2.2平方根 同步达标测试题 北师大版八年级数学上册（含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《2.2平方根》同步达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．下列叙述正确的是（　　）
A． B．5的平方根是 C．是5的一个平方根 D．是分数
2．的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
3．9的算术平方根是（ ）
A． B．±3 C．3 D．
4．下列算式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直角三角形两边x，y满足，则第三边长为（ ）
A．或5 B．5 C．或 D．或5
6．正方形面积为18，则边长为（ ）
A．6 B．9 C． D．
7．已知，，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
8．若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题（满分40分）
9．已知的算术平方根是3，则x的值是 ．
10．若，则的算术平方根为 .
11．若的平方根是的算术平方根是，则 ．
12．的算术平方根是 ；的算术平方根是 ．
13．已知和是某数的平方根，则这个数的立方根是 ．
14．如图是一行排列的五个边长为的小正方形，将它剪拼为一个最大的正方形，则该正方形的边长为 ．

15．若，其中，均为整数，则 ．
16．【动手实践】小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米．

三、解答题（满分48分）
17．已知±是的平方根，3是的算术平方根，求的平方根．
18．根据平方根的意义解方程：
(1)；
(2)．
19．已知与互为相反数．
(1)求、的值．
(2)求的平方根．
20．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点（网格线的交点）上，求点到边的距离．

21．通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为，点A、B、C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为，（勾股定理），，所以．

(1)在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是___________（填写正确选项的字母代号）．
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(2)参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由．
22．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与（图1）全等的三角形，其中，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理．

(2)应用勾股定理

①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
②应用场景2：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
参考答案
1．解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、5的平方根是，故本选项错误，不符合题意；
C、是5的一个平方根，故本选项正确，符合题意；
D、是无理数，不是分数，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
2．解：∵，9的平方根是，
∴的平方根是，
故选：C．
3．解：∵，
∴9的算术平方根是3，
故选：C．
4．解：A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．无意义，不能计算，故不正确；
故选A．
5．解：∵，，，
∴，，
∴，，
①当两直角边是3，4时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：，
②当3为一直角边，4为斜边时，则第三边是直角，长是．
第三边长为或5，
故选：D
6．解：∵正方形面积为18，
∴边长为．
故选C．
7．解：∵，
∴．
故选：A．
8．解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，则，
∴，
∴的算术平方根是2，
故选：C．
9．解：由题意，，
解得．
故答案为：2．
10．解：由题知，,，解得
∴
∴算术平方根；
故答案为：4．
11．解：∵的平方根是，的算术平方根是，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．解：，
的算术平方根是；
，9的算术平方根是3，
的算术平方根是3．
答案：；3
13．解：由题意，分以下两种情况：
（1）
解得
则
因此，这个数为
则这个数的立方根是
（2）
解得
则
因此，这个数为
则这个数的立方根是
故答案为：4或．
14．解：最大正方形的面积为，
最大正方形的边长为．
故答案为：．
15．解：∵，其中，均为整数，
又∵，，
∴可分以下三种情况：
①，，
解得：，，
∴，
②，，
解得：，，
∴，
③，，
解得：，，
∴，
∴或，
故答案为：或．
16．解：由题意可得：边长为5厘米和3厘米的两个正方形的面积之和为，
∴拼成的大正方形的面积为34，
∴大正方形的边长为，
故答案为：
17．解：∵±是的平方根
解得：
∵3是的算术平方根，
，
解得：
当，时，
∴的平方根为．
18．解：（1）
∴解得；
（2）
∴
∴解得．
19．（1）解：由题意得：，
∴，，
解得：，，
（2）解：∵，，
∵，
∴的平方根为.
20．解：设边上的高为，
∵，，
∴，
∴，
∴点到边的距离为．
21．（1）解：在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合，故D正确．
故选：D．
（2）解：；理由如下：
根据题意构造，如图所示：

∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴，
∵，，，
∴．
22．（1）解：证明勾股定理：

由题意得，，，
∴，
∴．
（2）解：①在中，
,
,
点表示的数是．
故答案为：．
②，，
．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．