是______ 度
组的名学生中，有名男生和名女生从组随机抽取名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求；
恰好名男生和名女生被抽取参加体验活动的概率；
至少名女生被抽取参加体验活动的概率．
22. 本小题分
如图，一次函数和反比例函数经过点．
求点的坐标；
用等式表示，之间的关系用含的代数式表示；
连接，一次函数与轴交于点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
23. 本小题分
如图，以等腰三角形的一腰为直径的交于点，过点作于点．
直接写出与的位置关系；
如图，若点在上向点移动，以点为圆心，长为半径的圆仍交于点，的条件不变，那么中结论是否还成立？请说明理由；
如图，如果，那么圆心在的什么位置时，与相切？
24. 本小题分
“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共千顶现某灾区急需帐篷千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的倍、倍，恰好按时完成了这项任务．
在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
现要将这些帐篷用卡车一次性运送到灾区的、两地，由于两市通往、两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：
地 地
所需车辆数 甲市
乙市
所急需帐篷数单位：千顶
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少，说明理由，并求出最少车辆总数．
25. 本小题分
观察与发现：小明将三角形纸片沿过点的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片如图在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点和点重合，折痕为，展平纸片后得到如图小明认为是等腰三角形，你同意吗请说明理由；
实践与运用：将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为如图再沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为如图再展平纸片如图求图中的大小．
26. 本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线经过、两点．抛物线的顶点为．
求抛物线和直线的解析式；
判断的形状并说明理由．
如图，若点是线段上方的抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交线段于点，当是直角三角形时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
的倒数的相反数是．
故选：．
先根据倒数的意义求出倒数，再求相反数即可得到结论．
本题考查了倒数和相反数，熟练掌握倒数的意义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据实数的大小比较法则正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则的应用，主要考查学生的理解能力和比较能力，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
3.【答案】
【解析】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是．
故选：．
由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
本题主要考查了由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
4.【答案】
【解析】解：直线，相交于点，
，
，
，
故选：．
根据对顶角相等解答即可．
此题考查对顶角，关键是根据对顶角相等解答．
5.【答案】
【解析】解：、原式不能合并，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
7.【答案】
【解析】解：，
，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：．
根据，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、、，
四边形是平行四边形；
B、、，
四边形是平行四边形；
C、，
，．
在和中，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
D、由、无法证出四边形是平行四边形．
故选：．
A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形是平行四边形；、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形是平行四边形；、由可得出、，结合可证出≌，根据全等三角形的性质可得出，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形是平行四边形；、由、无法证出四边形是平行四边形．此题得解．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形是平行四边形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：将数据重新排列为，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
根据众数和中位数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
10.【答案】
【解析】解：直线经过第一，二，四象限，
，
抛物线的顶点必在第二象限．
故选：．
由直线经过第一，二，四象限可判断的符号，再由抛物线求顶点坐标，判断象限．
考查了二次函数的性质、一次函数图象与系数的关系，要求掌握直线性质和抛物线顶点式的运用，难度不大．
11.【答案】
【解析】解：设有人，物品的价格为元，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设有人，物品的价格为元，根据所花总钱数不变列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．
12.【答案】
【解析】解：连接，，如图，
点，，在上，垂直平分于点，，
，、、在一条线上，即为圆的半径，
设圆形标志牌的半径为，可得：，
解得：，
故选：．
连接，，利用垂径定理解答即可．
此题考查勾股定理和垂径定理，关键是利用垂径定理解答．
13.【答案】
【解析】解：时，总数是；
时，总数为；
时，总数为枚；
；
时，有枚．
时，总数为枚．
故选：．
依次解出，，，，图案需要的棋子枚数．再根据规律依此类推，可得出第个图案需要的棋子枚数，进一步代入求得答案即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
14.【答案】
【解析】解：由抛物线的开口方向向下可推出；
对称轴在轴右侧，，
；
抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
故，错误；
当时，，
，即，正确；
当时，，
，正确；
由图象可知：对称轴，
，错误；
由图象可知：，
，
．
点的坐标为，代入函数解析式可得，
化简得，，
又，
，故，正确．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用图象求出，，的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子．
15.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16.【答案】随机
【解析】解：一个不透明的袋中装有个红球，个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出球，共有以下种情况：
、个红球；
、个红球，个黑球；
所以从中任意摸出球，“摸出的球至少有个黑球”是随机事件，
故答案为：随机．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念作答．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
17.【答案】
【解析】解：过作于，
在菱形中，，，
，，
，
，
，
，，
点的坐标为，
顶点在反比例函数的图象上，
，得，
即，
故答案为：．
根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点的坐标，从而可以求得的值，进而求得反比例函数的解析式．
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是求出点的坐标．
18.【答案】
【解析】解：由作图知，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由作图知，，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形性质得到结论．
本题考查了作图基本作图，垂线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：
，
当时，原式；
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下所示：
．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
20.【答案】解：过作于，过作于．
由已知得，，，．
在中，，，
．
．
在中，，
．
米．
答：大楼的高度是米．
【解析】过作于，过作于求出和的长，在中，求出，则可得出答案
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：被调查的总人数为，
则，
，即，
组的圆心角是，
故答案为：、、；
设男同学标记为、；女学生标记为、，可能出现的所有结果列表如下：
共有 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有种，
恰好名男生和名女生被抽取参加体验活动的概率为；
至少名女生被抽取参加体验活动的有种结果，
至少名女生被抽取参加体验活动的概率为．
先根据组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求出组人数的值，用乘以组人数所占比例可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查了频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．
22.【答案】解：反比例函数经过点，
，
；
一次函数经过点，
，
；
，
，
是等腰三角形，
当是腰时，点的坐标为，，，
当为底时，
，
的中点，直线为，
设过的中点且存在于的直线为，
把代入得，，
，
过的中点且存在于的直线为，
令，则，
解得，
点的坐标为，
故B点的坐标为，，，．
【解析】将点代入，求得的值即可；
把代入一次函数即可得到；
求得，根据等腰三角形的性质即可求得．
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
23.【答案】与相切；
结论成立．理由如下：
如图，连接；
，
，
，
，
，
；
又，
，
即是的切线；
当圆心在上距点为时，与相切．
如图所示，与相切于，与相交于，
；
在中，；
设，，则，
，
，此时时，
即当圆心在上距点为时，与相切．
【解析】与相切；
结论仍然成立．连接，因为，，则有，所以和永远平行；又和垂直，所以和也垂直，即是的切线．
当与相切时，若假设切点为，与相交于，则和垂直，即是一个以为斜边的直角三角形；从而根据三角函数求得，的长，即可确定圆心在的什么位置时，与相切．
本题考查圆的有关性质和切线的判定，灵活寻找线段的各种关系是解题关键．
24.【答案】解：设总厂原来每周制作帐篷千顶，分厂原来每周制作帐篷千顶．
由题意得：，
解得：，
所以千顶，千顶．
答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷千顶、千顶．
设从甲市总厂调配千顶帐篷到灾区的地，则总厂调配到灾区地的帐篷为千顶，
乙市分厂调配到灾区，两地的帐篷分别为，千顶．
甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆．
由题意得：．
即：．
因为，所以随的增大而减小．
所以当时，有最小值．
答：从总厂运送到灾区地帐篷千顶，从分厂运送到灾区，两地帐篷分别为千顶、千顶时所用车辆最少，最少的车辆为辆．
【解析】有两个等量关系：原来总厂每周生产帐篷数分厂每周生产帐篷数千，现在总厂每周生产帐篷数分厂每周生产帐篷数千，直接设未知数，可以根据等量关系列出二元一次方程组解决问题．
首先应考虑到影响车辆总数的因素有两个，帐篷顶数和每千顶帐篷所需车辆数，所需车辆总数是两者的积；其次应考虑到由总厂，分厂运送到，两地的帐篷数共四个量，它们互相联系．
本题考查了一元一次不等式，解决含有多个变量的问题时，可以分析这些多个变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．
25.【答案】解：同意．如图，设与交于点．
由折叠知，平分，所以．
又由折叠知，，，
所以，
所以，所以，
即为等腰三角形；
由折叠知，四边形是正方形，，
所以．
又由折叠知，，
所以．
从而．
【解析】本题是一道折叠操作性考题．重点考查学生通过观察学习，领悟感受，探究发现折叠图形的对称性，培养其自主学习能力，本题的关键是成轴对称的两个图形全等，对应角相等．
由两次折叠知，，，从而得到，则可得为等腰三角形；
根据折叠得到四边形是正方形，即得，度数，继而再由折叠得到，最后根据求得答案．
26.【答案】解：抛物线与轴交于点、，与轴交于点，
，
将点代入，
得，
，
抛物线的解析式为；
直线经过，，
可设直线的解析式为，
将点代入，
得，
，
直线的解析式为；
是直角三角形，理由如下：
如图，过点作轴于点，
，
顶点，
，，
，，
和是等腰直角三角形，
，
，
是直角三角形；
轴，，
，
，
若是直角三角形，只可能存在或，
如图，当时，
轴，
轴，
，
四边形为矩形，
，
在中，当时，，，
；
如图，当时，
由知，，
此时点与点重合，
，
，
综上所述，当是直角三角形时，点的坐标为或．
【解析】将点，的坐标代入即可求出抛物线的解析式，将点，的坐标代入即可求出直线的解析式；
先判断是直角三角形，如图，过点作轴于点，先求出顶点的坐标，再证和是等腰直角三角形，即可推出，即得出结论；
分情况讨论，先确定若是直角三角形，只可能存在或，可分别根据直角三角形的性质求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求解析式，直角三角形的判定，直角三角形的性质等，解题关键是求直角三角形的存在性时注意分讨论思想的运用等．
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