2022-2023学年甘肃省临夏州高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省临夏州高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的导数是( )
A. B. C. D.
2. 在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位：与起跳后的时间单位：存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，若，，且，则( )
A. B. C. D.
4. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
5. 为响应“书香临夏、悦享阅读”活动，某校开展语文教师课文朗诵比赛已知男女教师人数相同，有的男教师和的女数师擅长中华诗词朗诵，现随机选一位教师，这位教师恰好擅长中华诗词朗诵的概率是( )
A. B. C. D.
6. 我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 根据国家统计局统计，我国年新生儿数量如表：
年份编号
年份 年 年 年 年 年
新生儿数量单位：万人
依据表中的数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，经计算与的线性回归方程为，请预测年我国新生儿的数量约为( )
A. 万人 B. 万人 C. 万人 D. 万人
8. 已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 设某项试验成功率是失败率的倍，若用随变量描述一次试验的成功次数，，分别为随机变量的均值和方差，则( )
A. B. C. D.
11. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数共有两个极小值点
12. 如图，正方体的棱长为，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距度为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已用，，则在方向上的投影向量为______ ．
14. 函数在点处的切线方程为______ ．
15. 临夏刺绣是传统民间工艺，历史悠久，享有“一针一世界，一绣一繁华”的美誉，年被列为市级非物质文化遗产名录、刺绣精巧别致、种类多样现有两人都准备从“床布、门帘、中堂、墙帱”四个物体中随机购买一个，设事件为“两人至少有一人购买墙帱”，事件为“两人选择的物件不同”，则 ______ ．
16. 在数学中用符号“”表示“连乘”，类似于表示“连加”，例如：，已知函数，记为的导函数，若，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以为单位长度，建立空间直角坐标系，求：
直线的一个方向向量；
点到平面的距离．
18. 本小题分
某高科技产品研发中心组织“科技创新知识挑战赛”，组委会共设计道不同的参赛题目比赛规定：每个参赛队从这道题中随机抽取道题进行现场答题，若答对其中道及以上即为挑战成功现有甲、乙两队参加比赛，根据平时经验，甲队能正确完成其中的道题，乙队能正确完成每道题的概率为求：
乙队挑战成功的概率；
甲队正确完成题目个数的分布列和期望，并说明哪个队挑战成功的可能性更大．
19. 本小题分
给出条件：是函数的一个极值点；的一个零点为从这两个条件中任意选择一个作为题中的条件，并给出解答．
【注】若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
已知函数的导函数为，且_____．
求；
求函数在区间上的最大值和最小值．
20. 本小题分
如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，点为的中点．
证明：平面；
若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
21. 本小题分
为了考察某种新疫苗预防疾病的作用，科学家对小白鼠进行试验，所得数据单位：只如表所示：
项目 发病 没发病 合计
接种疫苗
未接种疫苗
合计
能否有的把握认为接种疫苗与预防疾病有关？
若任选一只小白鼠，表示事件“选中的小白鼠接种疫苗”，表示事件“小白鼠发病”．
(ⅰ)利用表中数据，求，的估计值；
(ⅱ)记为接种疫苗与预防疾病风险程度的一项度量指标，求的估计值．
附：．
22. 本小题分
设函数，．
求证：；
若当时，恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为是常数，所以的导数是．
故选：．
根据常数的导数为零判断即可．
本题考查了导数的运算问题，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
所以运动员在时的瞬时速度为．
故选：．
根据导数的物理意义可求出结果．
本题主要考查了导数的物理意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，且，
所以，得，
所以，所以，
所以．
故选：．
由，得求出，从而可求出的坐标，进而可求出其模．
本题考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
根据正态分布的对称性可求出结果．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设“男教师”，“女教师”，“擅长中华诗词朗诵”，
则，，，
则．
故选：．
根据全概率公式可求出结果．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，四棱锥为阳马，
平面，且，，
因为，所以，
所以
，
又，所以，则．
故选：．
根据空间向量线性运算法则计算可得．
本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
所以，
当时，．
故年我国新生儿的数量约为万人．
故选：．
先求出，，，得回归直线方程，再代入可得结果．
本题主要考查线性回归方程，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：的定义域为，
求导得，
若在上单调递增，则，
所以在上恒成立，
只需，，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以．
故选：．
转化为，即在上恒成立，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
根据基本初等函数的导数公式以及求导法则计算可得答案．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为某项试验成功率是失败率的倍，
不妨设试验的成功率为，
则试验的失败率为，
此时，
解得；
记一次试验中成功的次数为，
则的所有取值为，，
此时，，故选项A正确；
的分布列为：
可得，
而，故选项B正确；
此时，选项C正确；
而，选项D错误；
故选：．
由题意，求出试验成功的概率，记一次试验中成功的次数为，求出的所有取值和对应的概率，列出分布列，结合期望和方差公式对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
11.【答案】
【解析】解：当时，，当时，，
所以函数在上先减后增，故A错误；
当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；
因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，
所以函数在处取得极大值，故C正确；
因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数在处取得极小值，
因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数在处取得极小值，
则函数共有两个极小值点，故D正确．
故选：．
利用导函数的图象，根据导函数的符号判断函数的单调性，从而判断，，根据极值和极值点的概念分别判断，．
本题考查了函数的单调性，极值点问题，考查导数的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，计算，选项A正确；
，计算，，，
所以，，
根据三角函数同角的正余弦关系得，，，
所以的面积为，，选项B正确；
，，
计算，，，
所以，，选项C错误；
点到直线的距离为，，
计算，，
，，
所以，，选项D正确．
故选：．
以为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的值判断选项A是否正确；计算的面积判断选项B是否正确；求，判断选项C是否正确，计算点到直线的距离，判断选项D是否正确．
本题考查了空间向量的应用问题，也考查了运算求解能力与推理判断能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：在方向上的投影向量为．
故答案为：．
用在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得结果．
本题考查了投影和投影向量的定义及计算方法，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，，则切点为，
因为，
则，
所以在点处的切线斜率为，
则切线方程为，即．
故答案为：．
根据题意，由导数的几何意义即可得到结果．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，，
所以．
故答案为：．
根据条件概率公式可求出结果．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
设，则，
，
所以，
设，则，
，
所以，
所以．
故答案为：．
设，则，可求出；设，则，可求出．
本题考查了连乘的表示符号，基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：依题意得，，
所以为直线的一个方向向量；
由题意可知，，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，，
则，
所以点到平面的距离为．
【解析】根据题意得到点，的坐标，可得直线的一个方向向量；
根据点面距的向量公式可求出结果．
本题考查了空间向量的应用，重点考查了点面距的向量公式，属中档题．
18.【答案】解：因为乙队能正确完成每道题的概率为，
不妨设乙队正确完成的题目数为，
此时，
因为答对其中道及以上即为挑战成功
而，，
所以乙队挑战成功的概率为；
因为甲队能正确完成其中的道题，
易得的所有取值为，，，，
此时，，，，
则的分布列为：
所以，
易知甲队挑战成功的概率为，
因为，
所以甲队挑战成功的可能性更大．
【解析】由题意，根据古典概型概率公式进行求解即可；
得到的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中得到期望值，再求出的概率，将其与乙队中的概率进行比较，进而即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：，
若选，，得，
当时，，
令，得，令，得或，
所以在上为减函数，在，上为增函数，
所以是函数的一个极值点，符合题意，
所以．
若选，，得．
由知，，，，
令，得，令，得或，
所以在上为减函数，在，上为增函数，
当时，在上为增函数，在上为减函数，上为增函数，
因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】若选，由可得，再验证；若选，由，得；
由导数得函数单调性，根据单调性可得最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：连交于，则为的中点，
因为为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
因为底面为正方形，底面，点为的中点．，
所以，
所以，
以为原点，以，，的正方向分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，则可取，
设平面的一个法向量为，
则，即，则可取，
所以，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
【解析】连交于，根据中位线平行以及线面平行的判定定理可证；
根据三棱锥的体积为，求出，以为原点，以，，的正方向分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量可求出结果．
本题考查线面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得：，
因为，所以有的把握认为接种疫苗与预防疾病有关．
由题意知，，，，，
，．
，，
，，
，
故的估计值为．
【解析】根据独立性检验公式求出，即可判断；根据条件概率概念计算求解．
本题考查独立性检验与概率的应用，属于中档题．
22.【答案】解：设，，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，即．
设，
当时，，即恒成立，
，
当时，因为，，，所以，
在上为增函数，恒成立，
当时，设，，
若，即时，因为，所以，在上为增函数，
，即在上恒成立，故在上为增函数，
所以恒成立，
若，即时，令，得，则在上为减函数，
所以当时，，即，在上为减函数，
可得，不符合题意．
综上所述：．
【解析】作差构造函数，利用导数证明即可；
作差构造函数，求导后分三种情况，，，讨论求解即可得解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，属难题．
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