2023—2024学年人教版数学九年级上册 22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质同步练习题（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质》
同步练习题（附答案）
一、单选题
1．关于函数的性质表述正确的一项是(　　)
A．无论x为任何实数，y的值总为正 B．当x值增大时，y的值也增大
C．它的图象关于y轴对称 D．它的图象在第一、三象限内
2．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，﹣2） C．（0，2） D．（，0）
3．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．y轴
4．抛物线与抛物线的相同点是（　　）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
5．已知点、、，都在函数的图象上，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
6．二次函数的图象经过原点，则k的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．3
7．如图平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3），若抛物线的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是（　　）
A．≤a≤ B．1≤a≤3 C．≤a≤3 D．≤a≤1
8．如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
二、填空题
9．已知二次函数，则其图像的开口向______．（填“上”或“下”）
10．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点，则该抛物线的表达式为______．
11．二次函数有最_________值为__________．
12．二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________．
13．已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________.
14．在平面直角坐标系xoy中，矩形四个顶点坐标分别为(1，1)，(1，2)，(3，1)，(3，2)，若抛物的图象与矩形的边有公共点，则实数的取值范围是____________．
15．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
16．抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则________．
三、解答题
17．求符合下列条件的抛物线的表达式.
（1）与的开口大小相同，方向相反；
（2）经过点（-3,2）.
18．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
19．已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B（n，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x …… 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ……
y …… 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ……
（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．
20．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．
（1）求直线AB的解析式；
（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵，
∴函数图象的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴函数图象在第一、二象限内，当x＞0时，y随x的增大而增大，
故C正确，A，B，D错误．
故选：C．
2．解：二次函数的顶点坐标是（0，﹣2）．
故选：B．
3．解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线即y轴，
故选D．
4．解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，2），
∴两条抛物线对称轴相同，
故选：B．
5．解：，
函数图象的对称轴是轴，图象的开口向下，
当时，随的增大而增大，
点，关于对称轴的对称点的坐标是，，且，
，
故选：C．
6．解：∵二次函数的解析式为：，
∴（k 2）≠0，
∴k≠2，
∵二次函数的图象经过原点，
∴，
∴k＝2或 2，
∵k≠2，
∴k＝ 2．
故选：B．
7．解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）.
∴D（3，1），
当抛物线经过点B（1，3）时，，
解得a=3，
当抛物线经过D（3，1）时，
解得a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：C.
8．解：如图，点A关于y轴的对称点的横坐标为1，连接与y轴相交于点C，点C即为使最短的点，
当时，，
当时，，
所以，点，
由勾股定理得，．
故选：B．
9．解：，
∵，
∴该二次函数的图像开口向上，
故答案为上．
10．解：根据题意可设该抛物线解析式为，
将点(2，8)代入，即得，
解得：，
故该抛物线解析式为．
故答案为：．
11．解：由可知：
，开口向下，
∴二次函数有最大值，
又其对称轴为y轴，
∴当x=0时，y最大为5，
故答案为：大，5．
12．解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即，
解得．
故符合条件的点的坐标是：、．
故答案为：、．
13．解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，
∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)，
∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，
∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后的坐标为(-2+m，-2)，
∵二次函数的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方，
∴AB边的中点不可能在二次函数的图象上，
把(-2+m，0)代入，得
-2(-2+m)2=0，
解得m=2；
把(-2+m，-2)代入，得
-2(-2+m)2=-2，
解得m1=1，m2=3；
∴的值为1，2，3，
故答案为1，2，3．
14．解：根据题意得：抛物线过点（1，2）时开口最小，过点（3，1）时，开口最大．
当抛物线过点（1，2）时，2=a×1，
解得：a=2．
当抛物线过点（3，1）时，1=9a，
解得：，
∴实数的取值范围是．
故答案为：
15．解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，
当点P在x轴上方时，∴x2-1>0,
∴PH=|x2-1|=x2-1，
在Rt△OHP中，由勾股定理，得
OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，
∴OP=x2+1，
∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，
故答案为：2．
16．解：设A1B1=x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴OB1=x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=x2+x，
得x=x2+x，
解得x=1或x=0（舍），
设A2B2=m，
∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形，
∴B1B2=m，
∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y=x2+x，
得m2+m＝1+m，
解得m=2或m=-1（舍），
同理可求出A3B3=3，
A4B4=4，
∴B2022A2022=2022，根据勾股定理，
得B2021A2022=，
故答案为：．
17．解：（1）∴函数与的开口大小相同，方向相反，
∴，
∴；
（2）将点（-3，2）代入，得
，解得，
∴所求抛物线的表达式为.
18．（1）解：如图：
，
与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
19．解：（1）将点A（1，m）、点B（n，0）代入直线y=x+2，∴m=3，n=﹣2，∴点A（1，3），点B（﹣2，0），将点A、B分别代入二次函数y=ax2+b，得到，∴，∴y=﹣x2+4，∴对称轴为x=0，顶点为（0，4）；
（2）
画图见解析：

（3）如图，由图象可得ax2+b＞x+2时，﹣2＜x＜1．
20．解：(1)过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，在Rt△OBD中，∠ODB=90°，
∴OD=1，DB=，
∴点B的坐标是(1，)．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，
解得：，
∴直线AB的解析式为
（2）∵抛物线经过A，O，B三点，且点A、O在x轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为x=-1
∵点C在对称轴x=-1上，△BOC的周长=OB+BC+CO，
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x=-1对称，有CO=CA，△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，
BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
∴当x=-1时，代入直线AB的解析式得y=，
∴点C的坐标是(-1，)．
21．解：（1）设直线的解析式为．
把代入得解得
所以直线的解析式为．
把代入得，
所以抛物线的解析式为．
（2）依题意得解得或
即直线与抛物线的两个交点的坐标是．
．
设．
∵，∴，解得或（舍去），∴．
（3）．
①当时，；
②当时，；
③当时，点P是线段的垂直平分线与x轴负半轴的交点．
过点C作轴于点F．设．
在中，，
∵，∴，解得，∴
综上所述，符合条件的点P的坐标为．