7.2.2同角三角函数关系 讲义（含答案）

编号：042 课题： §7.2.2 同角三角函数关系
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解同角三角函数的两种关系；
2.利用同角三角函数的关系求特殊值；
3.利用同角三角函数的关系求值；
4.利用同角三角函数的关系化简证明．
本节重点难点
重点：利用同角三角函数的关系求值；
难点：利用同角三角函数的关系化简证明．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
同角三角函数关系
(1)基本关系式
平方关系 商数关系
公式 表示 ________________
语言 叙述 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. 同一个角的正弦、余弦的商等于角的__________.
(2)本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么
【课前基础演练】
题1．若cos α＝ ，且α在第四象限，则tan α＝( )
A． B． C． D．
题2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( )
A． B． C． D．
题3．已知sin α＝ ，则sin4α－cos4α的值为( )
A． B． C． D．
题4．若，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
题5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝ ，则sinθcos θ的值为( )
A． B． C． D．
题6．已知sin α－cos α＝ ，α∈ ，则tan α＝( )
A．－1 B． C． D．1
题7(多选题)．若1＋sin θ ＋cos θ ＝0成立，则θ不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题8多选题)．下列选项可能成立的是 (　 　)
A．sin α＝－且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝(α在第二象限)
题9．已知tanα＝cos α，那么sin α＝________．
题10．已知tan θ＝2，则的值为________．
题11．化简：(1)；
(2).
【课堂检测达标】
题12. 若α∈，且cos 2α－sin α＝ ，则tan α的值等于( )
A． B．
C． D．
题13．已知，则tan2α－3tanα＝( )
A．2 B．0
C． D．
题14(多选题)．已知α∈， 且sin α＋cos α＝ ，则( )
A．sin αcos α＝ B．sin αcos α＝
C．cos α－sin α＝ D．cos α－sin α＝
题15(多选题)．已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的可取值为( )
A． B． C． D．
题16．化简：的结果是______．
题17．在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，则sin A cos A的值为____，tan A的值为________．
题18．求证：.
题19．(1)化简 ，其中α是第二象限角．
【综合突破拔高】
题20．下列四个命题中可能成立的一个是( )
A．sin α＝ 且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．tan α＝ (α为第二象限角)
题21．化简的值为( )
A．sin θ B．cos θ C．1 D．tan θ
题22．已知tan θ＝2，θ为第三象限角，则sin θ＝( )
A． B． C． D．
题23．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈ ，则sin θ－cos θ的值为( )
A． B． C． D．
题24．若，则tan α＝( )
A． B． C．3 D．7
题25．在△ABC中，sin A·cos A＝ ，则cos A－sin A的值为( )
A． B． C． D．
题26(多选题)．已知sin θ＝，则a的值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
题27 (多选题)．下列等式中不正确的是( )
A．
B．若α∈(0，2π)，则一定有tanα＝
C．sin ＝
D．sinα＝tan α·cos α
题28(多选题)．若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有 (　 　)
A．tan α＝　　 B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
题29(多选题)．已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是 (　 　)
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
题30．已知tan α＝3，则sin 2α－3sin αcos α＋1＝__________．
题31．已知sin α＋cos α＝ ，α∈(0，π)，则tan α＝__________________．
题32．已知sin α＝－ ，求cos α，tan α的值．
题33．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝ ，求tan θ的值．
编号：042 课题： §7.2.2 同角三角函数关系
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解同角三角函数的两种关系；
2.利用同角三角函数的关系求特殊值；
3.利用同角三角函数的关系求值；
4.利用同角三角函数的关系化简证明．
本节重点难点
重点：利用同角三角函数的关系求值；
难点：利用同角三角函数的关系化简证明．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
教学过程赏析
基础知识积累
同角三角函数关系
(1)基本关系式
平方关系 商数关系
公式 表示 ____
语言 叙述 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. 同一个角的正弦、余弦的商等于角的__正切___.
(2)本质:同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么
提示:一是“角相同”,如就不一定成立.二是对任意一个角(在
使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如
等.
【课前基础演练】
题1．若cos α＝ ，且α在第四象限，则tan α＝( )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为cos α＝ ，且α在第四象限，所以tan α＝ .
题2．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.
1＋sin θcos θ＝，
又tanθ＝2，所以1＋sin θcos θ＝ .
题3．已知sin α＝ ，则sin4α－cos4α的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2× －1＝ .
题4．若，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】选C. ，所以cos θ≤0，sin θ≤0，
由tan θ≠0且tan θ有意义，可得cos θ<0，sin θ<0，所以θ为第三象限角．
题5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝ ，则sinθcos θ的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选A.θ为第三象限角，则sin θ<0，cos θ<0，
sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2sin2θcos2θ＝ ，所以sin2θcos2θ＝ ，
又sinθcos θ>0，所以sin θcos θ＝ .
题6．已知sin α－cos α＝ ，α∈ ，则tan α＝( )
A．－1 B． C． D．1
【解析】选A.因为sin α－cos α＝ ，所以(sin α－cos α)2＝sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2 α＝1－2sin αcos α＝2，sin αcos α＝－ ，
由 解得 所以tan α＝ ＝－1.
题7(多选题)．若1＋sin θ ＋cos θ ＝0成立，则θ不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选ABD.因为1＋sin θ ＋cos θ ＝0，
所以1＋sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＝0.
当θ为第一象限角时，1＋sin2θ＋cos2θ＝2；
当θ为第二象限角时，1＋sin2θ－cos2θ＝2sin2θ>0；
当θ为第三象限角时，1－sin2θ－cos2θ＝1－1＝0；
当θ为第四象限角时，1－sin2θ＋cos2θ＝2cos2θ>0，
则θ不可能是第一、二、四象限角．
【光速解题】在第一、二、三、四象限内分别取一个特殊角，代入验证，即可得到答案．
题8多选题)．下列选项可能成立的是 (　 　)
A．sin α＝－且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝(α在第二象限)
【解析】选ABD.由基本关系式可逐个判断A，B，D正确，C不正确．
题9．已知tanα＝cos α，那么sin α＝________．
【解析】由于tan α＝＝cos α，
则sin α＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，
解得sinα＝ .
又sin α＝cos2α>0，所以sinα＝ .
答案：
题10．已知tan θ＝2，则的值为________．
【解析】因为tanθ＝2，所以
.
答案：
题11．化简：(1)；
(2).
【解析】(1)原式＝
.
(2)原式＝.
【课堂检测达标】
题12. 若α∈，且cos 2α－sin α＝ ，则tan α的值等于( )
A． B．
C． D．
【解析】选A.cos 2α－sin α＝ 等价于1－sin 2α－sin α＝ ，即4sin 2α＋4sin α－3＝0，分解因式得 ＝0，
则sin α＝ 或 (舍)，
因为α∈，所以cos α＝，tan α＝.
题13．已知，则tan2α－3tanα＝( )
A．2 B．0
C． D．
【解析】选C. ，解得
tan α＝ ，所以tan2α－3tanα＝.
题14(多选题)．已知α∈， 且sin α＋cos α＝ ，则( )
A．sin αcos α＝ B．sin αcos α＝
C．cos α－sin α＝ D．cos α－sin α＝
【解析】选BD.因为sin α＋cos α＝ ，
两边平方后，
解得sin αcos α＝ ，故B正确；
因为α∈ ，sin αcos α＝ <0，所以α∈，
cos α－sin α<0且，
解得cos α－sin α＝ ，故D正确．
题15(多选题)．已知α是三角形内角，若sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的可取值为( )
A． B． C． D．
【解析】选BC.因为α是三角形内角，所以α∈(0，π)，
又因为(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝ ，
解得2sin αcos α＝ ，因为sin αcos α>0且α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α>0，
所以sin α－cos α符号不确定，
所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，
所以sin α－cos α＝ .
题16．化简：的结果是______．
【解析】原式＝.
答案：sin α
题17．在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，则sin A cos A的值为____，tan A的值为________．
【解析】已知sin A＋cos A＝，则(sin A＋cos A)2＝，
整理得1＋2sin A cos A＝，解得sin A cos A＝，
所以解得 或 (舍去)，
故tan A＝.
答案：
题18．求证：.
【证明】左边＝
＝右边，
所以原等式成立．
题19．(1)化简 ，其中α是第二象限角．
(2)求证：1＋tan2α＝ .
【解析】(1)因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0，
所以＝.
(2).
【综合突破拔高】
题20．下列四个命题中可能成立的一个是( )
A．sin α＝ 且cos α＝
B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1
D．tan α＝ (α为第二象限角)
【解析】选B.对于A选项，由同角三角函数关系，sin 2α＋cos 2α＝1不成立，故A错误；对于B选项，当α＝π时成立，故B正确；对于C选项，若tan α＝1且cos α＝－1成立，则由tan α＝，所以sin α＝－1，与sin 2α＋cos 2α＝1矛盾，故C错误；对于D选项，由同角三角函数关系，tan α＝，故D错误．
题21．化简的值为( )
A．sin θ B．cos θ C．1 D．tan θ
【解析】选B.由同角三角函数关系tan θ＝，
所以＝cos θ.
题22．已知tan θ＝2，θ为第三象限角，则sin θ＝( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为tan θ＝2，θ为第三象限角，
所以 解得
题23．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈ ，则sin θ－cos θ的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选D.因为sin θ＋cos θ＝ ，所以，所以2sin θcos θ＝ ，所以，
因为θ∈，所以sin θ>cos θ，即sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝ .
题24．若，则tan α＝( )
A． B． C．3 D．7
【解析】选D.因为，所以解得tan α＝7.
题25．在△ABC中，sin A·cos A＝ ，则cos A－sin A的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.因为在△ABC中，sin A·cos A＝ ，
所以A为钝角，所以cos A－sin A＜0，
所以cos A－sin A＝ .
题26(多选题)．已知，则a的值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
【解析】选AC.因为，
所以sin2θ＋cos2θ＝，解得a＝0或a＝4.
题27 (多选题)．下列等式中不正确的是( )
A．
B．若α∈(0，2π)，则一定有tanα＝
C．sin ＝
D．sinα＝tan α·cos α
【解析】选ABC.选项A中，，所以A不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于B中cosα≠0，也即α≠kπ＋ (k∈Z)，因而B不正确；因为，所以sin >0，所以C不正确；D正确．
题28(多选题)．若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有 (　 　)
A．tan α＝　　 B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
【解析】选AB.因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，故B正确，tan α＝＝，故A正确，sin α＋cos α＝＋＝，sin α－cos α＝－＝，故C，D错误．
题29(多选题)．已知tan2x－2tan2y－1＝0，则下列式子成立的是 (　 　)
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
【解析】选CD.因为tan2x－2tan2y－1＝0，－2·－1＝0，
整理得sin2x·cos2y－2sin2y·cos2x＝cos2y·cos2x，
所以－sin 2y·cos 2x＝cos 2x，
则1－cos 2x－sin 2y＋sin 2y·cos 2x－sin 2y·cos 2x＝cos 2x，即sin 2y＝1－2cos 2x＝2sin 2x－1，所以C，D正确．
题30．已知tan α＝3，则sin 2α－3sin αcos α＋1＝__________．
【解析】sin 2α－3sin αcos α＋1
＝
.
答案：1
题31．已知sin α＋cos α＝ ，α∈(0，π)，则tan α＝__________________．
【解析】因为sin α＋cos α＝ ，所以(sin α＋cos α)2＝ ，
即2sin αcos α＝－ <0，又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，所以α∈ ，
故sin α－cos α＝，
所以sin α＝ ，cos α＝－ ，tan α＝－ .
答案：－
题32．已知sin α＝－ ，求cos α，tan α的值．
【解析】因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．
由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－.
如果α是第三象限角，那么cos α＝ ，从而tan α＝ .
如果α是第四象限角，那么cos α＝ ，tan α＝－ .
题33．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝ ，求tan θ的值．
【解析】将sin θ＋cos θ＝的两边分别平方，得1＋2sin θcos θ＝1－ ，
即sin θcos θ＝－ .
所以sin θcos θ＝ ，
解得tanθ＝－ 或tan θ＝－ .
因为θ∈(0，π)，0所以θ∈ ，且|sin θ|>|cos θ|，所以|tan θ|>1，即θ∈ ，所以tan θ<－1，所以tan θ＝－ .
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