人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1第二课时 等比数列的性质及应用 同步训练（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.1第二课时 等比数列的性质及应用 同步训练（原卷版）
[A级　基础巩固]
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24　　　　　　　　　　 B．0
C．12 D．24
2．在正项等比数列{an}中，an＋1A. D．
C. D．
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1　　　　　　　　　 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.
10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
[B级　综合运用]
11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)
A．230 B．210
C．220 D．215
12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
14．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．
[C级　拓展探究]
容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.1第二课时 等比数列的性质及应用 同步训练（解析版）
[A级　基础巩固]
1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24　　　　　　　　　　 B．0
C．12 D．24
解析：选A　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
2．在正项等比数列{an}中，an＋1A. D．
C. D．
解析：选D　法一：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝2＝.
法二：设公比为q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1.
∵a2·a8＝a4·a6＝6，
∴则或(舍)．
∴q2＝＝，
∴＝＝.
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
解析：选C　∵a3a8a13＝a，∴lg(a3a8a13)＝lg a＝3lg a8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝a＝10 000，故选C.
4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则(　　)
A．a1＝1　　　　　　　　　 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析：选B　由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝a，所以a＝1，得a3＝1.
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：选C　等比数列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.
6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
7．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.
解析：由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.
答案：18
8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，
则第10个正方形的面积S＝a＝2＝211＝2 048.
答案：2 048
9．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.
解：法一：由条件得
由②得a＝512，即a7＝8.
将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.
解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±.
法二：∵a3a11＝a2a12＝a，
∴a＝512，即a7＝8.
于是有
即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.
因此或
又∵a11＝a3·q8，
∴q＝±＝±4＝±或q＝±＝± .
10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：∵a1a5＝a，a3a7＝a，
∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
∴即
解得或
分别解得或
∴an＝2n－2或an＝26－n.
[B级　综合运用]
11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝(　　)
A．230 B．210
C．220 D．215
解析：选C　∵a1·a2·a3·…·a30＝230，
∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，
∴a1＝2－，
∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3)
＝(2－×22)10×(23)45＝220.
12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B　∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2，
∴
∵a1＞1，∴
由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1，
∵a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝a＜1，∴T13＜1，
∴n的最大值为12，故选B.
13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50.
答案：e5　50
14．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．
解：依题意a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝＝＝3，
所以abn＝a13n－1，①
又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1，②
由①②得a1·3n－1＝·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
[C级　拓展探究]
15．容器A中盛有浓度为a%的农药m L，容器B中盛有浓度为b%的同种农药m L，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持m L，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%
解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；
b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；
bn＝(an－1＋4bn－1)，an＝(4an－1＋bn－1)．
∴an－bn＝(an－1－bn－1)＝…
＝(a0－b0)·n－1.
∵a0－b0＝，∴an－bn＝·n.
依题意知·n<1%，n∈N*，解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.