2022-2023学年湖北省武汉重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图各交通标志中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. “翻开人教版数学九年级下册，恰好翻到第页”，这个事件是( )
A. 确定事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 随机事件
4. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 的结果是( )
A. B. C. D.
6. 已知，，都在反比例函数的图象上，、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
7. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是( )
A. B. C. D.
8. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，分钟时，再打开出水管排水，分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完在整个过程中，容器中的水量升与时间分钟之间的函数关系如图所示，则图中的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，半圆的直径，是半圆的切线，是射线上一动点不与点重合，连接，交半圆于点，若垂直且平分，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知：直线：与直线：是正整数及轴围成的三角形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 比大的最小整数是______ ．
12. 太阳的半径约为千米，用科学记数法表示数为______．
13. 甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽取一本不放回，三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是 ．
14. 如图载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则飞船从到处的平均速度为______ 米秒结果精确到米；参考数据：，
15. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：；；若方程有两个根和，且，则；若方程有四个根，则这四个根的和为其中正确结论的是______．
16. 中，，，，绕点顺时针旋转得到线段，则 ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集是______ ．
18. 本小题分
如图，已知，．
试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．
若平分，，求的度数．
19. 本小题分
某校为了解九年级学生每天的睡眠时间单位：，在年段名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并将调查结果分为：；：；：；：；：五个组进行统计，根据统计的信息，绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．
本次调查的样本容量是______ ；
补全条形统计图；
调查数据的中位数落在______ 组；
若每天的睡眠时间未达到小时的学生需要加强睡眠管理，求该校学生需要加强睡眠管理的学生大约有多少人？
20. 本小题分
如图，是直径，弦于点，过点作交的延长线于点，垂足为点，连结．
求证：；
若，求的长度．
21. 本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，三点是格点，点在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
在图中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段；再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；
在图中，连接，将以为位似中心缩小为原来的得到，画出；
在图中，在上画一点，在上画一点，使得最小．
22. 本小题分
将小球看作一点以速度竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐减少直至为，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度与时间的函数解析式为两部分之和，其中一部分为速度与时间的积，另一部分与时间的平方成正比若上升的初始速度，且当时，小球达到最大高度．
求小球上升的高度与时间的函数关系式不必写范围，并直接写出小球上升的最大高度；
如图，平面直角坐标系中，轴表示小球相对于抛出点的高度，轴表示小球距抛出点的水平距离，向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度，发现小球运动的路线为一抛物线，其相对于抛出点的高度与时间的函数解析式与中的解析式相同．
若，当时，小球的坐标为______ ，小球上升的最高点坐标为______ ；小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式为______ ；
在小球的正前方的墙上有一高的靶心看作点，若小球恰好能击中靶心，请直接写出小球的水平速度的取值范围．
23. 本小题分
问题背景
如图，，交于，延长，交于，，证明：；
应用拓展
如图，在四边形中，，点，分别在边，上，连，交于，，交于，
若，证明：；
若于，于，，，直接写出 ______ ．
24. 本小题分
抛物线交轴交于，两点在左侧，与轴交于，．
求抛物线的解析式；
若是抛物线上，之间的一点不与，重合，连接，，交轴于，记四边形的面积为，求的最大值；
若是第一象限抛物线上的一点，点与关于抛物线的对称轴对称，点在第四象限抛物线上，且，若点与点的横坐标之差为，求点的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义进行计算即可．
本题考查相反数，理解相反数的定义是正确解答的前提．
2.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、、是中心对称图形，故B、、选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义可直接选出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：书本上存在第页，故存在翻到第页的可能，也可能翻到其他页，故这个事件是随机事件，
故选：．
利用事件的定义进行区分判断即可．
本题考查各类事件的判断，明确一定会发生的是必然事件，一定不可能发生的是不可能事件，存在多种可能，其中一种可能发生的是随机事件，必然事件和不可能事件都属于确定事件．
4.【答案】
【解析】解：这个组合体的左视图为：
故选：．
根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握解答组合体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
5.【答案】
【解析】解：的结果是，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
反比例函数在一、三象限内随的增大而减小，
故选：．
由反比例函数的系数大于，得到函数在一、三象限内随的变化情况，进行判断．
本题考查反比例函数图象的性质，根据系数符号判断随的变化情况，来判断函数值大小，注意反比例函数的大小判断需要分别在各自象限进行比较．
7.【答案】
【解析】解：原式
，
故选：．
利用分式化简计算出结果即可．
本题考查分式的化简计算，相同因式及因数可上下约分．
8.【答案】
【解析】解：依题意，分钟进水升，则进水速度为升分钟，
分钟时，再打开出水管排水，分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完直至容器中的水全部排完，
则排水速度为升分钟，
，
解得．
故选：．
根据函数图像，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，过点作于，
垂直且平分，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
是半圆的切线，
，
，
，
故选：．
连接，过点作于，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形的公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
解得：，
直线与轴交于点；
当时，，
解得：，
直线与轴交于点；
联立两直线解析式组成方程组得：，
解得：，
两直线的交点坐标为，
，
．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两直线与轴的交点坐标及两直线的交点坐标，结合三角形的面积公式，可得出，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，找出是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
比大的最小整数为．
故答案为：．
利用二次根式平方法比较大小，再判断即可．
本题考查二次根式的估值，通常利用平方法进行整数范围的估算．
12.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
13.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
总共有种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本只有种情况，
三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是，
故答案为：．
采用画树状图法求求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了树状图或列表法求概率，熟练掌握画树状图的方法是解题的关键，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意不放回．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：，
在中，米，，
米，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
飞船从到处的平均速度米秒，
故答案为：．
根据题意可得：，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：抛物线的开口向上，则，对称轴在轴的左侧，则，交轴的负半轴，则，
，错误；
抛物线的顶点坐标，
，，
，，
抛物线的解析式为，
，正确；
抛物线交轴于，，
若方程有两个根和，且，则，正确；
若方程有四个根，设方程的两根分别为，，
则，可得，
设方程的两根分别为，，则，可得，
所以这四个根的和为，正确．
故答案为：．
根据抛物线图象判断参数符号判断，由顶点坐标可得、，进而判断；由有两个根和，且，即可判断；讨论，结合根与系数关系求四个根的和判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
16.【答案】
【解析】解：过点作，交延长线于点，过点作，交的延长线于点，交于点，如图，
中，，，，
，
，，
根据旋转可知：，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
故答案为：．
过点作，交延长线于点，过点作，交的延长线于点，交于点，先求出，即有，，根据旋转可知：，，再证明，即有，，据此求出，，进而可得，则，，，，问题随之得解．
本题主要考查了解直角三角形，旋转的性质等知识，构造合理的辅助线，灵活运用三角函数，是解答本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：解不等式，得，
故答案为：；
解不等式，得，
故答案为：；
把不等式和的解集在数轴上表示如图：
由数轴知，原不等式组的解集为：，
故解集为：，
根据一元一次不等式的解法求解即可；
根据一元一次不等式的解法求解即可；
将中解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心；
根据数轴得出原不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法并正确求解是解答的关键．
18.【答案】解：，
已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
，
，
，
，
平分，
，
，
．
【解析】由可证得，得，已知，等量代换后可得，由此可证得与平行；
由两直线平行，同旁内角互补得，由平分，得，两直线平行，内错角相等，得出．
此题主要考查平行线的判定和性质．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
19.【答案】
【解析】解：由题意得，样本容量为：，
故答案为：；
组人数为：；
组人数为：，
把抽取的学生平均每天的睡眠时间从小到大排列，排在第和个数都在组，
所以中位数落在组．
故答案为：；
人，
答：该校学生需要加强睡眠管理的学生大约有人．
先求出样本容量，再根据中位数的定义解答即可；
根据加权平均数的计算方法解答即可；
用该校学生人数乘样本中每天的睡眠时间末达到小时的学生所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】证明：，，
，
．
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
负根已经舍去．
【解析】欲证明，只要证明；
求出，证明，利用勾股定理构建方程求解．
本题考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，即为所求．
如图中，点，点即为所求．

【解析】如图中，连接交于点，连接延长交与点，线段即为所求；
作出线段，的中点，可得的重心，连接，延长交与点，连接，即为所求；取格点，连接，，交与点，连接交于点就，连接交与点取格点，，连接交与点，过点作直线垂直平分线段，作出点关于直线的对称点，作直线交与点，点，点即为所求．
本题考查作图位似变换，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】 ；
【解析】解：根据题意可设，
当时，小球达到最大高度，
抛物线的对称轴为直线，即，
解得，
上升的高度与时间的函数关系式为，
在中，令得，
小球上升的最大高度是；
当时，，
，
小球的坐标为；
由可知，时，取得最大高度，
，
小球上升的最高点坐标为；
由题意可知，，
，
；
小球上升的高度与小球距抛出点的水平距离之间的函数关系式是；
故答案为：；；
，的坐标为，
；
当小球刚好击中点时，，
解得或，
当时，，
当，，
当小球刚好击中点时，，
解得或，
当时，，
当，，
的取值范围为：或．
根据题意可设，根据当时，小球达到最大高度，有，故，，令得，从而小球上升的最大高度是；
把代入中所求解析式，求出此时小球纵坐标，再根据可得出此时的横坐标；根据中时，取得最大高度，可求出最高点的横坐标；
先分别求出小球刚好到，点时的值，再求出对应的的值，即可得出的范围．
本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键．
23.【答案】
【解析】问题背景：证明：，，
∽，则；
应用拓展
证明：延长、交于点，
，，
∽，则，
，
∽，
，即，
，又，
∽，
，
，，
，
，即；
解：在上图中，连接，
于，，
，又，
，
由中证明过程知，即，，
∽，则，
由中证明过程知，又，
∽，
，即，又，
∽，
，即，
∽，，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
问题背景：直接由相似三角形的判定与性质即可得到；
应用拓展：延长、交于点，证明∽和∽，得到，进而可证明∽，得到，再证明，即可证得结论；
连接，先证，由中证明过程知，可证明∽，得到，再证明∽和∽得到，进一步求得，可求解．
本题是相似三角形的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数，利用类比思想，灵活运用相似三角形的判定与性质探究边与角关系是解答的关键．
24.【答案】解：设，，，，
，
抛物线的解析式为：；
，，，
，，
设，，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
，，
当时，有最大值；
过作轴，过作于，过作于，则，
设，，
点与关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线，
，
即，
点与点的横坐标之差为，点在的右侧，
的横坐标为，又在抛物线上，
，
，，，
，
，
∽，则，
，
，
经检验是方程的解，
，
故的横坐标为．
【解析】设，，，利用待定系数法求解即可；
由得到，，，则，，设，利用待定系数法求得直线的表达式，进而求得点坐标，然后利用坐标与图形性质和三角形的面积公式，结合二次函数的性质求解即可；
过作轴，过作于，过作于，则，设，，根据二次函数的对称性得到，再由题意得到，再证明∽，则，进而求解即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．
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