2022-2023学年河南省漯河市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省漯河市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为的单位：，的单位：，则时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2. 有下列说法：
在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适．
决定系数用来刻画回归的效果，值越小，说明模型的拟合效果越好．
比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越不好．
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
3. 已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为( )
A. 或 B. C. D. 或
5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验，结论为( )
A. 变量与不独立
B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与独立
D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
6. 设点为直线：上任意一点，过点作圆：的切线，切点分别为，，则直线必过定点( )
A. B. C. D.
7. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内，若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8. 某校组织甲、乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、插花、竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动不重复，且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
10. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为若前两局中乙队以：领先，则( )
A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以：获胜的概率为
C. 乙队以：获胜的概率为 D. 乙队以：获胜的概率为
11. 下列命题中正确的是( )
A. 若平面内两定点、，则满足的动点的轨迹为椭圆
B. 双曲线与直线有且只有一个公共点
C. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则
D. 过椭圆一焦点作椭圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
12. 对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在上恒成立，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 随着我国对新冠肺炎疫情的控制，全国消费市场逐渐回暖，某商场统计的人流量单位：百人与销售额单位：万元的数据表有部分污损，如表所示．
已知与具有线性相关关系，且线性回归方程，则表中污损数据应为______．
14. 若展开式中的系数为，则 ．
15. 已知，为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线交的右支于点，且，则双曲线的离心率为______ ．
16. 已知函数，对恒成立，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
对某种书籍每册的成本费元与印刷册数千册的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
其中，．
为了预测印刷千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：，．
根据散点图，你认为选择哪个模型预测更可靠？只选出模型即可
根据所给数据和中的模型选择，求关于的回归方程，并预测印刷千册时每册的成本费．
附：对于一组数据，，，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
18. 本小题分
已知数列满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项的和．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是长方形，平面平面，平面平面．
证明：平面；
若，，为中点，求二面角的余弦值．
20. 本小题分
已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．
求椭圆的方程；
已知定点，若直线与椭圆交于，两点，是否存在实数，使以为直径的圆过点？请说明理由．
21. 本小题分
已知函数，．
若存在单调递增区间，求的取值范围；
若，为的两个不同极值点，证明：．
22. 本小题分
史明理，学史增信，学史崇德，学史力行近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了份试卷进行调查，根据这份试卷的成绩单位：分，满分分得到如下频数分布表：
成绩分
频数
求这份试卷成绩的平均数？同一组中的数据用该组区间的中点值为代表．
假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为，以样本估计总体，假设有的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少结果保留一位小数？
该市教育局准备从成绩在内的份试卷中用分层抽样的方法抽取份，再从这份试卷中随机抽取份进行进一步分析，记为抽取的份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望．
参考数据：若，则，，
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：法一、
，
，
．
时的瞬时速度为．
故选：．
法二、
，
，
．
时的瞬时速度为．
故选：．
法一、求出质点自秒到秒的平均变化率，取极限求得时的瞬时速度．
法二、直接对路程函数求导，代入得时的瞬时速度．
本题考查导数的物理意义，考查了导数的计算，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，则正确；
决定系数用来刻画回归的效果，值越接近于，效果越好，故错误；
比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故错误；其中正确的是．
故选：．
利用残差的意义、相关指数的意义即可判断．
本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，数列，，，与，，，，都是等差数列，
设它们的公差分别为、，
，且，即，，
则．
故选：．
由题意，利用等差数列的性质、通项公式，得出结论．
本题主要考查等差数列的性质、通项公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为直线平面，
所以或，
故选：．
由直线平面，所以求解．
本题考查法向量相关知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
由独立性检验的定义可知，变量与独立
故选：．
根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
根据题意，设为直线：上的一点，则，
由于，为圆的切线，则有，，
则点、在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为，半径，
则其方程为，变形可得，
联立可得：，
又由，则有，变形可得，
则有，解可得，故直线恒过定点．
故选：．
根据题意，设为直线：上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设小球最终落入号球槽为事件，
小球落下要经过次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，
最终落入号球槽是两次向左，三次向右，
小球最终落入号球槽的概率为：
．
故选：．
小球落下要经过次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入号球槽是两次向左，三次向右，根据独立重复事件发生的概率计算公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查独立重复事件发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，分种情况讨论：
，上下午共安排个活动上午个，下午个分配给甲，乙，故有种安排方案，
，上下午共安排个活动，上午个下午个，或上午个下午个分配给甲，乙，故有种安排方案，
，上下午共安排个活动，上午个，下午个分配给甲，乙，故有种安排方案，
故有种安排方案；
故选：．
根据题意，按安排活动的数目分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，根据等比中项的性质，可得
，，
故，．
根据根与系数的关系，可知
，是一元二次方程的两个根．
解得，，或，．
等比数列是递增数列，．
，满足题意．
，故选项A不正确．
．
．
．
数列是以为首项，为公比的等比数列．故选项B正确．
故选项C正确．
．
数列是公差为的等差数列．故选项D不正确．
故选：．
本题先根据题干条件判断并计算得到和的值，则即可得到等比数列的通项公式和前项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．
本题主要考查等比数列的基础知识，不等式与等比数列的综合，以及排除法的应用，本题属中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，在乙队以：领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于，乙队以：获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于，乙队以：获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；
对于，若乙队以：获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以：获胜的概率为，故D错误．
故选：．
由概率的乘法公式对选项逐一判断，
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，根据椭圆定义，若平面内两定点、，则满足且
的动点的轨迹为椭圆，故A错误；
对于，联立，解得，
所以双曲线与直线有且只有一个公共点，故B正确；
对于，若方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，方程组无解，故C错误；
对于，不妨设椭圆方程为，，
则，弦的中点为，
当直线与轴不垂直时，设弦方程为，
与椭圆方程联立可得，
所以动弦的中点横坐标为，中点纵坐标为，
所以，可得，代入可得，
当直线与轴垂直时，弦的中点为在上，综上弦的中点的轨迹为椭圆，故D正确．
故选：．
根据椭圆定义可判断；双曲线与直线联立求解可判断；根据方程表示焦点在轴上的双曲线求出的范围可判断；设椭圆方程为，弦的中点为，当直线与轴不垂直时，设弦方程为，与椭圆方程联立利用韦达定理可得动弦的中点横、纵坐标，得，代入可得中点的轨迹方程，当直线与轴垂直时直接得答案可判断．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，方程思想，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：的定义域在，
，
令得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
对于：由上可知在处取得极大值，，故A正确；
对于：由上知的单调性，时，；时，，
又，
所以有一个零点，故B错误；
对于：因为，
所以，
因为在上，，单调递减，
所以，
所以，故C正确；
对于：若在上恒成立，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
所以，故D正确，
故选：．
对于：求导得，分析的单调性，进而可得的极值，即可判断是否正确；
对于：由上知的单调性，时，；时，，又，即可判断是否正确；
对于：根据题意可得，又在上单调递减，则，即可判断是否正确；
对于：若在上恒成立，则在上恒成立，令，，只需，即可判是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设表中污损数据为，
，
，
这组数据的样本中心点是，
回归方程，
把样本中心点代入得，，
可得．
故答案为：．
先求出和的平均数，写出样本中心点，根据所给的的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出的值．
本题考查线性回归方程的应用，回归直线的性质，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：展开式通式为，
则，
，解得，
故答案为：．
求出展开式通式和相乘，然后利用的系数为列方程求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线交的右支于点，且，如图：
，，．
．
所以，所以，
．
故答案为：．
利用已知条件，求解，，结合双曲线的定义，得到，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：令，
则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，
，即，
对恒成立，
为上的增函数，
恒成立，
，
即实数的取值范围为，
故答案为：．
令，可证恒成立，故对恒成立为上的增函数，求导，得恒成立，从而可得实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，题目条件中隐含函数单调递增的性质，是本题的亮点，考查转化思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由散点图可以判断，模型更可靠．
令，则建立关于的线性回归方程，
则．
，
关于的线性回归方程为．
因此，关于的回归方程为．
当时，该书每册的成本费元．
【解析】利用散点图直接判断函数即可．
利用已知条件求出回归直线方程的数据，即可得到过的直线方程，然后估计印刷千册时每册的成本费．
本题考查回归直线方程的求法与应用，考查计算能力．
18.【答案】解：当为奇数时，，
所以所有奇数项构成以为首项，公差为的等差数列，
所以，
当为偶数时，，
所以所有偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，
所以 ，
所以

【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．
根据递推关系式，分为奇数和偶数分别求解即可，
结合等差数列的求和公式及等比数列的求和公式进行分组求和即可．
19.【答案】证明：四边形为长方形，，
平面平面，平面平面，平面
平面
平面，．
同理，
又，平面，平面
平面．
证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示空间直角坐标系
则，，，，，，
设，
为平面的法向量，
，，令，则，
平面的一个法向量．
同理可求得平面的一个法向量，
．
．
二面角的大小为钝角
二面角的余弦值为．
【解析】证明，通过平面平面，推出平面，得到证明，然后证明平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及逻辑推理能力，是中档题．
20.【答案】解：直线过点和，
直线：与坐标原点的距离为，
椭圆的离心率，
由得，即
由得，，
，
所求椭圆的方程是．
直线代入椭圆方程，消去可得：，
，或，
设，，则有，，
，，且以为圆心的圆过点，
，
，
，
解得，
当时以为直径的圆过定点．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．属于一般题．
求出过点 和的直线，利用直线与坐标原点的距离为，椭圆的离心率，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
直线代入椭圆方程，利用韦达定理及为圆心的圆过点，利用数量积为，即可求得结论．
21.【答案】解：函数定义域为，根据题意知有解，即有解，
令，则，
且当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
；
证明：由，是的不同的极值点，知，是的两根，
即，则，
，
要证，只需证，即，即证，
，
只需证，
令，则问题转化为证明成立，
而，
在上单调递增，
当时，，即成立，由此得证．
【解析】依题意，有解，令，对求导，求出的最大值，即可求得实数的取值范围；
利用分析法转化为证明成立，利用导数求出在上的单调性，进而求得取值情况，由此得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：设这份试卷成绩的平均数为，
则分．
由得，而，
由于，
即，
所以市委宣传部预期平均成绩大约为分；
由分层抽样得抽取的份试卷中份在内，份在内，的可能取值为，，，
则，，，
即的分布列为：
所以．
【解析】根据平均数的求法求得平均数；
结合正态分布的对称性求得市教育局预期的平均成绩；
利用超几何分布的分布列计算公式，计算出的分布列并求得数学期望．
本题考查平均数的计算，考查正态分布，考查离散型随机变量的分布列，是中档题．
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