第七章 平行线的证明单元练习（含解析）

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第七章 平行线的证明 单元练习 2023-2024学年北师大版八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列结论是正确的是( )
A．全等三角形的对应角相等 B．对应角相等的两个三角形全等
C．有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D．相等的两个角是对顶角
2．用反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设（ ）
A．四个内角都小于 B．至少有一个内角不大于
C．至多有一个内角大于 D．至多有一个内角不大于
3．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．如果且，那么 B．等边三角形的三个内角都相等
C．直角三角形的两个锐角互余 D．等边对等角
4．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件能判断的是( )

A． B． C． D．
5．下列语句中，真命题是（　　）
A．带根号的数都是无理数
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．互补的两个角是邻补角
D．同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行
6．对任意一个三角形，下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个角大于 B．至少有一个角小于
C．至少有一个角大于 D．至多有一个角大于
7．如图，在中，，点、分别在、的延长线上，、、的平分线相交于点．对于以下结论：①；②；③；④与互余．其中一定正确结论的个数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ．
9．把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
10．如图，在中，，，过作，且满足（点和居于直线的异侧），连接，，若，则的面积为 ．
11．如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ．
12．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有 ．（填序号）

三、解答题
13．求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等．
（解题要求：补全已知、求证，写出证明）
已知：如图，在中，是边上的中线，________．
求证：________．
证明：
14．如图，已知点A、D、C、F在同直线上，有下列关系式：①，②，③，④．

(1)请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：
如果______，那么______．（填写序号）
(2)证明（1）中命题的正确性．
15．如图，已知，，，求证：．把以下证明过程补充完整，并在括号内填写理由或数学式．
证明：∵（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
又∵（已知）
∴ （等量代换）
∴ （ ）
∵（已知），
∴．
16．如图，是的角平分线，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
17．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．
（1）【定理证明】

已知：如图①，求证：．
（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．
（3）若，，则_______．
（4）若，则_______．
【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．
（5）若，，则_________．
（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为____________________．
（7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，并说明理由．

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参考答案：
1．A
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及对顶角的性质判定即可.
【详解】、全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，正确；
、对应角相等的两个三角形相似，不一定全等，故错误；
、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故错误；
、相等的角不一定是对顶角，故错误.
故选：.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及对顶角的性质.注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2．A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【详解】解：反证法证明命题“四边形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设四个内角都小于．
故选：A．
【点睛】本题考查反证法的应用，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．掌握反证法的一般步骤是解题的关键．
3．A
【分析】根据命题的逆命题的改写方法，判定真假命题的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质，等边对等角的知识即可求解．
【详解】解：．如果且，那么，逆命题为：如果，则或，是假命题，故该选项符合题意；
．等边三角形的三个内角都相等，逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题，故该选项不符合题意；
．直角三角形的两个锐角互余，逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故该选项不符合题意；
．等边对等角，逆命题为：等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查命题，逆命题真假的判定方法，掌握等边三角形，直角三角形，等边对等角的知识的综合是解题的关键．
4．A
【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【详解】解：A、当时，由内错角相等，两直线平行得，故该选项符合题意；
B、当时，由内错角相等，两直线平行得，不能证明，故该选项不符合题意；
C、当时，由内错角相等，两直线平行得，不能证明，故该选项不符合题意；
D、当时，由同旁内角互补，两直线平行能得到，不能证明，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
5．D
【分析】根据无理数的定义可判断A，根据平行线的性质可判断B，根据邻补角的定义可判断C，根据平行线的判定可判断D，从而可得答案.
【详解】解：带根号的数不一定是无理数，故A不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故B不符合题意；
互补的两个角不一定是邻补角，故C不符合题意；
同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，表述正确，故D符合题意；
故选D.
【点睛】本题考查的是无理数的定义，平行线的性质，邻补角的定义，平行线的判定，命题真假的判断，熟记基本概念是解本题的关键.
6．D
【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．
【详解】解：等边三角形的三个内角均等于，选项A、B说法错误，不符合题意；
锐角三角形的三个内角均小于，选项C说法错误，不符合题意；
如果一个三角形中有两个角大于，这与三角形的内角和是产生矛盾，选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
7．D
【分析】由等边对等角可得，外角的性质可知，可得，由角平分线可知，可得，根据平行线的判定可得，故①正确；由角平分线可知，由平行线的性质可知，所以，等角对等边可得，故②正确；因为，所以，结合，得，故③错误；由平行线的性质可知，由角平分线可知，即可证明，结合和，可得，故④正确，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，故③错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，符合题意，
综上：①②④正确，共个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质，熟知角平分线的定义、平行线的判定和性质是解答本题的关键．
8．
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解： “已知，．求证：”．第一步应先假设．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9． 两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
10．
【分析】过点B作于点E， 于点F，设，，则，利用勾股定理求出，即，再根据平行线间的距离相等，得到，即可求出的面积．
【详解】解：过点B作于点E， 于点F，
，，
，
设，，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
整理得：，
解得：，即，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的判定和性质，平行线间的距离，熟练掌握勾股定理是解题关键．
11．或
【分析】将点的坐标代入直线的解析式为，可求得直线的解析式，从而可得到的长度，再分和两种情况进行讨论即可得到答案．
【详解】解：点在直线上，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一次函数图像上的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大．
12．①②④
【分析】根据三角形的高线、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，且，
∴，
故④正确；
延长交于点，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故③错误，
∴正确的序号为，
故答案为．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，补角的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
13．分别过点作的垂线，交和的延长线于点、；；证明见解析．
【分析】根据题意，写出已知和求证，再根据全等三角形的判定与性质，求证即可．
【详解】已知：如图，在中，是边上的中线，分别过点作的垂线，交和的延长线于点、．
求证：．
证明：由题意可得：，
∵是边上的中线，
∴，
在和中
∴，
∴
故答案为：分别过点作的垂线，交和的延长线于点、；．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，命题的已知和求证，解题的关键是理解题意，正确写出已知和求证，并掌握全等三角形的判定方法与性质．
14．(1)①②③，④
(2)见解析
【分析】选①②③为条件，先证明，则可根据“”证明可得结论．
【详解】（1）解：①② ③，④ (答案不唯一，或者①②④ ，③)
（2）证明：，
，
即，
在和中
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和命题真假的判断，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
15．；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行
【分析】先证明，推出，得到，证明，据此即可证明结论成立．
【详解】证明：∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∵（已知），
∴．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及角平分线的定义，通过等量代换证明，再根据平行线的判定可得结论；
（2）根据平行四边形的性质求出，再由可得，根据角平分线的定义求出，再由平行线的性质可得，从而可得结论．
【详解】（1）∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴，．
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，熟练掌握相关性质是解决本题的关键．
17．（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和平角的定义解决．
（2）根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答．
（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答；
（4）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据三角形的内角和定理得，以此即可求解．
（5）连接，根据三角形内角和定理的推论即可解答．
（6）过点作，由（1）可知，，则，根据平行线和角平分线的性质可得，则，以此即可求解．
（7）由（1）可知，，则，根据角平分线的性质和四边形的内角和为即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点作，

∵，
，，
，
．
（2），，
．
故答案为：．
（3），，，
；
故答案为：；
（4），，
，
，，
．
故答案为：．
（5）如图，连接，

，，
，
，，
．
故答案为：．
（6）如图，过点作，则，

由（1）知，，
，
，
，，
，
、分别是和，
，
，
．
故答案为：．
（7），理由如下：
由（1）知，，
，
、分别为和的角平分线，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据题干作出正确的辅助线是解题关键．
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