2022-2023学年云南省临沧市耿马县重点学校九年级（下）期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年云南省临沧市耿马县重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 等高线指的是地形图上海拔相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔若高于海平面米记为米，某地的高度低于海平面米，则此处的等高线标注为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2. 下列立体图形的主视图可能是矩形的是
A. 圆柱 B. 三棱锥 C. 球 D. 圆锥
3. 下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 一个多边形内角和是，则这个多边形是( )
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
5. 截至年月，中国已建设开通了万个基站，建成全球技术领先、规模最大、用户最多的网络数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
6. 如图，一枚运载火箭从地面处发射，雷达站与发射点距离，当火箭到达点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知、满足方程组，则的值是( )
A. B. C. D.
8. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若：：，的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
9. 按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是( )
A. B.
C. D.
10. 某班在一次班委选举中，参与投票的学生必须从参选的四名同学甲、乙、丙、丁中选名，且只能选名进行投票，根据投票结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列结论不正确的是( )
A. 参与投票的学生有人 B. 乙的票数为票
C. 的值为 D. 条形统计图中括号里应填的选手是甲
11. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为
B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大
D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在
12. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）
13. 代数式有意义时，应满足的条件为______ ．
14. 如图，，，，则的度数为______ ．
15. 已知点，关于轴对称，若反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．
16. 在中，为边上的高，，，的面积为，边的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
18. 本小题分
已知：如图，与交于点，点是线段的中点，求证：．
19. 本小题分
共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如图表：
使用次数
人数
根据以上表格信息，解答下列问题：
这组数据的中位数是______ ；众数是______
这部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？结果保留整数
若该校某天有名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在次及次以上的学生有多少人？
20. 本小题分
为落实国家“双减”政策，丰富学生的课外活动，某学校在课后活动中开设了书法、绘画、武术三门课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等
小明选择的课程是武术这一事件是______
A.随机事件必然事件不可能事件
若小明和小刚两位同学各选修一门自己喜欢的课程，请用列表或画树状图的方法求他们两人恰好选修同类课程的概率．
21. 本小题分
如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接，
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
22. 本小题分
某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球，用于日常训练，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多元，用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍．
求篮球和足球的单价各是多少？
根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共个，且要求购买足球数量不超过篮球数量的，请你设计一个购买方案使得购买费用最少，最少费用为多少元？
23. 本小题分
如图，是的直径，弦于点，点在的延长线上，连接，且．
求证：是的切线；
若，，当动点在的圆周上运动时不与、重合，的比值是否发生变化？若不变，求出这个比值；若变化，说明其变化的规律．
24. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点，与轴轴交于点，且抛物线上任意一点到直线的距离与它到点的距离相等．
求的值；
记，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将高于海平面米记作米，海平面的高度记为米，低于海平面米记作米，
故选：．
根据题意，将高于海平面米记作米，低于海平面米记作米，等高线上标注的数字为该等高线的海拔，可以表示出低于海平面米的等高线．
本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键．
2.【答案】
【解析】解：圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B.三棱锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意；
C.球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
D.圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3.【答案】
【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故选：．
根据多边形的外角和公式，列式求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6.【答案】
【解析】
【分析】
根据正切的定义即可求解．
本题考查了锐角三角函数，仰角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：在中，，，
，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
方程组两方程左右两边相加，即可求出的值．
【解答】
解：，
得：，
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：与是位似图形，
∽，，
∽，
，
，
的面积为，
的面积为，
故选：．
根据位似图形的概念得到，证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：分子，，，的规律为，
分母，，，的规律为，
符号的规律为，
故第个数为，
故选：．
根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答．
本题考查了数字的变化规律，分别找到分子、分母及符号的规律是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：调查的总人数为：人，因此选项A不符合题意；
乙的圆心角是，即选乙的人数占调查人数的，而人，因此选项B符合题意；
选丙的人数为人，，即，因此选项C符合题意；
，所以条形统计图中括号里应填的选手是甲，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据频率以及扇形统计图的意义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握百分比是正确解答的关键．
11.【答案】
【解析】解：由图象可知：
当温度为时，碳酸钠的溶解度小于，故选项A说法错误，不符合题意；
至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减少，故选项B说法错误，不符合题意；
当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意；
要使碳酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：．
根据函数图象解答即可．
本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
12.【答案】
【解析】解：，，，
，
为等腰直角三角形，，
设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
该圆锥的高．
故选：．
先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理的逆定理．
13.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，，
故答案为：．
根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：点，关于轴对称，
，，
点，
反比例函数的图象经过点，
．
故答案为：
根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、值，代入解析式求出值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知图象上点的纵横坐标之积即为解析式中的值是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：分两种情况考虑：
，，的面积为，
，
，
当在内，如图所示，此时为锐角三角形，
在中，根据勾股定理得：，
，
在中，根据勾股定理得：；
当在外，如图所示，此时为钝角三角形，
在中，根据勾股定理得：，
，
在中，根据勾股定理得：，
故答案为：或．
分两种情况考虑：如图所示，此时为锐角三角形，在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出的长即可；如图所示，此时为钝角三角形，同理求出的长即可．
本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
17.【答案】解：原式
．
【解析】利用负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，绝对值的性质，算术平方根的定义，有理数的乘方法则进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：是的中点，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】证明≌，可得．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
19.【答案】
【解析】解：调查的总人数为人，
将调查的人共享单车的使用次数从小到大排列，第个和第个数都是，所以中位数为，
使用次数最多的是次，共出现人，因此众数是，
故答案为：，；
次，
答：这部分出行学生平均每人使用共享单车约次；
人，
答：估计这天使用共享单车次数在次及次以上的学生有人．
根据中位数、众数的定义进行计算即可；
根据平均数的计算方法进行计算即可；
用总人数乘以样本中使用共享单车次数在次及次以上的学生所占的百分比即可．
本题考查众数、中位数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的难点．
20.【答案】
【解析】解：学校在课后活动中开设了门课程，
小军选择的课程是篮球这一事件是随机事件，
故选：；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小明和小刚两位同学恰好同时选修同类课程的结果有种，
小明和小刚两人恰好同时选修球类课程的概率是．
由随机事件的概念即可得出结论；
画树状图，共有种等可能的结果数，其中小明和小刚两位同学恰好同时选修同类的有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
【解析】先证四边形是平行四边形，再证出，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
由菱形的性质得，，，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，，然后由勾股定理求出，则，最后由菱形的面积，即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
22.【答案】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：篮球的单价是元，足球的单价是元；
设学校购买个篮球，则购买足球个，购买费用为元，
则，
购买足球数量不超过篮球数量的，
，
解得，
，
当时，有最小值，最小值为元，
此时，
答：社团购买个篮球，个足球费用最少，最少费用为元．
【解析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据用元购买足球的数量是用元购买篮球数量的倍列出方程，解方程即可；
设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，购买费用为元，根据总费用购买篮球和足球费用的和列出函数解析式，再根据购买足球数量不超过篮球数量的，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值．
23.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：的比值不发生变化，
理由：如图，，，
，，
∽，
同理∽，
则，
，
，，
设，则，
故，
解得：，故E，
即，
，
当点与点重合时：，
当点与点重合时：，
当点不与点、重合时：连接、、，
，
，
，
，
∽，
综上所述，的比值不变，比值为．
【解析】根据垂径定理得，然后证明，进而可得是的切线；
分别利用当点与点重合时：，当点与点重合时：当点不与点、重合时，得出∽，分别得出答案．
本题是圆的综合题，有一定的难度，考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：设点为抛物线上的任意一点，坐标为，
点到直线的距离为：，
点的坐标为，
，
点到直线的距离与它到点的距离相等，
，
整理得：，
点为抛物线上的任意一点，
，
；
证明：直线经过点，
此时直线的解析式为：，
由可知：，
抛物线的解析式为：，
令，
整理得：，
直线与抛物线交于，，
，是方程的两个实数根，
，，
，
点，在抛物线上，
，，
，
同理：，
，
，
点，又在直线上，
，，
，
同理：，
，
，
，
，
．
【解析】设点为抛物线上的任意一点，坐标为，根据点到直线的距离与它到点的距离相等得，整理得：，然后根据点为抛物线上的任意一点得，据此可求出的值；
令得，依题意得，是方程的两个实数根，则，，进而得，先求出，，进而得，再求出，，进而得，据此即可得出结论．
此题主要考查了一次函数与二次函数图象的交点，一元二次方程根与系数的关系，解答此题额的关键是理解题意，熟练掌握两点间的距离公式，能够正确的用点坐标表示出相关线段的长度．
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