第五章 二元一次方程组单元练习（含解析）

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第五章 二元一次方程组 单元练习 2023-2024学年北师大版八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知，且，刚k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．以绳测井，如果把绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果把绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．则绳长是（ ）
A．36尺 B．48尺 C．60尺 D．72尺
4．小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（每种圆珠笔至少买一支），恰好花掉20元，则购买方案有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有x尺，环绕大树一周需要y 尺，所列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图已知函数和的图象交于点，点的横坐标为，则关于的方程组的解是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值

输入x … 0 2 …
输出y … 2 6 16 …
根据以上信息，解答下列问题：当输出的y值为0时，则输入的x值为（ ）
A．0 B． C．6 D．
二、填空题
8．若关于x的方程是二元一次方程，则 ．
9．已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则k的值为 ．
10．《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本等国．“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”设雉（鸡）有x只，兔有y只，则可列方程组为 ．
11．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小强跑了．此后两人分别以/和/匀速跑，又过时小强追上小明，时小强到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为 ．
12．已知一次函数的图象经过点与，与x轴、y轴分别交于点A、点B．若坐标原点为O，则的面积为 ．
13．已知直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，设直线与直线的交点为P，若，则m的值为 ．
14．如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大2，我们称这个三位数为“荣庆数”，我们将“荣庆数”的各位数字之和记为，比如152，百位数字与个位数字之和为，十位数字是5，，所以152是“荣庆数”， ；若一个“荣庆数”是13的倍数，则的最大值是 ．
三、解答题
15．（1）计算：
（2）已知方程组是二元一次方程组，求的值．
16．为迎接“国家创卫”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．
(1)求每A个型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
(2)该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱20个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．求购买垃圾箱的总花费（元）与A型垃圾箱m（个）之间的函数关系式；
(3)在（2）中，当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最小，最小费用是多少？
17．某通信公司推出，，三种上网收费方式，每月收取的费用，，（元）与月上网时间（小时）的函数图象如图所示．
(1)对于上网方式，若月上网时间在25小时以内，则月收费为______元；
(2)对于上网方式，当月上网时间满足____________时，选择此方式最省钱；当月上网时间超过60小时，求所付费用与上网时间之间的函数关系式；
(3)当月上网时间为90小时时，比较三种方式，选择最省钱的方式比选择最费钱的方式可以节省______元．（直接写出答案）
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参考答案：
1．B
【分析】根据二元一次方程的定义，得，计算判断即可．
【详解】解：∵等式，是关于，的二元一次方程，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程即含有两个未知数且含未知数的项的次数为1的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
2．C
【分析】把关于，的方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得：，再根据，求出的值即可．
【详解】解，
，可得：，
，
，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
3．B
【分析】设绳长x尺，井深y尺，分别根据“将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺”；“将绳子折到四等份，一份绳长比井深多1尺”，列二元一次方程组求解．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意得：
，
解得．
∴绳长48尺，井深11尺．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
4．A
【分析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解．
【详解】解：设买x支2元一支的圆珠笔，y支3元一支的圆珠笔，
根据题意得：，且x，y为正整数，
符合条件的整数解有：
故共有3种购买方案，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用及解得情况；解题定关键是找到一元二次方程的整数解．
5．D
【分析】设绳子有x尺，环绕大树一周需要y 尺，根据环绕大树3周，则绳子还多5尺；若环绕大树4周，则绳子又少了2尺，列出方程组即可．
【详解】解：设绳子有x尺，环绕大树一周需要y 尺，由题意，得：
，
故选D．
【点睛】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键．
6．C
【分析】利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：由图象可知，两条直线的交点的横坐标是，
当时，，即两直线的交点坐标为，，
∴关于，的方程组的解为．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解决本题的关键是：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．D
【分析】如图，自变量不同的取值范围对应相应的解析式，将，代入，可推知；由知，时，，于是，求解得答案．
【详解】解：将，代入得，
，解得
∴
由时，知，时，，
得
∴
故选：D．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二元一次方程组求解，理解分段函数，利用两组变量对应值确定待定参数值是解题的关键．
8．
【分析】直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．
【详解】解：根据题意得，且，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
9．/
【分析】两方程相加得，再由得出关于k的方程，解之可得．
【详解】解：解方程组
两方程相加，得：
即
由题意知
则
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是根据二元一次方程组的解的情况求参数，本题可以利用未知数的系数的特点采用简便解法，一般解法是用x表示y，代入方程组得到以y、k为未知数的方程组，然后解方程组即可．
10．
【分析】根据鸡头数+兔头数=35，鸡腿数+兔腿数=94列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解答的关键．
11．2500
【分析】根据两人的全程的距离相同可得出，再由当小明跑了时，小强跑了．此后两人分别以/和/匀速跑，又过时小强追上小明，可以得到，解方程求出、的值，由此求解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：
所以
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
12．/
【分析】先利用待定系数法求得一次函数的解析式，再据一次函数的解析式求出点A、B的坐标，从而得到的长度，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点与，
∴，解得，
∴这个一次函数的解析式是．
令，得，则点A的坐标是，
令，，则点B的坐标是，
∴，，
又，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
13．2或6
【分析】先根据直线平移的规律得到直线的解析式为，由此求出点P的坐标为，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵直线：，将直线向下平移个单位，得到直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴或6，
故答案为：2或6．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像的平移，两直线的交点坐标，两点之间的距离公式等，用含m的代数式表示出点P的坐标是解题的关键．
14． 8 12
【分析】由，知；设“荣庆数”的百位数字为，十位数字为，则个位数字为，可推得是13的倍数，而，，是正整数，即可得或或或，从而得到答案．
【详解】解：，
；
设“荣庆数”的百位数字为，十位数字为，则个位数字为，
，
是13的倍数，，
是13的倍数，
（为非负整数），
，，是正整数，
，
，是正整数，为百位数字，为十位数字，
，，
假设，此时，此时值最小，
，
假设，此时，此时值最大，
，
，
当时，，
解得，满足和，，符合题意，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，
解得：，满足和，，符合题意，
当时，，
解得：，不满足，不符合题意，
当时，，此方程无符合题意的，的正整数解，
当时，，
解得：，不满足，不符合题意，
当时，，
解得，不满足，不符合题意，
或，
或，
的值为4或12，
的最大值是，
故答案位：8，12．
【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，求出使是13的倍数的正整数，的值．
15．（1）；（2）
【分析】（1）根据平方差公式，二次根式的化简，绝对值，零指数幂进行化简即可；
（2）根据二元一次方程组的定义得且，即可求解；
【详解】解：（1）原式=
=
（2）∵方程组是二元一次方程组，
∴且，，
∴．
【点睛】本题主要考查实数的运算，二元一次方程组的定义，掌握相关定义及运算法则是解题的关键．
16．(1)每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元
(2)，且为整数）
(3)购买型垃圾箱个数为16时总费用最小，最小费用是2080元
【分析】（1）根据购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱需340元；购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质、的取值范围，可以求得总费用的最小值．
【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
由题意可得：，
解得，
答：每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元；
（2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
由题意可得：，
即，且为整数）；
（3）由（2）知，，
随的增大而减小．
，且为整数，
当，取得最小值，此时，
即当购买型垃圾箱个数为16时总费用最小，最小费用是2080元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
17．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）观察图象即可得到答案；
（2）观察图象，看在什么范围取值时，相对于和，最小；根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
（3）当时，分别求出，，，即可计算出选择最省钱的方式比选择最费钱的方式可以节省的费用．
【详解】（1）解：由图可知，对于上网方式，当时，．
故答案为：．
（2）解：当时，均有，．
故当月上网时间时，选择方式最省钱；
故答案为：；
根据图象可知，当月上网时间超过60小时，的函数图象经过点，，
设当月上网时间超过60小时，所付费用与上网时间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴所付费用与上网时间的函数关系式为．
（3）解：根据图象可知，当月上网时间超过小时，的函数图象经过点，，
设当月上网时间超过小时，所付费用与上网时间的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴所付费用与上网时间的函数关系式为．
当时，；
当时，；
当时，；
故选择最省钱的方式比选择最费钱的方式可以节省元．
【点睛】本题考查从函数图象获取信息，求一次函数的解析式，求一次函数的函数值等，熟练掌握从函数图象中获取信息是解题的关键．
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