第一章 勾股定理单元练习（含解析）

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第一章 勾股定理 单元练习 2023-2024学年北师大版八年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，1， B．，， C．9，12，15 D．1.5，2，2.5
2．如图，以点为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点．若点的坐标为，点的纵坐标为，则点的横坐标为（ ）

A． B．7 C． D．
3．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）

A．1米 B．米 C．2米 D．米
5．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　）

A． B．3 C． D．5
二、填空题
6．在中，，，点在直线上，且，则线段的长为 ．
7．已知，直角三角形纸片中，，，．点D是边上的一个动点，将该纸片沿所在直线折叠，点A的对应点为点E．请从下面A，B两题中任选一题作答．
A．如图1，若点E落在边上，线段的长为 ；
B．如图2，若点E落在边上，线段的长为 ．

8．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若，每个直角三角形的面积为15，则c的长为 ．

9．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME 7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为 ．

10．如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从圆柱体外面底部点处，爬到圆柱正对面的外侧点处吃食，已知点距离圆柱体上口，则蚂蚁要爬行的最短路程（取3）是 ．

三、解答题
11．如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接．

(1)当时，求的长度；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；
(3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值．
12．阅读下列材料，完成任务
我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．

任务：
(1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______；
(2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理．
(3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．
13．如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．

(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度；
(2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
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参考答案：
1．C
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．所以首先排除不都是正整数的项，对于全为正整数的项，只要计算三个数中较小的两数平方和是否等于最大数的平方即可得解．
【详解】解：A、不是正整数，不符合题意；
B、三个数计算出来分别为9，16，25，平方后分别为81，，81+256=337≠625，故三数不是勾股数，不符合题意；
C、9，12，15三数的平方分别为81，144，225，且81+144=225，三数是勾股数，符合题意；
D、1.5，2.5不是正整数，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股数的意义及勾股定理的意义是解题关键．
2．A
【分析】过作轴于，如图所示，由圆的性质及点的坐标为，求出线段长，在中利用勾股定理结合点的位置即可得到答案．
【详解】解：过作轴于，如图所示：

以点为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点,
，
点的坐标为，
，
点的纵坐标为，
，
在中，，，，则,
在第三象限，
点的横坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查图形与坐标，涉及圆的性质、勾股定理求线段长等知识，根据题意，作出辅助线，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键．
3．A
【分析】利用正方形的性质，易证，得到，再利用勾股定理，得到，同理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：由正方形的性质可知，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
同理可得，，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出是解题关键．
4．A
【分析】作，根据勾股定理求得的长，即可解答；
【详解】作
根据题意得，
由勾股定理可得
∴此时木马上升的高度为 1 米
故选：A

【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
5．A
【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
∵，，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
故选：A．

【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
6．或4
【分析】当点Q在线段的延长线上时，由勾股定理求得，即可得到；当点Q在线段的延长线上时，由勾股定理求得，即可得到．
【详解】解：如图，当点Q在线段的延长线上时，
在中，，，，
由勾股定理得，
∴，
如图，当点Q在线段的延长线上时，
在中，，，，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：或4
【点睛】此题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
7． /
【分析】A、根据折叠的性质以及勾股定理可得，从而得出，根据等面积法求出的长，然后根据勾股定理的长，从而得出的长，根据即可得出答案；
B、过点作分别交、于点、，根据折叠的性质可得，根据求出的长，根据勾股定理可得答案．
【详解】解：A、根据折叠的性质可知，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
解得：，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
B、过点作分别交、于点、，

根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴平分，
设，
则，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识点，根据三角形的面积公式求解是解本题的关键．
8．8
【分析】由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴，
∴，
又，
∴，
整理得，，
又，
∴，
解得，或（负值舍去），
故答案为：8．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
9．
【分析】利用勾股定理依次计算出，，，.. ，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得即可．
【详解】由题意得：，
，
,
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
10．/厘米
【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】如图所示：沿将圆柱的侧面展开，

∵底面半径为，点距离圆柱体上口，
∴，，
在中，由勾股定理得：()，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，熟知两点之间，线段最短是解答此类问题的关键．
11．(1)
(2)4或
(3)或
【分析】（1）根据题意，得，当时，，进而勾股定理即可求解；
（2）在中，，，勾股定理求得，若，则．若，则，在中，由勾股定理即可求解；
（3）分两种情况讨论，①点在线段上时，如图，过点作于．②点P在线段的延长线上时，如图2，过点D作于E，结合图形，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得
当时，
在中，，
由勾股定理，得．
（2）在中，，，
由勾股定理，得．
若，则．
在中，由勾股定理，得，
解得
若，则，解得．
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或
（3）①点在线段上时，如图，过点作于．

则．
．
平分，，，
，．
，
．
在中，由勾股定理，得，
解得
②点在线段的延长线上时，如图，过点作于．

同①得，
，
，
在中，由勾股定理，得
解得
综上所述，在点的运动过程中，当平分时，的值为或
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
12．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个矩形的面积和计算即可．
（2）根据正方形的面积不变性，三角形的面积公式计算证明即可．
（3）根据勾股定理，公式变形计算即可．
【详解】（1）解：根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为；
结合图形，得到正方形的面积还等于，
故，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴（舍去）．
【点睛】本题考查了数学公式的几何表示，完全平方公式的几何意义，勾股定理的证明，计算应用，熟练掌握公式和勾股定理是解题的关键．
13．(1)旗杆的高度为米
(2)绳结离地面米高
【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；
（2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可．
【详解】（1）如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
故旗杆的高度为米：
（2）由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴（米），
∴米．
故绳结离地面米高．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
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