2023—2024学年人教版数学九年级上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质同步练习题（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．将二次函数变形为顶点式得到的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．把二次函数的图像向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度所得图像的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点与点关于y轴对称，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象经过点和点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．对称轴
C．与轴的交点为 D．顶点坐标
6．关于x的二次函数在y轴右侧y随x的增大而减小，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线，当时，y的最小值为，则当时，y的最大值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
8．如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，其中．下列结论错误的是（ ）
A． B．若实数，则
C．当时， D．
二、填空题
9．已知函数满足下列两个条件：①时，y随x的增大而增大：②它的图像经过点．请写出一个符合上述条件的函数的表达式______．
10．点在抛物线上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是______.
11．若抛物线的顶点在轴的下方，则实数的取值范围是______．
12．把抛物线先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．
13．已知二次函数，当时，的取值范围为___________．
14．若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第________象限．
15．若二次函数在或时，函数值相等，则当时，函数值为___________．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为______．

三、解答题
17．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段绕点P逆时针旋转得到，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．
18．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)写出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并求最大值．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式；
(3)若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值．
20．已知二次函数的图象经过和两点，与y轴交于求此二次函数的解析式．
21．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由．
参考答案
1．解：由题意可得，
，
故选B．
2．解：由“左加右减”的原则可知，二次函数的图像向左平移2个单位得到，
由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图像向下平移3个单位可得到函数．
故选：D．
3．解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得，，
∴把，代入得抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为．
故选：B．
4．解：当时，，
∴抛物线经过
∴只有B选项符合
故选：B．
5．解：把和代入得：
，解得，
∴二次函数的关系式为，
对称轴为，
当时，，
∴顶点坐标为
抛物线与y轴交点坐标为，
因此选项A、B、C均不符合题意，选项D符合题意，
故选D．
6．解：关于x的二次函数的对称轴为直线，
∵，且在y轴右侧y随x的增大而减小，
∴，
解得：，故B正确．
故选：B．
7．解：∵抛物线，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，当时，取得最大值为，
∵当时，y的最小值为，
∴时，，得，
∴，
∵，
∴时，取得最大值，此时，
故选：A．
8．解：∵抛物线的对称轴是，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴，故A正确，不符合题意，
∵抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴当时，，
∴当实数，则，
∴实数，则，故B正确，不符合题意，
∵，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴，故C正确，不符合题意，
∵当时，，
∴，即，故D错误，符合题意．
故选：D．
9．解：若选择二次函数，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴二次函数开口向上，即，
∵它的图像经过，
∴二次函数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
10．解：根据，
∴对称轴，
因为点P到y轴的距离小于1，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
所以n的取值范围为，
故答案为：．
11．解：，
化为顶点式为：，
，
，
故答案为：．
12．解：抛物线平移后解析式为，
即，
所以新的抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
13．解： ，
该抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：，
故答案为：．
14．解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，，
∴抛物线的顶点在第四象限，
故答案为：四；
15．解：当或时，二次函数的函数值相等，
以、为横坐标的点关于直线对称，则，
，
，
，
当时，，
故答案为：3．
16．解：，
则抛物线的顶点坐标为，
当点在抛物线的顶点时，最小，最小值为，
四边形是矩形，
，
对角线的最小值为，
故答案为：．
17．（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：过点P作轴于点M，轴于点N，
∵，
∴四边形为矩形，
∴即，
∵将线段绕点P逆时针旋转得到，
∴且，即，
∴，
∴，
∴，
设，则，
解得，
∴．
18．（1）解：(1)配方：
（2）由（1）可知该二次函数图象的对称轴是直线，
顶点坐标是，
当时，达到最大值3.
19．（1）解：将代入，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴平移后的函数解析式为；
（3）解：令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，的长有最大值4．
20．解：设该二次函数的解析式为，
把、、代入得：
，解得：，
∴ 二次函数的解析式为．
21．（1）解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）在中，令时，得：，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
过点作轴交直线于点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
则是等腰直角三角形，
∴当以为底的等腰三角形，则，
∴在的角平分线上，即上
联立得
解得：或
∴或．