广东中山东升高中人教A版必修4精讲精练
文档属性
| 名称 | 广东中山东升高中人教A版必修4精讲精练 |
|
|
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 5.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-08-13 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
新课标高中数学精讲精练
精讲精练
人教 A 版必修④
《新课标高中数学精讲精练》
目 录
1 §1.1.1 任意角……………………………………（01）
丛书主编 徐山洪
2 §1.1.2 弧度制…………………………………（03）
编 委 谢柏芳 刘玉泉 李剑夫
3 §1.2.1 任意角的三角函数……………………（05）
王庚儿 邓世疆 赵朝贤
4 §1.2.2 同角三角函数的基本关系……………（07）
李德明 马荣林 王福山
5 §1.3 三角函数的诱导公式…………………（09）
陈国祥 曹毓 欧阳文君
6 §1.4.1 正弦函数，余弦函数的图像与性质…（11）
饶乘凤 宾业河 关丽琼 7 §1.4.2 正切函数的性质与图像……………（13）
潘泽学 苏仕剑 廖迎惠
8 §1.5 函数 y = Asin ( ωx + ) 的图像……………（15）
谢凤仙 余扩益 匡唐松
9 §1.6 三角函数模型的简单运用………………（17）
王振芳 谢吉权 高建彪
10 第一章 三角函数 复习………………………（19）
陈新权 刘会金 陈远刚
饶胜文 周志明 李志敏
11 §2.1 向量的物理背景与概念、几何表示……（21）
12 §2.1.3 相等向量与共线向量…………………（23）
本册主编 周志明 饶胜文 13 §2.2 向量的加减法运算及其几何意义………（25）
主要编者 王艳艳（第一章） 14 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义………………（27）
周志明（第二章） 15 §2.3 平面向量基本定理及坐标表示…………（29）
饶胜文（第三章） 16 §2.3.3 平面向量的坐标运算……………………（31）
校 审 温炳伟（第一章） 17 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示……………（33）
高建彪（第二章） 18 §2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义……（35）
周 洁（第三章） 19 §2.4.2 平面向量数量积的坐标表示,模,夹角…（37）
质量反馈 0760 6853660 20 §2.5.1 平面几何中的向量方法…………………（39）
意见信箱 zssxzb@ 21 §2.5.2 向量在物理中的运用举例……………（41）
信息反馈 http://sx./nh 22 第二章 平面向量 复习…………………………（43）
美术编辑 陆镜平
23 §3.1.1 两角差的余弦公式……………………（45）
24 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(1)…（47）
开 本 890mm×1 240mm 16 开 25 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(2)…（49）
印 张 5 26 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(1)………（51）
字 数 7 5000 27 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(2)………（53）
印 数 1 000 册 28 §3.1.3 简单的三角恒等变换…………………（55）
2007 3 1 29 第三章 三角恒等变换 复习…………………（57） 版 次 年 月第 版
印 次 2007 年 3月第 1 次印刷
第 1～29 练 答案 …………………………（ 59～71）
本册成本 7.5 元
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 1 讲 §1.1.1 任意角
¤学习目标：了解角的分类，掌握象限角与非象限角的概念及区别，理解并能表示掌握终边相同的
角的集合.
¤知识要点：
1. 按旋转方向的不同将角分为正角，负 角和零角，即 按逆时针方向旋转的角叫做正角（ positive angle）；
按顺时针方向旋转的角叫做负角(negative angle)；如果一条射线没有作任何旋转，则它就形成了一个零角
（zero angle）. 这样角的概念便推广到了任意角（any angle）.
2. 象限角（quadrant angle）要把握“两个重合，看终边”，即角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴
的正半轴重合，则角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，就
认为这个角不属于任何一个象限，也称为非象限角.
3. 终边相同的角的集合：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S = { β β = α + k 360o , k ∈ Z } ，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和.
¤例题精讲：
【例 1】在 0o ~ 360 o ，找 出与下列各角终边相同的角，并 判断它是哪个象限：（1） 1 20 o ；（2） 950o1 2 ' ．
解：（1）∵ 120o = 360o + 240o ，
∴ 240o 的角与 1 20 o 的角终边相同，它是第三象限角．
（2）∵ 950o12' = 2×360o + 230o1 2' ，
∴ 230o 12' 的角与950o 12' 的角终边相同，它是第三象限角．
【例 2】写出终边在 x轴上的角的集合（用0o 到360 o 的角表示）.
解：因为在0 o 到360 o 范围内，终边在 x轴的正半轴上的角为0 o ，终边在 x轴的负半轴上的角为180o .
所以终边在 x轴正半轴上的角的集合是： S = {α α = k 360o 1 , k∈ Z } ；
终边在 x轴的负半轴上的角的集合是： S = {α α = k 360o +180o 2 , k∈ Z } ，
∴终边在 y轴上的角的集合是： S = S1 ∪ S2 = {α α = n 180o , n∈ Z } .
引申： 终边在坐标轴上的角的集合{α α = k 90o , k∈ Z } ；终边在 y = x 上的角的集合
{ o α α = 45o + k 180o , k∈ Z } ；终边在 y = ± x 上的角的集合 {α α = 45o + k 90 , k∈ Z } .
【例 3】如果角α 与角 θ + 45 o 具有同一条终边，角β 与角 θ 45o 具有同一条终边，那么α 与 β 的关
系是什么？
解：依题意可得： α = 2mπ + θ + 45o , m∈ Z ， β = 2nπ + θ 45o , n∈ Z ，
所以 α β = 2 ( n m ) π + 90o ，
∵ m, n∈ Z ， ∴n m 也是整数，
可令 k = n m ，则 k∈ Z ，并且有 α β = 2kπ + 90o , k ∈ Z .
【例 4】已知角α α 是第二象限角，求 所在的象限.
3
解：因为α 是第二象限角，则 k 360o + 90o < α < k 360o +180o , k∈ Z ，此时
k 120o + 30o α < < k 120o + 60o , k∈ Z ，
3
k 3n, n Z n 360o 30o α α ①当 = ∈ ，有 + < < n 360o + 60o , k ∈ Z ，从而可以判断 为第一象限角；
3 3
k α α ②当 = 3n +1, n∈ Z ，有 n 360o +150o < < n 360o +180o , k∈ Z ，从而可以判断 为第二象限角；
3 3
③当 k = 3n + 2, n∈ Z ，有 n 360o 270o α + < < n 360o + 300o , k Z α ∈ ，从而可以判断 为第四象限角.
3 3
α
点评：首先用象限角将α 表示出来，然后算出所求的 ,m∈ Z ，接下来进行分类讨论：①当
m
k = mn,n∈Z , m∈ Z ， ② k = mn +1,n∈ Z , m∈ Z ， ③ k = mn + 2,n∈ Z , m∈ Z LL ， 一 直 算 到
k = mn + ( m 1) ,n∈ Z , m∈ Z ，便知道了所求角所在的象限.
1
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 1 练 §1.1.1 任意角
※基础达标
1. 下列说法正确的有几个（ ）.
（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角；
（3）小于 90°的角是锐角；（4）0°～90°的角是锐角.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个
2. 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的正半轴上，则角855o 是第（ ）象限角.
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 若 A = {α α = k 360o , k∈ Z } ； B = {α α = k 180o , k∈ Z } ； C = {α k 90o , k∈ Z } ，则下列关系中正
确的是（ ）.
A. Ａ＝Ｂ＝Ｃ B. Ａ=Ｂ∪ Ｃ C. Ａ∪ Ｂ＝Ｃ D. Ａ Ｂ Ｃ
4. 若α 是第四象限角，则180o α 是（ ）.
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
5. 若 α 与 β 的终边互为反向延长线，则有（ ）.
A. α = β + 180o B. α = β 180 o C. α = β D. α = β + ( 2k +1) 180o , k∈ Z
6. 钟表经过 4 小时，时针与分针各转了 (填度).
7. 与 1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .
※能力提高
8. 将下列各角表示为 α + k 360o ( k ∈Z , 0o ≤ α < 360 o ) 的形式，并判断角在第几象限.
（1）560o 24' ； （2） 560o 24' .
9. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720o ≤ β < 720 o 的元素β 写出来：
（1） 2 10o ； （2）1342o 51' .
※探究创新
10. 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界).
8
8
6
6
4 45°
150° 4
2
2
10 5 5 10
10 5 5 10
2
2
4 210° 4
6 （1） 6 （2）
8 8
2
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 2 讲 §1.1.2 弧度制
¤学习目标：理解 1 弧度的角、弧度制的定义，掌握弧度数的绝对值公式，掌握角度与弧度的换算
公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数.
¤知识要点：
1. 1我们在平面几何中研究角的度量时，把周角的 作为 1 度的角，当时是用度做单位来度量角，
360
这种单位制叫做角度制（degree measure）；本节中我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角
(radian),用这种方法来度量角的单位制叫做弧度制（radian measure）,据此定义有半径为 r 的圆的圆心角α
l 所对弧的长为 l ，三者之间的关系为 α = .
r
2. π 角度制与弧度制的换算： π rad = 180 o ，变形有1o = rad ≈ 0.01745r ad ；
180
o
1rad 180 = ≈ 57.30
o = 57o1 8'
π
¤例题精讲：
【例 1】用弧度制表示：①终边在 x轴上的角的集合②终边在 y 轴上的角的集合③终边在坐标轴上的
角的集合.
解：①终边在 x轴上的角的集合： S1 = { β β = kπ , k∈ Z } ；
②终边在 y 轴上的角的集合： S2 = β β
π
= kπ + ,k∈ Z ；
2
k π
③终边在坐标轴上的角的集合： S3 = β β = , k∈ Z .
2
【例 2】已知扇形周长为10cm，面积为 6cm 2 ，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为 α ( 0 < α < 2π ) ，弧长为 l ，半径为 r ，
l + 2r = 10
2 r = 2 r
r = 3
由题意： 1 5r 6 0
l 4
+ = ∴ 或 ∴ α = =3 或
l r = 6 l = 6 l = 4 r 3 2
【例 3】视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5 '，试求：（1）距人10m远处所能阅读文字的大
小如何？（2）要看清长，宽均为5m的大字标语，人距离标语的最远距离是多少米？
解:（1）设文字的长，宽均为 lm，则 l =10 α ，其中 α = 5 ' ≈ 0.001454 ，所以
l ≈10× 0.001454 = 0.01454( m) ≈ 1.45(cm ) ，
故视力正常的人，在距人10m远处能阅读约1.45cm见方的文字.
（2）设人在距离标语 xm l 5 处，则 x = ≈ ≈ 3439 ( m ) ，故视力正常的人，能在约3439m远处
α 0.001454
看清长宽均为5m的大字标语.
【例 4】已知扇形的面积为 S ，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值.
解法 1 1 2S ：设扇形的半径为 R ，弧长为 l ，由 S = lR ，得 l = ，
2 R
因此可得扇形的周长 C 2 R 2 S = + ，即 2R2 CR + 2s = 0 ，
R
由 = C2 16S ≥ 0 ，得 C ≥ 4 S .
当 C ≥ 4 S 时， R C 2 S= S ，圆心角 α = 2 = 2 ， 4 R
所以圆心角为 2 时，扇形的周长最小，最小值是 4 S .
2 S S
解法 2：扇形的周长 C = 2R + = 2 R +
R R
，
由函数的单调性可知：当 R∈ (0, S 时， f ( R ) 为减函数；当 R∈ S , +∞ ) 时， f ( R ) 为增函数，
所以当 R = S ，即 α = 2 时，扇形周长有最小值 4 S .
3
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 2 练 §1.1.2 弧度制
※基础达标
1. 下列各对角中终边相同的角是（ ）.
A. π π π 22 7π 11π 20π 122π 和 + 2 k π （ｋ∈Ｚ） B. － 和 C. － 和 D. 和
2 2 3 3 9 9 3 9
2. 时钟经过一小时，时针转过了（ ）.
A. π rad B. π rad C. π rad D. π rad
6 6 12 12
3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶2 ，则两个扇形周长的比为（ ）.
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1 ∶ 2 D. 1∶8
4. 下列命题中正确的命题是（ ）.
A. 若两扇形面积的比是 1∶4 ，则两扇形弧长的比是 1∶ 2.
B. 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值.
C. 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值.
D. 任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系.
5. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是 4R，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）.
A. 1 (2 sin1cos1) i R 2 B. 1 sin1cos1i R 2 C. 1 R 2 D. (1 sin1cos1) i R 2
2 2 2
6. 若α ＝－216°， l = 7π ，则 r ＝ (其中扇形的圆心角为α ，弧长为 l ，半径为 r ).
7. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
※能力提高
8. （1）把112o 30' 5π 化成弧度制；（2）把 化成角度制.
12
9. 求值：（1）sin π tan π + tan π cosπ tan π cos π （2） a sin π + bcos π + c tan 0 .
3 3 6 6 4 2 3 4
※探究创新
10. 已知扇形 AOB 的面积是 1 cm2 ， 它的周长是 4 cm，则弦 AB的长等于多少 cm？
4
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 3 讲 §1.2.1 任意角的三角函数
¤学习目标：理解并掌握任意角的三角函数的定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，理解
并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等，会求任意角
的三角函数值，理解三条三角函数线.
¤知识要点：
1. 单位圆（unit circle）就是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆.
2. 设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ，则正弦 sin α = y ；余弦 cos α = x ；正切
tan y α = ( x ≠ 0 ) .
x
3.（1）已 知角，求 此角的三角函数值的方法：画 出角的终边与单位圆，求 出它们的交点，则 sin α = y ，
cos α y = x ， tanα = ( x ≠ 0 ) ；（2）已知角的在终边上任一点，求此角的三角函数值的方法：①求
x
r y x y = x2 + y 2 ② sin α = ； cos α = ； tan α = .
r r x
¤例题精讲：
【例 1】已知角α 的终边经过点 P ( 2, 3 ) ，求角α 的正弦，余弦和正切值.
2
解：依题可知： r = 22 + ( 3) = 13 ，于是
sin y 3 3 13 α = = = ， cos x 2 2 13 y 3 α = = = ； tan α = = .
r 13 13 r 13 13 x 2
【例 2】（ 1 7π ） 已知角 α = ，求 2sinα + cos α 的值
3
（2）已知角α的终边经过 P ( 4a, 3a) ( a ≠ 0 ) ，求 2sinα + cos α 的值.
7π 1 3
解：（1）在直角坐标系中，作 ∠AOB = ，易知 ∠A OB 的终边与单位圆的交点坐标 , ，
3 2 2
所以 sin 3 1 α = ， cos α = ， 2sinα + cos 1 2 3 α = .
2 2 2
（2 3 4 2 ）若 a > 0 ， r = 5 a ，则 sin α = ， cos α = ，故 2sinα + cos α = ；
5 5 5
若 3 4 2 a < 0 ， r = 5 a ，则 sin α = ， cos α = ，故 2sinα + cos α = .
5 5 5
【例 3】求值： sin ( 1320o ) cos1110o + cos ( 1020o ) sin 750o + tan 495o .
解： sin ( 1320o ) cos1110o + cos ( 1020o ) sin 750o + tan 495o
= sin ( 4×360o +120o ) cos ( 3×360o + 30o ) + cos ( 3×360o + 60o ) sin ( 2×360o + 30o ) + tan ( 360o + 135o )
=sin120o cos30o + cos60o 3 3 1 1 sin30o + tan135o = × + × 1 = 0 .
2 2 2 2
4 y sin x cos x tan x 【例 】求函数 = + + 的值域.
sin x cos x tan x
解：定义域： x x k π ≠ , k∈ Z
，
2
当 x是第Ⅰ象限角时， y =1+1+1= 3 ；
当 x是第Ⅱ象限角时， y =1 1 1= 1 ；
当 x是第Ⅲ象限角时, y = 1 1 1= 3 ；
当 x是第Ⅳ象限角时, y = 1+1 1= 1 .
∴ 函数的值域为{ 1,1, 3 ,3} .
5
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 3 练 §1.2.1 任意角的三角函数
※基础达标
1. 设角α α α α 是第一象限角，且 sin = sin ，则 是（ ）.
2 2 2
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 若三角形的两内角α，β满足 sinαcosβ < 0，则此三角形必为（ ）.
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
3. 若α 是第二象限角， P ( x , 5 ) 2 为其终边上一点，且 cos α = x ，则 sinα 的值为（ ）. 4
A. 10 B. 6 C. 2 D. 10
4 4 4 4
4. 若α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ ）.
A. sinα + cosα < 0 B. tanα sinα < 0 C. cosα tanα < 0 D. tanα sinα < 0
5. 设 f ( n ) = tan nπ π + ，则 f (1 ) + f ( 2) + f ( 3) +L + f ( 2005 ) 的值为（ ）.
2 4
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
6. 已知角α 的终边经过 ( 2a 3,4 a ) ，且 cosα ≤ 0,sinα > 0 ，则α 的取值范围是 .
7. sin390 8π o = ； cos ( 315o ) = ； tan = .
3
※能力提高
8. 确定下列各式的符号.
（1）sin100° cos240° ； （2） sin5+tan5.
9. x 已知角 θ 的终边上一点 P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且 cos θ = ，求 sinθ 和 tanθ 的值.
3
※探究创新
sin 2
10. 1 已知 < 1 ，则θ为第几象限角？
2
6
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 4 讲 §1.2.2 同角三角函数的基本关系
¤学习目标：掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义，熟练解决三
角函数求值、化简、恒等式证明的问题.
¤知识要点：
tan sin α① α = , π α ≠ + kπ , k∈ Z ；② sin2 α + cos2 α = 1
cosα 2
¤例题精讲：
【例 1】已知 cos 8 α = ，求sinα 和 tanα 的值.
17
8
解：∵ cos α = ，∴α 是第二或第三象限角．
17
15 sinα 15
①当α 是第二象限角时， sinα = 1 cos 2 α = ， tan α = = ；
17 cosα 8
α sin 1 cos 2 15 tan sinα 15 ②当 是第三象限时， α = α = ， α = = .
17 cosα 8
思考：不计算 sinα 的值，能否算得 tanα 的值？
1
参考答案：由于 2 =1+ tan
2 α 而α 在Ⅱ或Ⅲ象限
cos α
tan 1 1 18
2
∴ α = ± = ± 1 15 2 = ± . cos α 17 8
【例 2 α 1+ sinα 1 sin α 】已知 是第三象限角，化简 .
1 sinα 1+ sin α
( 1+ sinα ) (1 + sinα ) (1 sinα )( 1 sin α ) ( 1+ sinα ) 2 (1 sin α ) 2
解：原式= =
(1 + sinα )(1 sinα ) (1 + sinα )(1 sin α ) 1 sin2 α 1 sin 2 α
= 1+ sinα 1 sin α .
cosα cos α
∵ α . = 1+ sinα 1 sin α 是第三象限角，∴cosα < 0 所以原式 = 2 tan α .
cosα cos α
sinα 4cos α
【例 3】已知sinα = 2cos α ，求 及 sin2 α + 2sinα cos α的 值 .
5sinα + 2cos α
解：∵ sinα = 2cos α ，∴ tanα = 2 ，
sinα 4cosα tanα 4 2 1
∴ = = = ；
5sinα + 2cosα 5 tanα + 2 12 6
sin2 α + 2sinα cosα tan2 sin2 2sin cos α + 2 tanα 4 + 2 6 α + α α = 2 2 = 2 = = . sin α + cos α tan α +1 4 + 1 5
【例 4】已知方程 2x2 ( 3 +1)x + m = 0 的两根分别是sinθ ，co s θ ，求 sinθ cos θ + 的值.
1 1 1 tan θ
tan θ
解：因为方程 2x2 ( 3 +1)x + m = 0 的两根分别是sinθ ，co s θ ，
sin cos 3 + 1 所以 θ + θ = .
2
= sinθ cosθ sin
2 θ cos 2 θ
原式 + = +
1 cosθ 1 sin θ sinθ cosθ cosθ sin θ
sinθ cos θ
sin2 θ cos2 θ
= = sinθ + cos 3 + 1 θ = .
sinθ cosθ 2
点评：解答此题的关键有两点：①化切为弦；②韦达定理的灵活应用.
7
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 4 练 §1.2.2 同角三角函数的基本关系
※基础达标
1. cos 3 已知 α = ，α 为第二象限角，那么 tanα 的值等于（ ）.
5
A. 4 B. 4 C. 3 D. 3
3 3 4 4
2. 已知 sinα + cos 1 3 α = ，且 0 < α < π ，则 tanα 的值为（ ）.
2
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
3 3
3. sinα + cos α 已知 tanα = 2 ，求 的值（ ）.
2sinα 3cos α
A. 2 B.3 C.1 D. 3
4. 已知θ 是三角形的内角， sinθ + cos
1
θ = ，则 sinθ cos θ 的值为（ ）.
5
A. 1 B. 7 C. 7 D. 1
5 5 5 5
5. α 1+ sinα 1 sin α 已知 为第二象限角，化简 为（ ）.
1 sinα 1+ sin α
A. 2 tanα B. 2 tanα C. tanα D. tanα
6. 2 o = 1 sin
6 x cos 6 x
化简 1 sin 440 ； = .
1 sin4 x cos 4 x
7. 已知sinα = 2sin β , tanα = 3tan β ，则 cos 2 α = .
※能力提高
8. sin 1 已知： α = 且 tanα < 0 ，试求 cosα , tan α 值．
5
9. 已知 tanα =2，求下列各式的值：
1 4sinα cos α sin
2 α 2sinα cosα cos 2 α 3 1
（ ） ；（2） 2 2 ；（3） sin
2 α + cos 2 α ；（ 4）sinα cos α ；
3sinα + 5cos α 4cos α 3sin α 4 2
※探究创新
10. 已知 a sinα + bcos α = m ， b tan
n
α = a ，求证 a 2+b2 = m2 + n 2 .
cos α
8
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 5 讲 §1.3 三角函数的诱导公式
¤学习目标：1. 通过本节内容的教学，使学生掌握180 o ± α ， α ，90 o ± α ，360o ± α 角的正弦、余
弦和正切的诱导公式及其探求思路.
2. 能正确地运用这些公式进行任意角的正弦值，余弦值的求解，简单三角函数式的化简与三角恒等
式的证明.
¤知识要点：
（1）若α 是锐角，则 2π α 是第四象限角；π + α 是第三象限角；π α 是第二象限角； α 是第四
象限角； π π + α 是第二象限角； α 是第一象限角.
2 2
（2）诱导公式（1）～（6）， 可以归纳为“奇变偶不变，符号看象限”.
¤例题精讲：
【例 1】求下列各式的值：
（1） cos ( 60o ) sin ( 210o ) 2 sin 31π （ ） cos 10π sin 11π .
6 3 10
解：（1）原式= cos60o + sin (1 80o + 30o ) = cos60o sin 30o 1 1 = = 0
2 2
3 = sin 4 7π cos 2 4π 11π π π π （ ）原式 π + 6
π + 3
sin = sin π + cos π + + sin
10 6 3 10
= sin π + cosπ sin π 1 1 + = + + 0.3090 = 1.3090
6 3 10 2 2
2 sin [α + (2n +1)π ]+ 2sin [α (2n + 1)π ] 【例 】化简： (n∈ Z ) .
sin(α 2nπ ) cos(2nπ α )
= sin[(π + α ) + 2nπ ]+ 2sin[(α π ) 2nπ ] = sin(π + α ) + 2sin(α π ) 解：原式
sin(α 2nπ )cos(2nπ α ) sinα cos α
= sinα 2sin α = 3 .
sinα cos α cosα
3 1+ tan(θ + 720°) 【例 】已知 = 3+ 2 2 ,
1 tan(θ 360° )
[cos2 ( ) sin( ) cos( ) 2sin2 ( )] 1 求 π θ + π + θ π θ + θ π 的值 新疆 王 新 敞 奎屯
cos2 ( θ 2π )
1+ tan(θ + 720°) 解：由 = 3+ 2 2 ，
1 tan(θ 360° )
得（ 4 + 2 2) tanθ = 2 + 2 2 2 + 2 2 2 ，所以 tan θ = = ，
4 + 2 2 2
故 [cos2 (π θ ) + sin(π + θ ) cos(π θ ) + 2sin2 (θ π )] 1
cos2 ( θ 2π )
= [cos2 θ + sinθ cosθ + 2sin2 θ ] 1 2 = 1+ tanθ + 2 tan
2 θ =1+ 2 2 ( 2 + ) 2 2 = 2 + 新疆 王 新 敞 奎屯
cos θ 2 2 2
【例 4】已知 sin 1 β = ， sin ( α + β ) = 1 ，求 sin ( 2α + 3β ) 的值.
3
解：∵ sin ( π α + β ) =1,∴α + β = + 2kπ , k∈ Z ，
2
∴2α + 2β = π + 4kπ , k ∈ Z ，
∴sin ( 2α + 3β ) = sin ( 2α + 2β ) + β = sin ( π + 4k π ) sin ( ) sin
1
+ β = π + β = β = . 3
点评：构造角是解三角题的一种常见方法.
9
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 5 练 §1.3 三角函数的诱导公式
※基础达标
1. 已知 sin ( 1 1 α + π ) = ，则 的值是（ ）.
2 cos( α + 7π )
A. 2 3 B. 2 C. 2 3 D. ± 2 3
3 3 3
2. 已知 sin π α = cosα ,cos
π
α
= sin α 对任意角α 均成立，若 f (sin x) = cos2 x ，则 f (cos x ) 等
2 2
于（ ）．
A. cos2x B. cos 2x C. sin 2x D. sin 2x
3. sin 4π cos 25π tan 3π 的值是（ ）. 3 6 4
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
4 4 4 4
4. 在 ABC 中，下列等式中成立的是（ ）.
A. sin ( A + B) = sin C B. cos ( B +C ) = cos A
C. tan A + B tan C = D. sin B + C = cos A
2 2 2 2
2n 3 π
5. A nπ ( ) 已知集合 = x x = cos , n∈ Z ， B = x x = sin , n∈ Z ，则（ ）.
3 6
A. A B B. A B C. A = B D. A∩ B =
sin ( π α ) + cos ( π + α 6. 已知 sin ( ) 7π α ) 3cos ( π α ) = 2 ，则 的值是 .
sinα + cos ( α )
7. 已知 cos ( 1 3π π α ) = sin ，则 + α 4 2 = .
※能力提高
3 2
8. 1 sin ( α )cos(5π + α ) tan(2π + α ) 2 sin ( α π ) cos(π + α )cos α 化简：（ ） 3 ；（ ） . cos ( α 2π ) sin( α 3π ) tan3 (α 4π ) tan(2π + α ) cos3 ( α π )
1
sin(180° + α )
9. 1 sin( α ) 1 cos(kπ α )cos(k π + α ) 求证：（ ） = 1 3 ；（2） = 1, k∈ Z
+ cos(360° α ) tan α sin[(k +1)π + α ]cos[(k +1)π + α ]
cos(540° α )
※探究创新
10. 设 f ( x) = a sin ( π x + α ) + bcos ( π x + β ) + 7 ，α ,β ,a, b 均为实数，若 f ( 2001) = 6 ，求 f ( 2008 ) 的值.
10
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 6 讲 §1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质
¤学习目标：①理解并掌握五点作图法；②理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇
偶性的意义；③ 会求简单函数的定义域、值 域、最 小正周期和单调区间；④ 掌握正弦函数 y = Asin ( ωx + )
的周期及求法 新疆 王 新 敞 奎屯
¤知识要点：
2π
① 周期函数的定义:对 x∈ M ，都有 f ( x + T ) = f ( x ) ，用公式计算 T = ；
ω
π
②正弦函数的对称轴方程为 x = + kπ , k∈ Z ，余弦函数的对称轴方程为 x = kπ , k ∈ Z .
2
¤例题精讲：
π
【例 1】作函数 y = 2sin 3x + 4
+ 1 的简图.
解：（ 1）列表 （2）描点连线，图如右.
x
π π 3π 5π 7π
12 12 12 12 12
0 π 2π
3 x π π 3π +
4 2 2
y 1 3 1 1 1
2 1 y π = sin x + 2 y x π = 3sin + 【例 】求下列三角函数的周期：（ ） ； （ ） .
3 2 5
π
解：方 法一：（1）令 z = x + ，而 sin ( 2π + z) = sin z ，即 f ( x 2 ) π f x π + π + = +
，所 以周期 T = 2π . 3 3 3
2 z x π f ( x) 3sin z 3sin ( z 2 ) =3sin x π 2 3sin x + 4π π （ ）令 = + ，则 = = + π + + π = + 2 5 2 5 2 5
= f ( x + 4π ) ，所以周期 T=4π .
2π
方法二：直接利用求周期的公式： T = . （1） T 2π = = 2 2π π ；（2） T = = 4π .
ω 1 1
2
π π
【例 3】已知函数 y = cos2 x sin x + 3, x ∈ , ，求函数的最大值. 6 2
2
解： y = cos2 x sin x + 3 = sin2 x sin x + 4 = sin x 1 + 17 2
+ ，
4
π π 1 1 13
由于 x ∈ , ，则 ≤ sin x ≤ 1 ，所以，当 sin x = 时，函数取得最大值 . 6 2 2 2 4
点评：由同角三角函数关系式 cos2 x =1 sin 2 x ，把 y 化为 sin x的函数求解.
【例 4】 若函数 y 3 1 = a bcos x 的最大值是 ，最小值是 ，求函数 y = 4 asin bx 的最大值与最小
2 2
值及周期.
解：∵ 1≤ cos x ≤ 1 ，当 b > 0 时， b ≤ bcos x ≤ b ，
a + b = 1.5 a = 0.5
∴a b ≤ a bcos x ≤ a + b ， ∴ ，解得 ，
a b = 0 .5
b
= 1
a b = 1.5 a = 0.5
∴ y = 2 sin x ，同理可得当 b < 0 时， ，此时 ，
a + b = 0.5 b = 1
∴ y = 2sin ( x) = 2sin x ，
从而， y = ± sin x ，此函数的最大值是 2，最小值是 2，周期是 2π .
点评：本题须对b进行讨论，若不讨论只能得前一个解，容易发生少解的情况.
11
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 6 练 §1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质
※基础达标
1. 函数 y = 2sin 4 x
π
的最小正周期是（ ）.
3
A. π B. C. π 2π D. 4π
2
2. 函数 y =1 2sin x 的值域是（ ）.
A. [ 2 ,1] B. [ 1,3] C. [ 0,1] D. [ 2,2]
3. 函数 y＝sin（2x＋ 5π ）图象的一条对称轴方程是（ ）.
2
A. x π = B. x π = C. x π = D. x 5π =
4 2 8 4
4. 19π 13π 下列说法①sin1< sin 2 ② sin 2 < cos 2 ③ sin 4 < cos 4 ④ sin < cos ，其 中正确的是（ ）. 10 10
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
5. 根据正弦函数的图像得使不等式 2 + 2sin x ≤ 0, x∈ R 成立的 x的取值集合为（ ）.
A. 3π π π 3π ,
B. , C.
3π 2k , π 2k π 3π + π + π
D. + 2kπ , + 2 k π
4 4 4 4 4 4 4 4
6. 比较大小：sin510o sin142o ； cos750o cos( 7 60o ) .
7. y 3sin π 3x , x π , π 函数 = ∈
的单调递增区间是 .
6 2 2
※能力提高
8. x π 1 3π 用五点法作函数的简图：（1） y = 2sin + ； （2） y = cos x .
3 4 2 2
9. 求函数 y = 2 2sin x cos 2 x 的最大值和最小值.
※探究创新
10. 设二次函数 f ( x) = x2 + bx + c ( b, c∈ R ) ，已知不论 α , β 为何实数，
恒有 f ( sinα ) ≥ 0, f ( 2 + cosβ ) ≤ 0 ，（1）求证： b + c = 1 ；（2）求证 c ≥ 3 .
12
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 7 讲 §1.4.2 正切函数的性质与图像
¤学习目标：①理解并掌握做正切函数图像的方法；②理解并掌握用正切函数的图像解最简单的三
角不等式；③掌握正切函数的性质.
¤知识要点：
π
①正切函数的图像尤其要注意定义域 α α ≠ + kπ , k ∈ Z ；②正切函数是中心对称图形. ③正切函
2
π π
数在定义域内是增函数，这种说法是错误的，只能说在开区间 + kπ , + k π
， k∈ Z 内是增函数. ④
2 2
2π
正切函数 y = A tan ( ωx + ) 的周期 T = .
ω
¤例题精讲：
1 y = tan π π 【例 】求函数 x +
的定义域，周期和单调区间.
3 4
π π π 3
解：函数的自变量 x应满足： x + ≠ + kπ , k∈ Z ，即 x ≠ 3k + ,k ∈ Z .
3 4 2 4
所以函数的定义域是 x x ≠ 3k
3
+ ,k ∈ Z .
4
由于 f ( x) = tan π x π tan π x π π π + = + + π
= tan (x + 3) + = f ( x + 3 ) ，因此函数的周期是 3. 3 4 3 4 3 4
π π π π 9 3
由 + kπ ≤ x + ≤ + kπ , k∈ Z 解得 + 3k < x < + 3k , k∈ Z ，
2 3 4 2 4 4
因此函数的单调区间是 ( 9 + 3k , 3 + 3k), k ∈ Z .
4 4
2 π 【例 】利用图象解不等式 tan(x + ) ≤ 3 .
6
解：利用图象知， π + k π π π < x + ≤ + k 2π π π , k∈ Z ，解得 + kπ < x ≤ + kπ , k ∈ Z ，
2 6 3 3 6
x 2π π 从而原不等式的解集是： + kπ < x ≤ + kπ , k
∈ Z
3 6
.
【例 3】比较 tan 3与 tan8的大小.
解：∵ tan8 = tan ( 8 π 2π ) ,而 < 8 2π < 3 < π ，又函数 y = tan x π 在 ,π 上是增函数， 2 2
∴ tan 3 > tan ( 8 2π ) ，即 tan 3 > tan8 .
点评：将弧度制 3 与 8 化成同一单调区间内的正切函数，然后利用正切函数的单调性比较大小.
( tanθ +1) 2 ( tanθ + 1) 2
【例 4】已 知关于实数 x的不等式 x ≤ ，x 2 3( tanθ +1) x + 2( 3tanθ +1) ≤ 0 的
2 2
解集分别为 M，Ｎ，且M ∩ N = ，则这样的θ 存在吗？若存在，求出θ 的取值范围.
( tanθ +1) 2 ( tanθ + 1) 2
解：由 x ≤ ，得２ 2 tanθ ≤ x ≤ tan2 θ + 1 ，∴ M = { x 2tanθ ≤ x ≤ tan2 θ + 1 . 2 2 }
由 x2 3( tan 1 1 θ +1) x + 2( 3tanθ +1) ≤ 0 ，当 tan θ ≥ 时，2 ≤ x ≤ 3tanθ + 1 ；当 tan θ < 时，3 tanθ +1≤ x ≤ 2
3 3
∵M ∩ N tan 1 1 1 = ，当 θ ≥ 时，3 tanθ +1> 2 tan θ ，∴ tan2 θ +1< 2 ，得 ≤ tanθ < 1 ①，当 tan θ < 时，
3 3 3
∵ 2 tanθ < 2 ，故 tan2 θ +1< 3tanθ 1 0 tan
1
+ ，∴0 < tanθ < 3 ，∴ < θ < ②，由①②知0 < tanθ < 1 ，故θ
3
π
的取值范围是 kπ , kπ + ( k∈ Z ) .
4
13
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 7 练 §1.4.2 正切函数的性质与图像
※基础达标
1. y = tan x π 函数 +
4
的定义域是（ ）.
A. x x π , x R π ≠ ∈ B. x x ≠ , x
3π π
∈ R C. x x ≠ + kπ , k∈ Z D. x x ≠ + kπ , k∈ Z 4 4 4 4
2. π 函数 y = tan ax + ( a ≠ 0 ) 的最小正周期为（ ）.
4
A. 2π B. 2π C. π D. π
a a a a
3. 下列说法正确的是（ ）.
A. 正切函数在整个定义域内是增函数
B. 正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成
C. 若 x是第一象限角，则sin x是增函数
D. 函数 y = 2 tan x 2 的图像关于 y 轴对称
4. 下列函数中，不．是．奇 函数的是（ ）.
A. y = sin x + tan x B. y = x tan x 1 C. y sin x tan x tan x = D. y = lg
1+ cos x 1+ tan x
5. 函数 y 1 = π π < x <
的值域是（ ）. tan x 4 4
A. [ 1,1] B. ( ∞, 1) ∪ (1 , +∞ ) C. ( ∞ ,1] D. [ 1, +∞ )
6. π y = 2 tan 2ax + 若函数 ( a ≠ 0 ) 的最小正周期是 3，则 a = .
6
7. y 5 tan 6x π = 函数 + + 2 的定义域是 .
3
※能力提高
8. 利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：
1 tan ( 138o ) tan125o 2 tan 12 tan 16 （ ） 与 ；（ ） π 与 π .
5 3
9. 求函数 y = tan 3 x
π
4
的周期和单调区间.
※探究创新
10. 求函数 y = sin x 1 tan x
1 cos x
+ 的最小正周期.
sin x
14
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 8 讲 §1.5 函数 y = Asin ( ωx + ) 的图像
¤学习目标：①理解振幅的定义及振幅变换和周期变换的规律；②会用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋ )
的图象；③会用图象变换的方法画 y＝Asin(ωx＋ )的图象；④会求一些函数的振幅、周期、最值等.
¤知识要点：
①振幅（amplitude of vibration）就是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 . ②函数
y = Asin ( 2π 1 ω ωx + ) 的周期（period） T = ；频率(frequency) f = = 相位（phase）为 ωx + ；初相
ω T 2π
（initial phase）是 x = 0 时的相位 .
¤例题精讲：
1 y 3sin(2x π 【例 】画出函数 ＝ ＋ )，x∈R 的简图,并说明此函数图形怎样由 y = sin x 的图象变化而来.
3
解：由五点法，列表： 描点画图，如下：
x π π π 7π 5π
6 12 3 12 6
2x+ π π 3π 0 π 2π
3 2 2
3sin(2x+ π 0 3 0 –3 0
3
这种曲线也可由图象变换得到，即：y＝sinx
π
纵坐标不变 左移 个单位 π π 纵坐标变为 3倍 3 y＝sin(x+ ) 1 y＝sin(2x+ ) y＝3sin(2x+
π )
3 横坐标变为 倍 3 横坐标不变 3
2
【例 2】已知函数 y = Asin ( x π 4π ω + ) ，在同一周期内，当 x = 时函数取得最大值 2，当 x = 时函
9 9
数取得最小值－2，则该函数的解析式为（ ）.
A. y π π x π x π = 2sin 3 x 6
B. y = 2sin 3 x + C. y = 2sin + D. y = 2sin 6 3 6 3 6
π 4π
解：由题可知，点( ，2)和点( ，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第
9 9
ω
π π
+ = ω = 3
” “ ”
9 12
二点 和 第四点 ，如右图，所以有： ，解得 π ，答案：B.
4π 3π ω + = =
9 2 6
点评：一般来说，如对所求函数式中的 A、ω、 不加限制，那么所求的函数式应有无数多个不同的
形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，我们解这类题的方法很多，但逆用“五点法”作图的思想却渗透
在各不同解法之中 新疆 王 新 敞 奎屯
【例 3】如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s 厘米和时间 t 秒
的函数关系为 s = 6sin(2π t π + ) .（1）单摆摆动 5秒时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最
6
右边到最左边的距离为多少厘米？（3）单摆来回摆动 10 次所需的时间为多少秒？
1 π π 解：（ ）将 t = 5 代入已知函数式，则 s = 6sin(2π ×5 + ) = 6sin = 3 .
6 6
所以，单摆摆动 5秒时，离开平衡位置 3 厘米.
（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为 2A，即 12 厘米.
3 2π 2π （ ）由 T = = = 1 ，所以单摆来回摆动 10 次所需的时间为 10秒.
ω 2π
点评：在 y = Asin(ωx + ) + b 这一三角函数模型中，A 为振幅, b 为平衡位置， 为初相，周期为
T 2π = ，频率为 f 1 = . 正是根据这些实际意义，在给定具体三角函数模型时，可以轻松求解实际问题
|ω | T
15
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 8 练 §1.5 函数 y = Asin ( ωx + ) 的图像
※基础达标
1. 2π π 已知函数 y = Asin ( ωx + ) ( A > 0,ω > 0 ) 的最大值是 2，最小正周期是 ，初相是 ，则这个函
5 4
数的表达式是（ ）.
A. y = 2sin(5x π ) B. y = 2sin(5x π + ) C. y = 2sin(5x π π ) D. y = 2sin(5x + )
4 4 20 20
2. 把函数 y = sin(2x π π 1 + )的图像向左平移 个单位长度，再将横坐标压缩到原来的 ，所得函数的
4 8 2
解析式为（ ）.
A. y sin 4 x B. y cos4 x C. y sin(4x π = = = + ) D. y = sin(4x π + )
8 32
3. 要得到 y = cos(2x π )的图像，只需将 y = sin 2 x 的图像（ ）.
4
A. π 向左平移 个单位 B. π 向右平移 个单位
8 8
C. π π 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
4 4
4. 如图是函数 y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析式为（ ）.
A. y 2 sin(2x π ) B. y 2 sin( x π ) C. y 2 sin(x π ) D. y 2 2π = + = + = = sin(2x + )
3 3 3 2 4 3 3 3 3
5. （2003. 上海）把曲线 ycos x 2y π + 1= 0 先沿 x轴向右平移 个单位长度，再沿 y 轴向下平移 1
2
个单位长度，得到的曲线方程是（ ）.
A. ( 1 y ) sin x + 2y 3 = 0 B. ( y 1) sin x + 2y 3 = 0
C. ( 1+ y) sin x + 2y +1 = 0 D. (1 + y ) sin x + 2y +1= 0
6. 把函数 y = cos(x 4π + ) 的图像向右平移φ 个单位，所得到的图象正好关于 y 轴对称，则φ 的最小正
3
值是 .
7. 已知函数 y = Asin ( x 5π 2 11π ω + ) (A > 0,ω > 0) 在同一周期内，当 x = 时，y 有最大值为 ，当 x =
3 3 3
时，y 2 有最小值 ，则此函数的解析式 .
3
※能力提高
8. 1 π 画出函数 y = 2sin( x ) 在长度为一个周期的闭区间上的简图，并 写出函数的振幅，周 期与初相,
3 6
然后说明此函数的图像可由正弦函数曲线经过怎么样的变化得到.
9. 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋2 的图象的一部分，它的振幅、周期、初相
各是多少？
※探究创新
10. 1 π 5 已知函数 f ( x) = sin(2x + ) + ，（1）求 f ( x ) 的最小正周期及单调区间；（2）求 f ( x ) 的图
2 6 4
像的最称轴和对称中心.
16
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 9 讲 §1.6 三角函数模型的简单运用
¤学习目标：①掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；②选择合理三角函数模型解决实际问
题；③培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.
¤知识要点：
在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此可以用三角函数模型来描述. 如气象方面有温度
的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、
体力等. 研究这些应用问题，主要有以下三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给
模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函
数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图
象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决相应的实际问题.
¤例题精讲：
【例 1】作出函数 y＝｜sinx｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.
解：函数 y＝｜sinx｜的图象如右，由图可知，
函数 y＝｜sinx｜为偶函数，周期为Ｔ＝π.
递增区间为［kπ， π ＋kπ］，k∈Z，
2
π
递减区间为［ ＋kπ，π＋kπ］，k∈Z.
2
【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度 y（米）是时间 t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，经过长期的
观察，该函数的图象可以近似地看成 y = Asin(ωt + ) + b . 下表是测得的某日各时的浪高数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
依规定，当浪高不低于 1 米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.
1.5 0.5 1
解：根据题意，易知 A = = ，T=12 b 1.5 + 0.5 ， = = 1 .
2 2 2
2π π 1 π 则ω = = ， y = sin( t + ) + 1 .
12 6 2 6
把 t=0 π π π 1 π π 代入，得 × 0 + = ，即 = . 所以 y = sin( t + ) + 1 .
6 2 2 2 6 2
由 y 1 = sin(π t π + ) +1≥ 1 （0≤t≤24）， 解得0 ≤ t ≤ 3 或9 ≤ t ≤ 15 .
2 6 2
所以，在白天 9 时～15 时开放浴场.
【例 3】游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心 O距离地面 40.5m，半径 40m. 若从最低点处登上摩天
轮，从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离 h 将随时间 t 变化，已知 5 min 后到达最高点.
（1）求出 h与 t 之间的函数关系式；
（2）当你第 1 次距离地面 20.5m 时，用了多少时间？
解：（1）如图，设经过 t min 后由 P π 旋转到 P1 ，则 ∠P1O P = t . 5
由图可知， h = P1M = ON OQ = 40.5 OP1 cos ∠ P1O P ，
h 40.5 40cos π t π π 即 = = 40sin( t ) + 40.5 .
5 5 2
所以，h 与 t 之间的函数关系式为 h = 40sin(π t π ) + 40.5 .
5 2
2 h 40sin(π t π ) 40.5 20.5 , sin(π t π ) 1 π t π π t 5 （ ）由 = + = 即 = ，解 得 = ，即 = （min）. 所
5 2 5 2 2 5 2 6 3
5
以，当你第 1 次距离地面 20.5m 时，用了 min.
3
点评：摩天轮在周而复始的转动中，包含着许多数学问题，这里研究了人的高度与时间的函数关系，
发现得出一个三角函数模型，解答的关键是通过直角三角形中的边角关系，寻找出两个变量之间的几何
关系，从而转化为三角函数模型.
17
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 9 练 §1.6 三角函数模型的简单应用
※基础达标
1. 函数 y = 2sin(2x π + )的图象（ ）.
3
A B x= π ．关于原点对称 ．关于直线 对称 C．关于 y轴对称 D π ．关于点（－ ，0）对称
6 6
2. y 2sin(1 x π 函数 = + ) 的周期、振幅、初相分别是（ ）.
2 4
A. π , 2, π B. 4π , 2, π C. 4 π π π , 2, D. 2π , 2,
4 4 4 4 4
3. 如图，曲线对应的函数是（ ）.
A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sinx|
4. 函数 y =| 5sin(2x π + ) | 的最小正周期为（ ）.
3
A π ．π B． C．2π D．4π
2
5. 下表是芝加哥 1951～1981年月平均气温（华氏）：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为 x 轴，x=月份－1，以平均气温为 y 轴，描出的散点图如图所示. 在
以下函数模型中，最适合这些数据的是（ ）.
A. y = 26cos π x B. y = 26cosπ x + 46
6 6
C. y π x π x = 26cos + 46 D. y = 26sin + 46
6 6
6. 根据函数 y＝｜sin2x｜的图象，可知道其单调递增区间为 .
7. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O的距离 s 厘米和时间 t 秒
π
的函数关系为 s = 6sin(2π t + )，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 秒.
6
※能力提高
8. 如图，它 表示电流 i = Asin(ωt + ) (A > 0,ω > 0) 在一个周期内的图象. 其
中电流 i 的单位为 mA，时间 t 的单位为 s. （1）试根据图象写出 i = Asin(ωt + )
1 1
的解析式； （2）当 t=0， ， 时，求电流 i.
60 6
9. 某商品一年内出厂价格在 6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知 3 月份达到最高价格 8元，7
月份价格最低为 4 元. 该商品在商店内的销售价格在 8 元基础上按月份随正弦曲线波动，5 月份销售价格
最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元. （1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式
（2）假设商店每月购进这种商品 m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数.
※探究创新 t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
10. 某“海之旅”表演队在一海滨区域进 y（米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0
行集训，该海滨区域的海浪高度 y（米）随着
时间 t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化. 为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时
刻 t 的浪高数据的平均值如表. （1）试 画出散点图；（2）观 察散点图，从 y = ax + b 、 y = Asin(ωt + ) + b 、
y = Acos(ωt + ) 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（3）如果确定当浪高不低于
0.8 米时才进行训练，试安排恰当的训练时间段.
18
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 10 讲 第一章 三角函数 复习
¤复习目标①理解角的分类和角度制与弧度制的互化，相应的公式要理解并牢记；②会用同角三角
函数的基本关系式解题，能灵活运用诱导公式；③掌握并灵活应用正弦函数和余弦函数的图像和性质. 在
解三角函数的题目中要灵活运用转化和划归思想；1的灵活运用等.
¤例题精讲：
【例 1】（ 2005 年福建卷）函 数 y = sin(ωx + )(x ∈R ,ω > 0,0 ≤ < 2π ) 的
部分图象如图，则 （ ）
A． π , π B π π ω = = ． ω = , =
2 4 3 6
C π , π π 5π ．ω = = D． ω = , =
4 4 4 4
T
解： = 3 1= 2 ，故 T = 8 ，又由
2π 2π π π
ω = = = ，所以原函数为 y = sin x + ，且过点 ( 1,1) ，
4 T 8 4 4
1 sin π = + 所以 ，由 0 ≤ < 2π
π
得 = ,故选 C.
4 4
【例 2】（ 2005 年天津卷）要得到函数 y = 2 cos x 的图象，只需将函数 y = 2 sin(2x π + )的图象上所
4
有的点的（ ）
(A) 1 π 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 个单位长度
2 8
(B) 1 π 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
2 4
(C) π 横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
4
(D)横坐标伸长到原来的 2 π 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
8
解：函数 y = 2 sin(2x π + )可以变形为 y = 2 cos π π 2x
= 2 cos π 2 x ，
4 2 4 4
亦即 y = 2 cos 2 x
π
，此时要得到函数 y = 2 cos x 的图象可以将函数 y = 2 cos
2 x
π
4
的图像
4
1 π π
横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y = 2 cos 2 x = 2 cos x ；然后再向左平移
2 4 4
π
个单位长度，得到 y = 2 cos x π π +
= 2 cos x ，故选 C. 4 4 4
【例 3】（ 2005 全国卷Ⅰ）设函数 f (x) = sin(2x + ) ( π < < 0), y = f (x ) 图像的一条对称轴是直线
x = π ,（1）求 ；（2）求函数 y = f (x ) 的单调增区间.
8
解：（1）∵ x π = 是函数 y = f (x ) 的图像的对称轴，
8
∴sin(2 π × + ) π π = ±1 , ∴ + π = kπ + ,k ∈ Z .
8 4 2
∵ π < 3π < 0, 故 = .
4
2 1 3π 3π π 3π π （ ）由（ ）知 = ，因此 y = sin(2x ) ，由题意得 2kπ ≤ 2x ≤ 2kπ + , k∈ Z .
4 4 2 4 2
π 5π
所以此函数的单调递增区间为 [kπ + ,kπ + ], k∈ Z .
8 8
点评：以上三道例题都是高考题，通过观察发现：“高考题目不过如此”，所以，同学们一定要打好
基本功，平时要扎实训练！以便在高考中过关斩将，取得理想的成绩！！！
19
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 10 练 第一章 三角函数 复习
※基础达标
1.（06 年全国卷 II）若 f ( sin x) = 3 cos 2 x ，则 f ( cos x ) = （ ）.
A. 3 cos 2x B. 3 sin 2x C. 3 + cos2x D. 3 + sin 2x
sin ( π x2 ) , 1< x < 0 2（. 05 年山东理）函 数 f ( x ) = ，若 f (1 ) + f ( a ) = 2 ，则 a的所有可能值为（ ）.
ex 1 , x ≥ 0
A. 1 B. 1, 2 C. 2 D. 1, 2
2 2 2
3.（06 sin x + a 年安徽卷）设 a > 0 ，对于函数 f ( x) = (0 < x < π ) ，下列结论正确的是（ ）.
sin x
A. 有最大值而无最小值 B. 有最小值而无最大值
C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值又无最小值
4. π （04 年全国Ⅱ）函数 y = 2sin 2 x ( x ∈ [ 0, π ] ) 为增函数的区间是（ ）.
6
A. 0,
π
B.
π 7π π 5π 5π
3
, C. , D.
12 12 3 6
, π
6
5.（06 年福建卷）已知函数 f (x) = 2sinωx( ω π π > 0) 在区间[ , ] 上的最小值是 2 ，则ω 的最小值等
3 4
于（ ）.
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
3 2
6.（06 π 年安徽卷）将函数 y = sinωx( ω > 0) 的图象向右平移 个单位，平移
6
后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 .
7. cos43o sin 47o + sin 43o cos47 o 的值为 .
※能力提高
8. sin ( 3 ) lg 1 cos(π + θ ) cos(θ 2π ) 已知 π + θ = ，求 + 的值.
3 10 cosθ [ cos(π θ ) 1] cosθ cos(π θ ) + cos(θ 2π )
9. y cos x sin x 1 求函数 = + 的定义域.
2
※探究创新
10. 已知函数 f ( x) =1 2a 2a cos x 2sin 2 x 的最小值为 g ( a ) .
（1）求 g ( a ) ；（2 1 ）若 g ( a ) = ，求 a及此时 f ( x ) 的最大值.
2
20
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 11 讲 §2.1.1~§2.1.2 向量的物理背景与概念、向量的几何表示
¤学习目标：通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念，掌
握向量的几何表示，理解向量的模、零向量与单位向量的概念.
¤知识要点：
1、向量：
（1）概念：既有大小、又有方向的量叫做向量（vector）；
（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素：起点、方向、长度；
uuur r
（3）记法：记为 AB （起点在前，终点在后）或 a ；
uuur uuur r
（4）模：向量 AB 的长度叫向量的模，记为 AB 或 a .
2、两类特殊的向量：
r
（1）零向量（zero vector）：长度为 0 的向量，记为0 ；
（2）单位向量(unit vector)：长度等于 1 个单位的向量.
¤例题精讲：
【例 1】指出下列哪些量是向量：
①重力；②速度；③高度；④位移；⑤路程；⑥面积；⑦体积；⑧零下 280 .
解：①②④是向量，其它都是数量.
点评：只有大小，没有方向的量都不是向量.
【例 2】 表示小船的下列位移（用 1：100000 的比例尺）：
由 A 地向东北方向航行 20km 到达 B 地；
由 B 地向正北方向航行 10km 到达 C 地；
由 C 地向西北方向航行 30km 到达 D 地.
解：如下图所示：
北
D
C
西
B 东
A 南
点评：（ 1）向量具有深刻的物理背景，位移只是其中的一个代表，其数学内涵是我们可以用一个点
为参照点，来确定另一个点的位置；
uuur
（2）图中向量 AD 表示的就是在这个过程中，小船的总的位移，这其实就是几何形式下，向量的加
法运算.
r r r
【例 3】已知向量 a 是非零向量，则有 a > 0 ，这种说法对吗？为什么？
解：这种说法错. 因为向量包含两个要素：模（也就是长度）与方向. 前一个要素模是数量，可以比
大小，而后一个要素方向是不能比较大小的.
r r
因此我们只能说： a > 0 = 0 .
【例 4】一质点从平面内一点 O 出发，向北前进 a米后，右转 20 0 ，再前进 a米，再右转 200 ，按此方
法继续前进. 求前进多少次，该质点第一次回到 O 点.
360 0
解：由平面几何知识我们易知，质点所经过的路线是一个边长为 a的正 18（ = 0 ）边形， 20
所以，前进 18 次后，该质点第一次回到 O 点.
点评：向量在物理中有许多运用，物理中有很多量（如力、速度、位移、电场强度等），都是既与大
小又有方向的量，向量的有关知识是研究物理中这些矢量的有力工具.
21
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 11 练 §2.1.1~§2.1.2 向量的物理背景与概念、向量的几何表示
※基础达标
1．长度等于 1 个单位的向量叫单位向量，把平面上所有的单位向量平移到相同的起点，那么它们的
终点所构成的图形是（ ）.
A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 两个孤立点 D. 一个半径为 1 的圆
uuur uuur uuur A
2．如图，在圆 O 中， OB,OC , AO 是（ ）.
A. 有相同起点的向量 B. 单位向量 O
C. 模相等的向量 D. 相等的向量 C
B
3．某人东行 100 米，后转弯南行100 3米，则这时他位移的方向是（ ）.
A. 东偏南60° B. 南偏东60° C. 东偏南30° D. 南偏东30°
ur ur ur ur
4．有 两个力同时作用（ 拉动）于 质点 A，力 F 1 的大小 F1 = 50 N ，方 向向东，力 F 2 的大小 F 2 = 50 N ，
ur ur
方向向北，则它们合力 F1 + F 2 的大小与质点前进的方向分别为（ ）.
ur ur ur ur
A. F1 + F 2 = 100 N ，方向东北 B. F1 + F 2 = 100 N ，方向东南
ur ur ur ur
C. F1 + F 2 = 50 2 N ，方向东北 D. F1 + F 2 = 50 2 N ，方向东南
5．质点是这样运动的：①向正东方向运动 s米，②向西偏北60°方向运动 s米，③向西偏东南60°方
向运动 s米，接下来重复上述运动，则质点第 10次运动后质点位移的长度与方向分别为（ ）.
A. 长度为10s米，方向正东 B. 长度为10s米，方向北偏东60°
C. 长度为 s米，方向正东 D. 长度为 s米，方向北偏东60°
6．长度为 1的向量叫 ，长度为 0 的向量叫 .
7．某人向正东方向走 3千米，再向正北方向走 4 千米后，此人走过的路程是 ，其位移的长
度是 .
※能力提高
8．画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为10N 的力和一个水平向右，大小为15N 的力（比例
自定）.
9．有三个大小相同的力作用于同一质点，这三个力的方向两两构成120° 的角，试画图表示，并判断
该质点的运动状况，且说明理由.
※探究创新
10．一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，逆时钟方向转弯α ，继续按直线行进1m ，
再按逆时钟方向转弯α ，再继续按直线行进1m，照此方法继续操作下去：
（1）作图说明当 α = 45° 时，操作几次赛车的位移为零；
（2）照此操作赛车能回到出发点，α 应该满足什么条件？请写出其中两个α 的值..
22
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 12 讲 §2.1.3 相等向量与共线向量
¤学习目标：我们所研究的向量是自由向量，也就是在不改变长度与方向的前提下，向量可以在空
间自由移动，在此基础上，深刻理解两个概念：相等向量、共线向量.
¤知识要点：
（1）在不改变长度与方向的前提下，向量可以在空间自由移动；
（2）相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量叫相等向量（equal vector）；
（3）共 线向量：方 向相同或相反的向量叫平行向量（ parallel vectors），也 叫共线向量（ collinear vector）；
r r r
（4）零向量的方向是任意的，对任意向量 a ，我们都有：0 // a .
¤例题精讲：
【例 1】下列说法正确的是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A、 向量 AB // CD 就是 AB与C D 两个向量所指的方向相同；
B、长度相等的向量叫相等向量；
C、零向量的长度为 0，而方向是任意的；
D、 共线向量是在同一直线上的向量.
uuur uuur
解： AB // CD 有同向与反向两种可能，A错；
两个要素均一致的向量才是相等向量，B错；
向量可以在空间自由移动，共线向量是指平移后可以共线的向量，D 错. 选 C.
【例 2】如图，点 O 是正六边 ABCDEF 的中心，考察点 O 与各顶点连线所成的向量，以及各边所成
uuur uuur
的向量，与向量 EO 相等的向量有哪些？与向量 EO 相反的向量有哪些？
uuur uuur uuur uuur
解：在正六边形 ABCDEF EO = OB = DC = FA B C 中， ，
又 AF // DC ，因而：
uuur uuuruuuuruuur O
（1）与向量 EO 相等的向量有： FA,OB, DC A ； D
uuur uuuuruuuuruuur uuur
（2）与向量 EO 相反的向量有： AF ,BO,CD, OE .
点评：相等向量与相反向量是两个不同的概念，他们的共同点是：模都 F E
相等，区别是：相等向量方向相同，相反向量方向相反. 一般地，我们有：
uuur uuur uuur uuur
AB = BA ， AB = BA .
uuuur uuuur uuuur
【例 3】如图，已知： AA/ = BB / = CC / ，
uuur uuuuur C'
求证：（1） ABC A/B /C / ；（2） AB = A/B / . A'
uuuur uuuur uuuur
证明：（1）因为 AA/ = BB / = CC / ，
uuuur uuuur uuuur B'
所以 AA/ = BB / = CC / ，且 AA/ //BB / // CC / ， A C
所以三棱锥的三个侧面都是平行四边形，得
AB = A/B / ,BC = B /C / , CA = C / A / ， B
所以， ABC A/B /C / ；
uuur uuuuur
（2）由（1）知： AB = A/B / ， AB // A/B / ，且同向，
uuur uuuuur
所以， AB = A/B / .
点评：本题只是说明几何问题与向量问题是可以互相转化的，至于这种转化的优势，在今后的学习
中我们会逐步体会.
D N C
【例 4】在矩形 ABCD中， AB = 2 BC ，M、N 分别为 AB和 CD的中
点，在以 A、B、C、D、M、N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量
有多少对？
A M B
解：相等的向量有 24对.
点评：相等向量是大小相等、方向相同的向量. 在解题中应确定一个分类的原则，计算各类中相等
向量的对数，做到不重复不遗漏. 这里可以按模长分类，再考虑不同的方向. 模长为 1 的向量有 18 对，
模长为 2 的向量有 4 对，模长为 2 的向量有 2 对.
23
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 12 练 §2.1.3 相等向量与共线向量
※基础达标
1．下列命题正确的是（ ）.
r r r r r r r
A. 若 a = 0 ，则 a = 0 B. 若 a = b ，则 a = b
r r r r r r r r
C. 若 a = b ，则 a、b 是平行向量 D. 若 a、b 是平行向量，则 a = b
2．下列说法错误的是（ ）.
A. 零向量的长度为零 B. 零向量与任意向量都是共线向量
C. 零向量没有方向 D. 零向量的方向是任意的
uuur
3．在正 ABC 中，P、Q、R 是分别是 AB、BC、CA的中点，则与向量 PQ 相等的向量是（ ）.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A. PR与Q R B. AR与 RC C. RA与C R D. PA与Q R
4．下列结论正确的是（ ）.
A. 向量只能用有向线段来表示 B. 表示一个向量的有向线段是唯一的
uuur uuur uuur uuur
C. 有向线段 AB与 BA 是同一向量 D. 有向线段 AB与 BA 的大小相等
5．下列说法中：
（1）单位向量都相等； （2）共线的单位向量必相等；
（3）单位向量都共线； （4）与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.
其中正确的说法个数为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6．相等向量是一类向量的集合，通过平移可以使它们有相同的 与相同的 .
r r r r r r
7．如果 a = b ，且 a // b ，则 a = 或 a = .
※能力提高
8．判断下列说法是否正确，不正确的说明理由：
r r r r
（1）向量 a // b ，则向量 a 与向量b 方向相同或相反；
uuur uuur
（2）向量 AB与向量 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必共线；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.
9．把平行于某一直线的一切向量归结到共同的起点，则这些向量的终点构成什么图形？如果把平行
于某一直线的一切单位向量归结到共同的起点，则这些向量的终点构成什么图形？
※探究创新
10．判断下列说法的对错：
（1）单位向量都相等；
（2）长度不等且方向相反的两向量不一定共线；
r r r r
（3）若 a // b ，则 a 与b 的方向相同或相反；
r r r r
（4）若 a 与b 不共线，则若 a 与b 均为非零向量；
r r r r r r
（5）若 a // b ，且 b // c ，则 a // c ；
r r r r r r r r
（6）若 a 与b 满足： a > b ，且 a 与b 同向，则 a > b .
24
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 13 讲 §2.2.1~§2.2.2 向量的加法与减法运算及其几何意义
¤学习目标：掌握向量加减法运算方法，理解其几何意义，了解相关运算律. 能运用向量加减法的几
何意义解决一些问题.
¤知识要点：
1、向量加法运算的两个法则：
（1）平行四边形法则，要点是：统一起点；
（2）三角形法则，要点是：首尾相接；
2、向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从减向量的终点指向被减向量的终点；
r r r r r r r r
3、三角形三边关系的向量表达方式： a b ≤ a b ≤ a ± b ≤ a + b ，注意等号成立的条件.
r r r r r r r r r r r r r r
4、向量加减法运算满足：（1） a + b = b + a ；（2） (a + b) + c = a + (b + c ) ；（3） a b = a + ( b ) .
¤例题精讲：
【例 1】作向量的和：
（1） （2）
a d
b a b c
uuur r r r ur
解：（1）作图如下： （2）作图如下：图中 AE = a + b + c + d
C c
D
b d
a a+b
a+b B
b a E
b a A a+b+c+d
点评：求两个向量的和，可以采用平行四边形法则（统一起点）或三角形法则（首尾相接）；求三个
以上向量的和的方法我们可以称之为多边形法则，是 三角形法则的推广，要 点依然是首尾相连. 进一步地，
r r r ur uuur uuur uuur uuur uuur
我们不难理解： a + b + c + d = AB + BC +CD + DE = AE ，而这正是向量和式化简的方法：把几个向量写
成首尾相接的形式后，和向量就是第一个向量的起点，指向最后一个向量的终点.
【例 2】作两个向量的差：
解：作图如下：
a b
a b a
a b a
b b
点评：两个向量的求差，关键是统一起点，从减向量的终点指向被减向量的终点为所求的差. 从作图
r r r r r r r r
我们不难发现： a b 与b a 是一对相反向量，所以 a b = b a .
uuur r uuur r uuur r r r r uuur
【例 3】在四边形 ABCD 中，设 AB = a, AD = b, BC = c ，试用 a、b、 c 表示向量DC .
r r uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
解：因为 a b = AB AD = DB ，所以DC = DB + BC = a b + c . （图示如下）
A D
B C
点评：解题的关键是紧扣相关的运算法则，并能灵活运用.
r r r r
【例 4】已知 a = 8 ， b = 10 ，求 a ± b 的最大值和最小值.
r r r r r r r r r r r r
解：因为 a b ≤ a ± b ≤ a + b ，即 2 = 8 10 = a b ≤ a ± b ≤ a + b = 8 +10 = 18 ，
r r
所以 a ± b 的最大值和最小值分别为 18与 2.
25
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 13 练 §2.2.1~§2.2.2 向量的加法与减法运算及其几何意义
※基础达标
1．下列等式错误的是（ ）.
r r r r r r r r r r r
A. a + 0 = 0 + a = a B. (a b) + c = a + (c b )
uuur uuur r uuur uuur uuur
C. AB + BA = 0 D. AB BC = AC
uuur uuur uuur uuur
2．已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 AB + BC + AD + DC 等于（ ）.
A. 1 B. 2 2 C. 3 D. 2
r
3．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0 的是（ ）.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
A. AB + BC + CA B. OA +OC + BO + CO C. AB AC + BD CD D. NQ +QP + MN MP
uuur uuur uuur
4．已知 P为 A BC 所在平面内一点，当 PA + PB = PC 成立时，点 P位于（ ）.
A. ABC 的 AB 边上 B. A BC 的 BC 边上 C. ABC 的内部 D. ABC 的外部
r r
5．向量 a 、b 都是非零向量，下列说法不正确的是（ ）.
r r r r r r r r r r r r
A. 向量 a 与b 同向，则 a + b 与 a 同向 B. 向量 a 与b 反向，且 a < b ，则 a + b 与 a 同向
r r r r r r r r r r r r
C. 向量 a 与b 同向，则 a + b 与b 同向 D. 向量 a 与b 反向，且 a > b ，则 a + b 与 a 同向
uuur r uuur r uuuur r r
6．若点M 是 A BC 中 BC 边上的中点，设 AB = a ， AC = b ，则 AM 可以用 a 、b 表示为 .
uuur uuur uuur
7．若 P为 A BC 的外心，且 PA + PB = PC ，则 ABC 的内角 C 等于 .
※能力提高
uuur r uuur r r r uuur uuur uuur uuur
8．如图在正六边形 ABCDEF中，已知 AB = a , AF = b , 试用 a 、b 表示向量 BC ,CD ,OD , BE .
9．在水流速度为 4 3km / h的河中，如果要使船以12km / h的实际航速与河岸垂直行驶，求船的航行
速度的大小与方向.
Ｃ
※探究创新
10． 已知O是 uuur uuur A uBuC
Ｆ
内任一点，
ur uuur uuur Duu、ur E 、 F
分别为三边中点（如图）. Ｅ
证明：OD +OE +OF = OA +OB + OC . 你能此结论推广到 n 边形吗？请用文
字语言说明.
Ａ Ｄ Ｂ
26
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 14 讲 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义
¤学习目标：掌握向量数乘运算，并理解其几何意义与相关运算律，理解两个非零向量共线的充要
条件，并能初步运用.
¤知识要点：
r
1、实数λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar）,
r
记作 λ a ，其长度与方向规定如下：
r r r r r r r r r
（1） λa = λ a ； （2）λ > 0 时，λ a 与 a 同向；λ < 0 时，λ a 与 a 反向；λ = 0 时，λ a = 0a = 0(≠ 0) .
r r r r r r
2、 a //b b = λ a (a ≠ 0) ，其中 λ ∈ R ，且唯一.
3、向量的线性运算满足：
r r r r r r r r r r r
（1） (λ + )a = λa + a ； （2） λ(a + b) = λa + b ； （3） λ( 1a + 2b) = λ 1a + λ 2 b .
¤例题精讲：
【例 1】化简：
r r r r r r r r r r
（1） (x y)(a + b) (x y)(a 1 b) ； （2） (a + 2b) 1 (3a 1 + + 2b) (a b ) .
3 4 2
r r r r r r r r r r r r r
解：（1） (x y)(a + b) (x y)(a b) = xa + xb ya yb xa + xb + ya yb = 2(x y) b ；
1 r r 1 r r 1 r r 2 (a 2b) (3a 2b) (a b) = (1 3 1
r r r r
（ ） + + + )a 2 1 1+ ( + ) b 7= a 2 + b .
3 4 2 3 4 2 3 2 2 12 3
点评：向量运算类似于多项式运算，所满足的运算律也是相通的.
r r r r
【例 2】（ 1）已知 a = 3 ， b = 5 ，且 a = λ b ，求实数λ 的值；
ur uur r uur r r
（2）向量 e1、e 2 不共线，且 (ke1 + e2 ) //(e1 + ke 2 ) ，求实数 k 的值. r r
r r a r r a
解：（1）若 a 与b 3 同向，则 λ = r = ；若 a 与b 反向，则
3 3
λ = r = ，所以 λ = ±
b 5 b 5 5
r r r r
（2）由已知得，存在实数λ ，使 ke1 + e2 = λ (e1 + ke 2 ) ，整理得：
r r r
(k λ )e1 + (1 kλ )e 2 = 0 ，又由已知得 e e {k λ = 0 1、 2 是非零向量，则 1 k λ = 0 ，
解之得 k = ± 1 .
r r
点评：深刻理解数乘向量的意义，λ 的正负决定 λ a 的方向，λ 的绝对值的大小决定 λ a 模的伸缩. 注
意两个向量不共线的隐含条件是：这两个向量都是非零的.
【例 3】如图所示，已知 DE 是 ABC 的中位线，
用向量的方法证明： DE 1 = BC ，且 DE // BC A
2
uuur
AD 1
uuur uuur uuur D E
证明：易知 = AB ， AE 1 = AC ，
2 2 B C
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
所以 DE = AE AD = (AC AB) = BC .
2 2
即 DE 1 = BC ， 又 D 不在 BC上，所以 DE // BC .
2
点评：向 量是一种解决问题的工具，它 简洁明快，许 多几何问题，用 向量来解决，就 显得格外简练. 本
题要注意的是，因为向量可以自由移动，所以向量的平行与直线的平行在概念上是有区别的.
uuur r uuur r r r
【例 4】如图，设OA = a ，OB = b ，且 a = b = 4 ， ∠AOB = 60 0 ，求：
r r r r r r r r r r B
（1） a + b 与 a b ；（2） a + b 与 a 的夹角， a + b 与b 的夹角. C
uuur uuur
略解：以 OA 、OB 为邻边作平行四边形 OACB D ，则 依条件易知平行四边形 OACB
O
是由两个边长为 4 的正三角形拼接而成的，故易知 A
r r r r
（1） a + b = 4 3 ， a b = 4 ；（2）所求角分别为30°与 60° .
27
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 14 练 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义
※基础达标
uuur uuur uuur
1．已知平行四边形 ABCD 中， AB +CA + BD 等于（ ）.
uuur uuur uuur uuur
A. AB B. CD C. DC D. BA
r r r r r
2．若3x 2(x a ) = 0 ，则 x 等于（ ）.
r r r r
A. 2a B. 2a 2 2 C. a D. a
5 5
uuur uuur uuur
3．点 C 在线段 AB 3 上，且 AC = AB ，则 AC 等于（ ）.
5
2 uuur uuur A. BC B. 3 BC C. 2
uuur uuur
BC D. 3 BC
3 2 3 2
ur r r ur r r ur r r ur r r r r
4．已知m 、 n 不共线，若 a = m 2n, b = 3m + n, c = 2m + 3n ，则 a b与c 的位置关系是（ ）.
A. 不共线 B. 共线 C. 相等 D. 无法确定
r
5．设 a 是非零向量， λ 是非零实数，则下列结论正确的是（ ）.
r r r r r r r r
A. a 与 λ a 反向 B. λ a ≥ a C. a 与 λ 2 a 同向 D. λa ≥ λ a
r r r ur r ur r r ur r r ur
6．已知向量 a、b、 x、y 满足： x + y = a ， x y = b ，则 x = ， y = .
uuur uuur uuur uuur
7．点 G 是 ABC 的重心，D 是 AB 的中点，若GA +GB GC = λ GD ，则实数λ = .
※能力提高
uuur r uuur r r r uuur
8．如图，在 A BC 中， AB = a ， BC = b ，G 为 A BC 的重心，用 a 、b 表示向量 AG .
A
a
G
B
D C b
9．如图，在平行四边形 ABCD中，点 M是 AB 的中点，点 N在 BD 上，
1 D C
且 BN = BD ，求证：M、N、C 三点共线.
3 N
A M B
※探究创新
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
10．如 图，已 知 |OA |= 2, |OB |=1, |OC |= 4, OA与O B 的夹角为120°,OA与O C
uuur uuur uuur
的夹角为30°，试用 OA, OB 表示OC .
28
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 15 讲 §2.3.1~§2.3.2 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示
¤学习目标：在了解平面向量基本定理的基础上，理解并掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 体会
向量与几何问题、物理中力学问题的联系.
¤知识要点：
r r r
1、平面向量基本定理：如果 e1 、 e 2 是共面但不共线的两个向量，那么对这个平面内的任意向量 a ， r r r r r
有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ，使： a = λ1e1 + λ 2 e 2 . e1 、 e 2 叫做该平面内所有向量的一组基底（base）； r r uuur r uuur r
2、对于两个非零向量 a 与b ，我们总可以通过平移使它们的起点重合，比如使：OA = a ，OB = b ，
r r
则 ∠ AOB = θ 就叫作向量 a 与b 的夹角，显然有 θ ∈[ 0°,180 ° ] ；
r r r r r r r
3、如果基底 e1 、 e 2 之间所成的角为90°，则 a = λ1e1 + λ 2 e 2 叫作在基底 e1 、 e 2 下的一个正交分解，进 r r r r
一步，在平面直角坐标系中，取单位向量 e1 = i ， e2 = j ，且方向分别为 x轴与 y 轴的方向，则对坐标平
r r r r r
面内的任意向量 a ，我们有 a = xi + y j ，有序实数对 (x, y ) 叫作向量 a 的坐标. 换句话说，将该平面内任意
r
向量的起点移到坐标原点后，终点位置由有序实数对 (x, y ) 唯一确定，即： a (x, y ) .
¤例题精讲：
uuur
【例 1】如图，写出向量 AB 的坐标.
uuur uuur r r
解：将向量 AB 的起点平移到坐标原点 O，设终点为 P，由图可知 OP = 3i + 3 j ，也就是说，点 P的
uuur uuur uuur uuur
坐标为 (3,3)，即向量OP 的坐标为 (3,3)，而 AB = OP ，所以向量 AB 的坐标为 (3,3) .
y
B
N P (3,3)
3j
A
j
O 3i M x i
点评：将向量坐标化完成了向量与代数、几何、三角等数学分支的沟通与转化，我们所研究的向量是
自由向量，其实质正是利用了向量的可平移性，将起点移到原点，则终点的坐标就是相应向量的坐标.
r r r r r r r r r r r
【例 2】已知向量 a = 2e1 3e2 ,b = 2e1 + 3e2 ,c = 2e1 9e 2 ，其中 e1、e 2 不共线，是否存在 λ、 ∈ R ，使
ur r r r
d = λa + b 与 c 共线.
ur r r r ur r
解：设存在 λ、 ∈ R ，使 d = λa + b 与 c 共线，则必定存在 k∈ R ，使： d = kc ，
r r r r r
即 2(λ + k)e1 3(λ 3k)e 2 = 0 e e λ + k = 0 ，由 1、2 不共线，得 {λ + 3k = 0 .
消去参数 k 得： λ = 2 ，满足题设.
r r r r r P
点评： a 、b 、 c 共面，且 a 、b 不共线，那么这个结论是必然的.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur B
【例 3】如图OA、O B 不共线， AP = t AB (t∈ R ) ，用OA、O B 表示OP .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A
解： OP = OA + AP = OA + t AB = OA + t(OB OA) = (1 t) OA + tOB . O
uuur uuur uuur
点评： P、A、B 三点共线 对空间任意一点 O，存在唯一的 λ1 + λ2 = 1, 使 OP = λ1OA + λ2 OB .
r uuur r uuur uuuur 1 r uuur 1 r uuur r r
【例 4】如图， O AB 中，设 a = OA, b = OB ，且 OM = a, ON = b , 将OP 表示成 a 、b 的线性组合.
uuur uuur uuur uuur 3 2
解：设 MP = mMB, NP = nNA ，则：
B
uuur uuuur uuur uuuur uuur
OP OM MP OM mMB 1
r r 1 r 1 r r
= + = + = a + m(b a ) = (1 m) a + mb ，
3 3 3 N
uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r P
又 OP = ON + NP = ON + nNA 1= b + n(a 1 1 b) = na + (1 n) b ，
2 2 2 O A
1 1 uuur r r
M
所以 (1 m ) = n且m = (1 n) ，从而 m 2= ,n 1 1 2 = ，所以 OP = a + b .
3 2 5 5 5 5
点评：根据分解的唯一性，列出方程（组）求解，此法具有代表性.
29
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 15 练 §2.3.1~§2.3.2 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示
※基础达标
1．下列说法中
（1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
（3）零向量不能是基向量.
其中正确的是（ ）.
A. （1）（2） B. （2）（3） C. （1）（1） D. （1）（2）（3）
r
2．若向量 a = (x + 3, x2 3x 4) = (2,0) ，则 x的值为（ ）.
A. 1 B. 1 或 4 C. 4 D. 1或 4
uuur ur uuur uur ur uur uuur
3. 平行四边形 ABCD的两条对角线交于点 E，设 AB = e1 , AD = e2 ,用 e1, e2 表示 ED 的表达式为（ ）.
1 ur 1 uur 1 ur 1 uur 1 urA 1
uur 1 ur 1 uur
． e1 e 2 B． e1 + e2 C． e1 e2 D． e + e 2 2 u2uur uu2ur uuur r 2 2
2 1 2 2
4．若 O 是 ABC 内一点，且 OA +OB +OC = 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）.
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
r r r r r r r r
5． e1 、 e 2 是共面但不共线的两个向量，则向量 a = e1 + λe2 (λ ∈ R ) 与 b = 2 e1 + e 2 共线时有（ ）.
A. 1 λ = 0 B. λ = 1 C. λ = 2 D. λ = D C
2
uuur ur uuur uur uuur O
6．如 图，在 矩形 ABCD 中，B C = 5e 1 ，D C = 3e . 则OC 等于 . uuur r uuur r uuur 2 uuur
7．已 知 OA = a, OB = b , C 为 AB 上距 A 较近的一个三等分点，D 为CB
r r uuur A B
上距 C 较近的一个三等分点，用 a, b 表示OD 的表达式为 .
※能力提高
8．如图 ABCD 是一个梯形 , AB∥CD 且 AB=2CD, M, N 分别是 DC 和 AB 的中点 , 若
uuur r uuur r r r uuur uuuur
AB = a , AD = b , 试用 a, b 表示 BC 和MN .
9．平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC与 BD交于 O，P是空间任意一点.
uuur uuur uuur uuur uuur
求证： PA + PB + PC + PD = 4 PO .
※探究创新
10．如图，在△ABC中，P是 BC 边上的任一点.
uuur uuur uuur
求证：存在 λ1,λ2 ∈ (0,1)且λ 1 + λ2 = 1, 使 AP = λ1AB + λ2 AC .
30
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 16 讲 §2.3.3 平面向量的坐标运算
¤学习目标：会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算. 能由两端点坐标，求所构造向量的坐标. 体
会向量是处理几何问题的工具.
¤知识要点：
r r r r r r r
1、设 a = (x1 , y2 ),b = (x2 , y 2 ), 则： a + b = (x1 + x2 , y1 + y 2 ) ； a b = (x1 x2 , y1 y 2 ) ； λa = (λx ,λ y ) . uuuur 1 2
2、设 P1(x1 , y2 ),P2 (x2 , y 2 ), 则 P1P2 = (x2 x1 , y2 y1 ) ，其实质是将向量的起点移到坐标原点.
¤例题精讲：
r r r r r r r r
【例 1】（1）已知 a = (1,3),b ( 3 2 = ,5), ，求 a + b ， a b ， (a + 2b ) .
uuuur 3
（2）已知 P1(m + n,m n),P2 (m n,m + n ), 求 PP . r r r r 1 2
解：（1） a + b = (1+ ( 3),3+ 5) = ( 2 ,8), a b = (1 ( 3),3 5) = (4, 2 ) ；
2 r r (a 2 + 2b ) = [ (1,3) + 2( 3,5)] 2= [ (1,3) + ( 6,10)] 2= ( 5,13) (10= , 26 ) .
uuu3ur 3 3 3 3 3
（2） P1P2 = (m n (m + n),m + n (m n)) = ( 2 n, 2n ) . uuuur
点评：此题是最基本的，求 P1P2 时不能搞错顺序，必须是终点坐标减去起点坐标. r r r r r r r r r
【例 2】（1）已知 e1 = (1,2), e 2 = ( 2 ,3), a = ( 1 , 2) ，试以 e1, e 2 为基底，将 a 分解为 a = λ1e1 + λ 2 e 2 ；
uuur uuur uuur uuur uuur
（2）已知 A( 1, 2), B (2,8), AC 1 = AB ， DA 1 = BA ，求 C、D 和CD 的坐标；
3 3
r r r λ 2λ = 1
解：（1）由 a = λ1e1 + λ 2 e 2 得： ( 1,2) = λ1(1,2) + λ2 ( 2,3) = (λ1 2λ2 , 2λ1 + 3λ2 ) ，得 { 1 2 2λ1 + 3λ2 = 2
1 4
r 1 ur 4 uur
解之得：λ1 = , λ 7 2
= ，所以 a = e + e .
7 7 1 7 2
uuur 1 uuur 1 uuur
（2） AC = AB = (3,6) = (1,2) ，所以 C (0,4) ，同理 D ( 2 ,0) ，所以 CD = ( 2, 4) .
3 3 uuuur uuur uuur uuur uuuur
【例 3】已知 A( 2,4), B(3, 1), C ( 3, 4) ，且 CM = 3CA,CN = 2C B ，试求点M、N 和MN 的坐标.
uuur uuur
解：由 A( 2,4), B(3, 1), C ( 3, 4) ，得 CA = ( 2 + 3,4 + 4) = (1,8),CB = (3 + 3, 1+ 4) = (6,3) ，
uuuur uuur uuur uuur
于是 CM = 3CA = 3(1,8) = (3,24), CN = 2CB = 2(6,3) = (12,6) .
uuuur
设 M = (x, y ) ，则 CM = (x + 3, y + 4) = (3,24) ，得 x = 0, y = 20, ∴ M (0,20) ，同理： N (9,2) .
uuuur
MN = (9 0,2 20) = (9, 1 8) ，
uuuur
综上得， M (0,20) ， N (9,2) ， MN = (9, 1 8) .
r r r r r r
点评：若 a = (x1 , y1),b = (x , y ),
x = x , x = x ,
2 2 则 a = b { 1 2 y = y ； a = b { 1 2 1 2 y1 = y 2 .
uuur uuur uuur
【例 4】已知点 O(0,0),A(1,2),B (4,5) 及OP = OA + t AB ，求：
（1） t 为何值时， P 在 x轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？
（2）四边形 OABP能否是平行四边形？若能，求出相应 t 的值，否则，请说明理由.
uuur uuur uuur
解：（1）OP = OA + t AB = (1+ 3《新课标高中数学精讲精练.必修④》
数学校本教材SX-A04
中山市东升高中、古镇高中、东区中学、仙逸中学联合编印
说明：
1、欢迎全国各地老师个人下载使用，并将意见反馈，禁止任何学校未经允许批量印刷；
2、本资料正在校稿中，难免有一些问题，欢迎各位指正；
3、因未正式定稿，所以暂时禁止任何网站转载，未经允许擅自转载，将追究其责任；
4、本校将定期组织编委指导本册书的修订；
5、目前有四所学校联合编印，我们希望有更多的学校联合使用。在广东省范围内的普通高中有此意愿的学校数学科教研组长或年级备课组长，请电话联系0760-6853660，或者发送邮件到dsgjb@
6、欢迎访问校本研修网页http://sx./nh
7、文件为PDF格式，请使用PDF工具软件进行阅读。
-----------------------------------------------------------------
附： 东升高中数学校本教材建设构想
一、校本教材编写的意义：
校本教材，就是以校为本，根据学校的情况，按照本校学生的知识结构，依托校园周围的人文地理环境，以及本地企业的经济发展情况，组织教师编写的教材. 编写自己学校的校本教材，一方面是对国家和省规划教材的补充，以更好地用好目前通用的课本教材；另一方面是与国家和省规定课程有机统一的，具有学校办学特色的校本课程的体现，让学生学习更贴近实际的知识，促进全面发展.
在新一轮课程改革中，校本教材建设要求教师根据学生的特点，选择、整合并优化教学资源，在教学实践中经常反思，讨论修正，逐步提高教材质量，同时教师和学生都获得更强的能力和更高的素质. 第一次的教材编写是校本教材建设中的一个主要步骤，经过实践与讨论，可以进行下一轮的教材编写、修订工作. 一蹴而就、一劳永逸又能生机无限的校本教材是不存在的，必须在反复的反思、修订中提高，增强校本教材的生命力.
二、第一轮校本教材《新课标高中数学精讲精练》编写计划：
1. 教材模板：
本校数学教师在长期教学中，使用过许多教辅资料，感觉到大多数是繁、难、杂，从而构思出一种精讲精练的学生配套练习用书模式，《精讲》包括复习目标、知识要点、典型例题（3～4个）等三个部分；《精练》包括基础达标（5个选择题＋2个填空题）、能力提高（2个解答题）、探究创新（1个创新题）等三个部分. 书稿模板具体内容见附件.
2. 教材册数：
现行高中数学新课标教材结构为：必修课程有5个模块，选修系列1有2个模块，选修系列2有3个模块，选修系列4普遍开设2～4个专题（几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲），教材版本以人教A版为主流.
针对以上情况，《新课标高中数学精讲精练（人教A版）》丛书计划按模块共分12册（5+5+2），各册控制在28讲左右，字数在5万字左右，页码在70页左右（含答案），定价在6.5～7.5元左右.
精讲精练
人教 A 版必修④
《新课标高中数学精讲精练》
目 录
1 §1.1.1 任意角……………………………………（01）
丛书主编 徐山洪
2 §1.1.2 弧度制…………………………………（03）
编 委 谢柏芳 刘玉泉 李剑夫
3 §1.2.1 任意角的三角函数……………………（05）
王庚儿 邓世疆 赵朝贤
4 §1.2.2 同角三角函数的基本关系……………（07）
李德明 马荣林 王福山
5 §1.3 三角函数的诱导公式…………………（09）
陈国祥 曹毓 欧阳文君
6 §1.4.1 正弦函数，余弦函数的图像与性质…（11）
饶乘凤 宾业河 关丽琼 7 §1.4.2 正切函数的性质与图像……………（13）
潘泽学 苏仕剑 廖迎惠
8 §1.5 函数 y = Asin ( ωx + ) 的图像……………（15）
谢凤仙 余扩益 匡唐松
9 §1.6 三角函数模型的简单运用………………（17）
王振芳 谢吉权 高建彪
10 第一章 三角函数 复习………………………（19）
陈新权 刘会金 陈远刚
饶胜文 周志明 李志敏
11 §2.1 向量的物理背景与概念、几何表示……（21）
12 §2.1.3 相等向量与共线向量…………………（23）
本册主编 周志明 饶胜文 13 §2.2 向量的加减法运算及其几何意义………（25）
主要编者 王艳艳（第一章） 14 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义………………（27）
周志明（第二章） 15 §2.3 平面向量基本定理及坐标表示…………（29）
饶胜文（第三章） 16 §2.3.3 平面向量的坐标运算……………………（31）
校 审 温炳伟（第一章） 17 §2.3.4 平面向量共线的坐标表示……………（33）
高建彪（第二章） 18 §2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义……（35）
周 洁（第三章） 19 §2.4.2 平面向量数量积的坐标表示,模,夹角…（37）
质量反馈 0760 6853660 20 §2.5.1 平面几何中的向量方法…………………（39）
意见信箱 zssxzb@ 21 §2.5.2 向量在物理中的运用举例……………（41）
信息反馈 http://sx./nh 22 第二章 平面向量 复习…………………………（43）
美术编辑 陆镜平
23 §3.1.1 两角差的余弦公式……………………（45）
24 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(1)…（47）
开 本 890mm×1 240mm 16 开 25 §3.1.2 两角和与差的正弦,余弦,正切公式(2)…（49）
印 张 5 26 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(1)………（51）
字 数 7 5000 27 §3.1.3 二倍角的正弦,余弦,正切公式(2)………（53）
印 数 1 000 册 28 §3.1.3 简单的三角恒等变换…………………（55）
2007 3 1 29 第三章 三角恒等变换 复习…………………（57） 版 次 年 月第 版
印 次 2007 年 3月第 1 次印刷
第 1～29 练 答案 …………………………（ 59～71）
本册成本 7.5 元
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 1 讲 §1.1.1 任意角
¤学习目标：了解角的分类，掌握象限角与非象限角的概念及区别，理解并能表示掌握终边相同的
角的集合.
¤知识要点：
1. 按旋转方向的不同将角分为正角，负 角和零角，即 按逆时针方向旋转的角叫做正角（ positive angle）；
按顺时针方向旋转的角叫做负角(negative angle)；如果一条射线没有作任何旋转，则它就形成了一个零角
（zero angle）. 这样角的概念便推广到了任意角（any angle）.
2. 象限角（quadrant angle）要把握“两个重合，看终边”，即角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴
的正半轴重合，则角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，就
认为这个角不属于任何一个象限，也称为非象限角.
3. 终边相同的角的集合：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S = { β β = α + k 360o , k ∈ Z } ，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和.
¤例题精讲：
【例 1】在 0o ~ 360 o ，找 出与下列各角终边相同的角，并 判断它是哪个象限：（1） 1 20 o ；（2） 950o1 2 ' ．
解：（1）∵ 120o = 360o + 240o ，
∴ 240o 的角与 1 20 o 的角终边相同，它是第三象限角．
（2）∵ 950o12' = 2×360o + 230o1 2' ，
∴ 230o 12' 的角与950o 12' 的角终边相同，它是第三象限角．
【例 2】写出终边在 x轴上的角的集合（用0o 到360 o 的角表示）.
解：因为在0 o 到360 o 范围内，终边在 x轴的正半轴上的角为0 o ，终边在 x轴的负半轴上的角为180o .
所以终边在 x轴正半轴上的角的集合是： S = {α α = k 360o 1 , k∈ Z } ；
终边在 x轴的负半轴上的角的集合是： S = {α α = k 360o +180o 2 , k∈ Z } ，
∴终边在 y轴上的角的集合是： S = S1 ∪ S2 = {α α = n 180o , n∈ Z } .
引申： 终边在坐标轴上的角的集合{α α = k 90o , k∈ Z } ；终边在 y = x 上的角的集合
{ o α α = 45o + k 180o , k∈ Z } ；终边在 y = ± x 上的角的集合 {α α = 45o + k 90 , k∈ Z } .
【例 3】如果角α 与角 θ + 45 o 具有同一条终边，角β 与角 θ 45o 具有同一条终边，那么α 与 β 的关
系是什么？
解：依题意可得： α = 2mπ + θ + 45o , m∈ Z ， β = 2nπ + θ 45o , n∈ Z ，
所以 α β = 2 ( n m ) π + 90o ，
∵ m, n∈ Z ， ∴n m 也是整数，
可令 k = n m ，则 k∈ Z ，并且有 α β = 2kπ + 90o , k ∈ Z .
【例 4】已知角α α 是第二象限角，求 所在的象限.
3
解：因为α 是第二象限角，则 k 360o + 90o < α < k 360o +180o , k∈ Z ，此时
k 120o + 30o α < < k 120o + 60o , k∈ Z ，
3
k 3n, n Z n 360o 30o α α ①当 = ∈ ，有 + < < n 360o + 60o , k ∈ Z ，从而可以判断 为第一象限角；
3 3
k α α ②当 = 3n +1, n∈ Z ，有 n 360o +150o < < n 360o +180o , k∈ Z ，从而可以判断 为第二象限角；
3 3
③当 k = 3n + 2, n∈ Z ，有 n 360o 270o α + < < n 360o + 300o , k Z α ∈ ，从而可以判断 为第四象限角.
3 3
α
点评：首先用象限角将α 表示出来，然后算出所求的 ,m∈ Z ，接下来进行分类讨论：①当
m
k = mn,n∈Z , m∈ Z ， ② k = mn +1,n∈ Z , m∈ Z ， ③ k = mn + 2,n∈ Z , m∈ Z LL ， 一 直 算 到
k = mn + ( m 1) ,n∈ Z , m∈ Z ，便知道了所求角所在的象限.
1
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 1 练 §1.1.1 任意角
※基础达标
1. 下列说法正确的有几个（ ）.
（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角；
（3）小于 90°的角是锐角；（4）0°～90°的角是锐角.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个
2. 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在 x 轴的正半轴上，则角855o 是第（ ）象限角.
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 若 A = {α α = k 360o , k∈ Z } ； B = {α α = k 180o , k∈ Z } ； C = {α k 90o , k∈ Z } ，则下列关系中正
确的是（ ）.
A. Ａ＝Ｂ＝Ｃ B. Ａ=Ｂ∪ Ｃ C. Ａ∪ Ｂ＝Ｃ D. Ａ Ｂ Ｃ
4. 若α 是第四象限角，则180o α 是（ ）.
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
5. 若 α 与 β 的终边互为反向延长线，则有（ ）.
A. α = β + 180o B. α = β 180 o C. α = β D. α = β + ( 2k +1) 180o , k∈ Z
6. 钟表经过 4 小时，时针与分针各转了 (填度).
7. 与 1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .
※能力提高
8. 将下列各角表示为 α + k 360o ( k ∈Z , 0o ≤ α < 360 o ) 的形式，并判断角在第几象限.
（1）560o 24' ； （2） 560o 24' .
9. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720o ≤ β < 720 o 的元素β 写出来：
（1） 2 10o ； （2）1342o 51' .
※探究创新
10. 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界).
8
8
6
6
4 45°
150° 4
2
2
10 5 5 10
10 5 5 10
2
2
4 210° 4
6 （1） 6 （2）
8 8
2
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 2 讲 §1.1.2 弧度制
¤学习目标：理解 1 弧度的角、弧度制的定义，掌握弧度数的绝对值公式，掌握角度与弧度的换算
公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数.
¤知识要点：
1. 1我们在平面几何中研究角的度量时，把周角的 作为 1 度的角，当时是用度做单位来度量角，
360
这种单位制叫做角度制（degree measure）；本节中我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角
(radian),用这种方法来度量角的单位制叫做弧度制（radian measure）,据此定义有半径为 r 的圆的圆心角α
l 所对弧的长为 l ，三者之间的关系为 α = .
r
2. π 角度制与弧度制的换算： π rad = 180 o ，变形有1o = rad ≈ 0.01745r ad ；
180
o
1rad 180 = ≈ 57.30
o = 57o1 8'
π
¤例题精讲：
【例 1】用弧度制表示：①终边在 x轴上的角的集合②终边在 y 轴上的角的集合③终边在坐标轴上的
角的集合.
解：①终边在 x轴上的角的集合： S1 = { β β = kπ , k∈ Z } ；
②终边在 y 轴上的角的集合： S2 = β β
π
= kπ + ,k∈ Z ；
2
k π
③终边在坐标轴上的角的集合： S3 = β β = , k∈ Z .
2
【例 2】已知扇形周长为10cm，面积为 6cm 2 ，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为 α ( 0 < α < 2π ) ，弧长为 l ，半径为 r ，
l + 2r = 10
2 r = 2 r
r = 3
由题意： 1 5r 6 0
l 4
+ = ∴ 或 ∴ α = =3 或
l r = 6 l = 6 l = 4 r 3 2
【例 3】视力正常的人，能读远处文字的视角不小于5 '，试求：（1）距人10m远处所能阅读文字的大
小如何？（2）要看清长，宽均为5m的大字标语，人距离标语的最远距离是多少米？
解:（1）设文字的长，宽均为 lm，则 l =10 α ，其中 α = 5 ' ≈ 0.001454 ，所以
l ≈10× 0.001454 = 0.01454( m) ≈ 1.45(cm ) ，
故视力正常的人，在距人10m远处能阅读约1.45cm见方的文字.
（2）设人在距离标语 xm l 5 处，则 x = ≈ ≈ 3439 ( m ) ，故视力正常的人，能在约3439m远处
α 0.001454
看清长宽均为5m的大字标语.
【例 4】已知扇形的面积为 S ，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值.
解法 1 1 2S ：设扇形的半径为 R ，弧长为 l ，由 S = lR ，得 l = ，
2 R
因此可得扇形的周长 C 2 R 2 S = + ，即 2R2 CR + 2s = 0 ，
R
由 = C2 16S ≥ 0 ，得 C ≥ 4 S .
当 C ≥ 4 S 时， R C 2 S= S ，圆心角 α = 2 = 2 ， 4 R
所以圆心角为 2 时，扇形的周长最小，最小值是 4 S .
2 S S
解法 2：扇形的周长 C = 2R + = 2 R +
R R
，
由函数的单调性可知：当 R∈ (0, S 时， f ( R ) 为减函数；当 R∈ S , +∞ ) 时， f ( R ) 为增函数，
所以当 R = S ，即 α = 2 时，扇形周长有最小值 4 S .
3
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 2 练 §1.1.2 弧度制
※基础达标
1. 下列各对角中终边相同的角是（ ）.
A. π π π 22 7π 11π 20π 122π 和 + 2 k π （ｋ∈Ｚ） B. － 和 C. － 和 D. 和
2 2 3 3 9 9 3 9
2. 时钟经过一小时，时针转过了（ ）.
A. π rad B. π rad C. π rad D. π rad
6 6 12 12
3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶2 ，则两个扇形周长的比为（ ）.
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1 ∶ 2 D. 1∶8
4. 下列命题中正确的命题是（ ）.
A. 若两扇形面积的比是 1∶4 ，则两扇形弧长的比是 1∶ 2.
B. 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值.
C. 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值.
D. 任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系.
5. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是 4R，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）.
A. 1 (2 sin1cos1) i R 2 B. 1 sin1cos1i R 2 C. 1 R 2 D. (1 sin1cos1) i R 2
2 2 2
6. 若α ＝－216°， l = 7π ，则 r ＝ (其中扇形的圆心角为α ，弧长为 l ，半径为 r ).
7. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
※能力提高
8. （1）把112o 30' 5π 化成弧度制；（2）把 化成角度制.
12
9. 求值：（1）sin π tan π + tan π cosπ tan π cos π （2） a sin π + bcos π + c tan 0 .
3 3 6 6 4 2 3 4
※探究创新
10. 已知扇形 AOB 的面积是 1 cm2 ， 它的周长是 4 cm，则弦 AB的长等于多少 cm？
4
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 3 讲 §1.2.1 任意角的三角函数
¤学习目标：理解并掌握任意角的三角函数的定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，理解
并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等，会求任意角
的三角函数值，理解三条三角函数线.
¤知识要点：
1. 单位圆（unit circle）就是以原点为圆心，以单位长度为半径的圆.
2. 设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ，则正弦 sin α = y ；余弦 cos α = x ；正切
tan y α = ( x ≠ 0 ) .
x
3.（1）已 知角，求 此角的三角函数值的方法：画 出角的终边与单位圆，求 出它们的交点，则 sin α = y ，
cos α y = x ， tanα = ( x ≠ 0 ) ；（2）已知角的在终边上任一点，求此角的三角函数值的方法：①求
x
r y x y = x2 + y 2 ② sin α = ； cos α = ； tan α = .
r r x
¤例题精讲：
【例 1】已知角α 的终边经过点 P ( 2, 3 ) ，求角α 的正弦，余弦和正切值.
2
解：依题可知： r = 22 + ( 3) = 13 ，于是
sin y 3 3 13 α = = = ， cos x 2 2 13 y 3 α = = = ； tan α = = .
r 13 13 r 13 13 x 2
【例 2】（ 1 7π ） 已知角 α = ，求 2sinα + cos α 的值
3
（2）已知角α的终边经过 P ( 4a, 3a) ( a ≠ 0 ) ，求 2sinα + cos α 的值.
7π 1 3
解：（1）在直角坐标系中，作 ∠AOB = ，易知 ∠A OB 的终边与单位圆的交点坐标 , ，
3 2 2
所以 sin 3 1 α = ， cos α = ， 2sinα + cos 1 2 3 α = .
2 2 2
（2 3 4 2 ）若 a > 0 ， r = 5 a ，则 sin α = ， cos α = ，故 2sinα + cos α = ；
5 5 5
若 3 4 2 a < 0 ， r = 5 a ，则 sin α = ， cos α = ，故 2sinα + cos α = .
5 5 5
【例 3】求值： sin ( 1320o ) cos1110o + cos ( 1020o ) sin 750o + tan 495o .
解： sin ( 1320o ) cos1110o + cos ( 1020o ) sin 750o + tan 495o
= sin ( 4×360o +120o ) cos ( 3×360o + 30o ) + cos ( 3×360o + 60o ) sin ( 2×360o + 30o ) + tan ( 360o + 135o )
=sin120o cos30o + cos60o 3 3 1 1 sin30o + tan135o = × + × 1 = 0 .
2 2 2 2
4 y sin x cos x tan x 【例 】求函数 = + + 的值域.
sin x cos x tan x
解：定义域： x x k π ≠ , k∈ Z
，
2
当 x是第Ⅰ象限角时， y =1+1+1= 3 ；
当 x是第Ⅱ象限角时， y =1 1 1= 1 ；
当 x是第Ⅲ象限角时, y = 1 1 1= 3 ；
当 x是第Ⅳ象限角时, y = 1+1 1= 1 .
∴ 函数的值域为{ 1,1, 3 ,3} .
5
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 3 练 §1.2.1 任意角的三角函数
※基础达标
1. 设角α α α α 是第一象限角，且 sin = sin ，则 是（ ）.
2 2 2
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 若三角形的两内角α，β满足 sinαcosβ < 0，则此三角形必为（ ）.
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
3. 若α 是第二象限角， P ( x , 5 ) 2 为其终边上一点，且 cos α = x ，则 sinα 的值为（ ）. 4
A. 10 B. 6 C. 2 D. 10
4 4 4 4
4. 若α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是（ ）.
A. sinα + cosα < 0 B. tanα sinα < 0 C. cosα tanα < 0 D. tanα sinα < 0
5. 设 f ( n ) = tan nπ π + ，则 f (1 ) + f ( 2) + f ( 3) +L + f ( 2005 ) 的值为（ ）.
2 4
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
6. 已知角α 的终边经过 ( 2a 3,4 a ) ，且 cosα ≤ 0,sinα > 0 ，则α 的取值范围是 .
7. sin390 8π o = ； cos ( 315o ) = ； tan = .
3
※能力提高
8. 确定下列各式的符号.
（1）sin100° cos240° ； （2） sin5+tan5.
9. x 已知角 θ 的终边上一点 P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且 cos θ = ，求 sinθ 和 tanθ 的值.
3
※探究创新
sin 2
10. 1 已知 < 1 ，则θ为第几象限角？
2
6
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 4 讲 §1.2.2 同角三角函数的基本关系
¤学习目标：掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义，熟练解决三
角函数求值、化简、恒等式证明的问题.
¤知识要点：
tan sin α① α = , π α ≠ + kπ , k∈ Z ；② sin2 α + cos2 α = 1
cosα 2
¤例题精讲：
【例 1】已知 cos 8 α = ，求sinα 和 tanα 的值.
17
8
解：∵ cos α = ，∴α 是第二或第三象限角．
17
15 sinα 15
①当α 是第二象限角时， sinα = 1 cos 2 α = ， tan α = = ；
17 cosα 8
α sin 1 cos 2 15 tan sinα 15 ②当 是第三象限时， α = α = ， α = = .
17 cosα 8
思考：不计算 sinα 的值，能否算得 tanα 的值？
1
参考答案：由于 2 =1+ tan
2 α 而α 在Ⅱ或Ⅲ象限
cos α
tan 1 1 18
2
∴ α = ± = ± 1 15 2 = ± . cos α 17 8
【例 2 α 1+ sinα 1 sin α 】已知 是第三象限角，化简 .
1 sinα 1+ sin α
( 1+ sinα ) (1 + sinα ) (1 sinα )( 1 sin α ) ( 1+ sinα ) 2 (1 sin α ) 2
解：原式= =
(1 + sinα )(1 sinα ) (1 + sinα )(1 sin α ) 1 sin2 α 1 sin 2 α
= 1+ sinα 1 sin α .
cosα cos α
∵ α . = 1+ sinα 1 sin α 是第三象限角，∴cosα < 0 所以原式 = 2 tan α .
cosα cos α
sinα 4cos α
【例 3】已知sinα = 2cos α ，求 及 sin2 α + 2sinα cos α的 值 .
5sinα + 2cos α
解：∵ sinα = 2cos α ，∴ tanα = 2 ，
sinα 4cosα tanα 4 2 1
∴ = = = ；
5sinα + 2cosα 5 tanα + 2 12 6
sin2 α + 2sinα cosα tan2 sin2 2sin cos α + 2 tanα 4 + 2 6 α + α α = 2 2 = 2 = = . sin α + cos α tan α +1 4 + 1 5
【例 4】已知方程 2x2 ( 3 +1)x + m = 0 的两根分别是sinθ ，co s θ ，求 sinθ cos θ + 的值.
1 1 1 tan θ
tan θ
解：因为方程 2x2 ( 3 +1)x + m = 0 的两根分别是sinθ ，co s θ ，
sin cos 3 + 1 所以 θ + θ = .
2
= sinθ cosθ sin
2 θ cos 2 θ
原式 + = +
1 cosθ 1 sin θ sinθ cosθ cosθ sin θ
sinθ cos θ
sin2 θ cos2 θ
= = sinθ + cos 3 + 1 θ = .
sinθ cosθ 2
点评：解答此题的关键有两点：①化切为弦；②韦达定理的灵活应用.
7
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 4 练 §1.2.2 同角三角函数的基本关系
※基础达标
1. cos 3 已知 α = ，α 为第二象限角，那么 tanα 的值等于（ ）.
5
A. 4 B. 4 C. 3 D. 3
3 3 4 4
2. 已知 sinα + cos 1 3 α = ，且 0 < α < π ，则 tanα 的值为（ ）.
2
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
3 3
3. sinα + cos α 已知 tanα = 2 ，求 的值（ ）.
2sinα 3cos α
A. 2 B.3 C.1 D. 3
4. 已知θ 是三角形的内角， sinθ + cos
1
θ = ，则 sinθ cos θ 的值为（ ）.
5
A. 1 B. 7 C. 7 D. 1
5 5 5 5
5. α 1+ sinα 1 sin α 已知 为第二象限角，化简 为（ ）.
1 sinα 1+ sin α
A. 2 tanα B. 2 tanα C. tanα D. tanα
6. 2 o = 1 sin
6 x cos 6 x
化简 1 sin 440 ； = .
1 sin4 x cos 4 x
7. 已知sinα = 2sin β , tanα = 3tan β ，则 cos 2 α = .
※能力提高
8. sin 1 已知： α = 且 tanα < 0 ，试求 cosα , tan α 值．
5
9. 已知 tanα =2，求下列各式的值：
1 4sinα cos α sin
2 α 2sinα cosα cos 2 α 3 1
（ ） ；（2） 2 2 ；（3） sin
2 α + cos 2 α ；（ 4）sinα cos α ；
3sinα + 5cos α 4cos α 3sin α 4 2
※探究创新
10. 已知 a sinα + bcos α = m ， b tan
n
α = a ，求证 a 2+b2 = m2 + n 2 .
cos α
8
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 5 讲 §1.3 三角函数的诱导公式
¤学习目标：1. 通过本节内容的教学，使学生掌握180 o ± α ， α ，90 o ± α ，360o ± α 角的正弦、余
弦和正切的诱导公式及其探求思路.
2. 能正确地运用这些公式进行任意角的正弦值，余弦值的求解，简单三角函数式的化简与三角恒等
式的证明.
¤知识要点：
（1）若α 是锐角，则 2π α 是第四象限角；π + α 是第三象限角；π α 是第二象限角； α 是第四
象限角； π π + α 是第二象限角； α 是第一象限角.
2 2
（2）诱导公式（1）～（6）， 可以归纳为“奇变偶不变，符号看象限”.
¤例题精讲：
【例 1】求下列各式的值：
（1） cos ( 60o ) sin ( 210o ) 2 sin 31π （ ） cos 10π sin 11π .
6 3 10
解：（1）原式= cos60o + sin (1 80o + 30o ) = cos60o sin 30o 1 1 = = 0
2 2
3 = sin 4 7π cos 2 4π 11π π π π （ ）原式 π + 6
π + 3
sin = sin π + cos π + + sin
10 6 3 10
= sin π + cosπ sin π 1 1 + = + + 0.3090 = 1.3090
6 3 10 2 2
2 sin [α + (2n +1)π ]+ 2sin [α (2n + 1)π ] 【例 】化简： (n∈ Z ) .
sin(α 2nπ ) cos(2nπ α )
= sin[(π + α ) + 2nπ ]+ 2sin[(α π ) 2nπ ] = sin(π + α ) + 2sin(α π ) 解：原式
sin(α 2nπ )cos(2nπ α ) sinα cos α
= sinα 2sin α = 3 .
sinα cos α cosα
3 1+ tan(θ + 720°) 【例 】已知 = 3+ 2 2 ,
1 tan(θ 360° )
[cos2 ( ) sin( ) cos( ) 2sin2 ( )] 1 求 π θ + π + θ π θ + θ π 的值 新疆 王 新 敞 奎屯
cos2 ( θ 2π )
1+ tan(θ + 720°) 解：由 = 3+ 2 2 ，
1 tan(θ 360° )
得（ 4 + 2 2) tanθ = 2 + 2 2 2 + 2 2 2 ，所以 tan θ = = ，
4 + 2 2 2
故 [cos2 (π θ ) + sin(π + θ ) cos(π θ ) + 2sin2 (θ π )] 1
cos2 ( θ 2π )
= [cos2 θ + sinθ cosθ + 2sin2 θ ] 1 2 = 1+ tanθ + 2 tan
2 θ =1+ 2 2 ( 2 + ) 2 2 = 2 + 新疆 王 新 敞 奎屯
cos θ 2 2 2
【例 4】已知 sin 1 β = ， sin ( α + β ) = 1 ，求 sin ( 2α + 3β ) 的值.
3
解：∵ sin ( π α + β ) =1,∴α + β = + 2kπ , k∈ Z ，
2
∴2α + 2β = π + 4kπ , k ∈ Z ，
∴sin ( 2α + 3β ) = sin ( 2α + 2β ) + β = sin ( π + 4k π ) sin ( ) sin
1
+ β = π + β = β = . 3
点评：构造角是解三角题的一种常见方法.
9
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 5 练 §1.3 三角函数的诱导公式
※基础达标
1. 已知 sin ( 1 1 α + π ) = ，则 的值是（ ）.
2 cos( α + 7π )
A. 2 3 B. 2 C. 2 3 D. ± 2 3
3 3 3
2. 已知 sin π α = cosα ,cos
π
α
= sin α 对任意角α 均成立，若 f (sin x) = cos2 x ，则 f (cos x ) 等
2 2
于（ ）．
A. cos2x B. cos 2x C. sin 2x D. sin 2x
3. sin 4π cos 25π tan 3π 的值是（ ）. 3 6 4
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
4 4 4 4
4. 在 ABC 中，下列等式中成立的是（ ）.
A. sin ( A + B) = sin C B. cos ( B +C ) = cos A
C. tan A + B tan C = D. sin B + C = cos A
2 2 2 2
2n 3 π
5. A nπ ( ) 已知集合 = x x = cos , n∈ Z ， B = x x = sin , n∈ Z ，则（ ）.
3 6
A. A B B. A B C. A = B D. A∩ B =
sin ( π α ) + cos ( π + α 6. 已知 sin ( ) 7π α ) 3cos ( π α ) = 2 ，则 的值是 .
sinα + cos ( α )
7. 已知 cos ( 1 3π π α ) = sin ，则 + α 4 2 = .
※能力提高
3 2
8. 1 sin ( α )cos(5π + α ) tan(2π + α ) 2 sin ( α π ) cos(π + α )cos α 化简：（ ） 3 ；（ ） . cos ( α 2π ) sin( α 3π ) tan3 (α 4π ) tan(2π + α ) cos3 ( α π )
1
sin(180° + α )
9. 1 sin( α ) 1 cos(kπ α )cos(k π + α ) 求证：（ ） = 1 3 ；（2） = 1, k∈ Z
+ cos(360° α ) tan α sin[(k +1)π + α ]cos[(k +1)π + α ]
cos(540° α )
※探究创新
10. 设 f ( x) = a sin ( π x + α ) + bcos ( π x + β ) + 7 ，α ,β ,a, b 均为实数，若 f ( 2001) = 6 ，求 f ( 2008 ) 的值.
10
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 6 讲 §1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质
¤学习目标：①理解并掌握五点作图法；②理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇
偶性的意义；③ 会求简单函数的定义域、值 域、最 小正周期和单调区间；④ 掌握正弦函数 y = Asin ( ωx + )
的周期及求法 新疆 王 新 敞 奎屯
¤知识要点：
2π
① 周期函数的定义:对 x∈ M ，都有 f ( x + T ) = f ( x ) ，用公式计算 T = ；
ω
π
②正弦函数的对称轴方程为 x = + kπ , k∈ Z ，余弦函数的对称轴方程为 x = kπ , k ∈ Z .
2
¤例题精讲：
π
【例 1】作函数 y = 2sin 3x + 4
+ 1 的简图.
解：（ 1）列表 （2）描点连线，图如右.
x
π π 3π 5π 7π
12 12 12 12 12
0 π 2π
3 x π π 3π +
4 2 2
y 1 3 1 1 1
2 1 y π = sin x + 2 y x π = 3sin + 【例 】求下列三角函数的周期：（ ） ； （ ） .
3 2 5
π
解：方 法一：（1）令 z = x + ，而 sin ( 2π + z) = sin z ，即 f ( x 2 ) π f x π + π + = +
，所 以周期 T = 2π . 3 3 3
2 z x π f ( x) 3sin z 3sin ( z 2 ) =3sin x π 2 3sin x + 4π π （ ）令 = + ，则 = = + π + + π = + 2 5 2 5 2 5
= f ( x + 4π ) ，所以周期 T=4π .
2π
方法二：直接利用求周期的公式： T = . （1） T 2π = = 2 2π π ；（2） T = = 4π .
ω 1 1
2
π π
【例 3】已知函数 y = cos2 x sin x + 3, x ∈ , ，求函数的最大值. 6 2
2
解： y = cos2 x sin x + 3 = sin2 x sin x + 4 = sin x 1 + 17 2
+ ，
4
π π 1 1 13
由于 x ∈ , ，则 ≤ sin x ≤ 1 ，所以，当 sin x = 时，函数取得最大值 . 6 2 2 2 4
点评：由同角三角函数关系式 cos2 x =1 sin 2 x ，把 y 化为 sin x的函数求解.
【例 4】 若函数 y 3 1 = a bcos x 的最大值是 ，最小值是 ，求函数 y = 4 asin bx 的最大值与最小
2 2
值及周期.
解：∵ 1≤ cos x ≤ 1 ，当 b > 0 时， b ≤ bcos x ≤ b ，
a + b = 1.5 a = 0.5
∴a b ≤ a bcos x ≤ a + b ， ∴ ，解得 ，
a b = 0 .5
b
= 1
a b = 1.5 a = 0.5
∴ y = 2 sin x ，同理可得当 b < 0 时， ，此时 ，
a + b = 0.5 b = 1
∴ y = 2sin ( x) = 2sin x ，
从而， y = ± sin x ，此函数的最大值是 2，最小值是 2，周期是 2π .
点评：本题须对b进行讨论，若不讨论只能得前一个解，容易发生少解的情况.
11
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 6 练 §1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像与性质
※基础达标
1. 函数 y = 2sin 4 x
π
的最小正周期是（ ）.
3
A. π B. C. π 2π D. 4π
2
2. 函数 y =1 2sin x 的值域是（ ）.
A. [ 2 ,1] B. [ 1,3] C. [ 0,1] D. [ 2,2]
3. 函数 y＝sin（2x＋ 5π ）图象的一条对称轴方程是（ ）.
2
A. x π = B. x π = C. x π = D. x 5π =
4 2 8 4
4. 19π 13π 下列说法①sin1< sin 2 ② sin 2 < cos 2 ③ sin 4 < cos 4 ④ sin < cos ，其 中正确的是（ ）. 10 10
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
5. 根据正弦函数的图像得使不等式 2 + 2sin x ≤ 0, x∈ R 成立的 x的取值集合为（ ）.
A. 3π π π 3π ,
B. , C.
3π 2k , π 2k π 3π + π + π
D. + 2kπ , + 2 k π
4 4 4 4 4 4 4 4
6. 比较大小：sin510o sin142o ； cos750o cos( 7 60o ) .
7. y 3sin π 3x , x π , π 函数 = ∈
的单调递增区间是 .
6 2 2
※能力提高
8. x π 1 3π 用五点法作函数的简图：（1） y = 2sin + ； （2） y = cos x .
3 4 2 2
9. 求函数 y = 2 2sin x cos 2 x 的最大值和最小值.
※探究创新
10. 设二次函数 f ( x) = x2 + bx + c ( b, c∈ R ) ，已知不论 α , β 为何实数，
恒有 f ( sinα ) ≥ 0, f ( 2 + cosβ ) ≤ 0 ，（1）求证： b + c = 1 ；（2）求证 c ≥ 3 .
12
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 7 讲 §1.4.2 正切函数的性质与图像
¤学习目标：①理解并掌握做正切函数图像的方法；②理解并掌握用正切函数的图像解最简单的三
角不等式；③掌握正切函数的性质.
¤知识要点：
π
①正切函数的图像尤其要注意定义域 α α ≠ + kπ , k ∈ Z ；②正切函数是中心对称图形. ③正切函
2
π π
数在定义域内是增函数，这种说法是错误的，只能说在开区间 + kπ , + k π
， k∈ Z 内是增函数. ④
2 2
2π
正切函数 y = A tan ( ωx + ) 的周期 T = .
ω
¤例题精讲：
1 y = tan π π 【例 】求函数 x +
的定义域，周期和单调区间.
3 4
π π π 3
解：函数的自变量 x应满足： x + ≠ + kπ , k∈ Z ，即 x ≠ 3k + ,k ∈ Z .
3 4 2 4
所以函数的定义域是 x x ≠ 3k
3
+ ,k ∈ Z .
4
由于 f ( x) = tan π x π tan π x π π π + = + + π
= tan (x + 3) + = f ( x + 3 ) ，因此函数的周期是 3. 3 4 3 4 3 4
π π π π 9 3
由 + kπ ≤ x + ≤ + kπ , k∈ Z 解得 + 3k < x < + 3k , k∈ Z ，
2 3 4 2 4 4
因此函数的单调区间是 ( 9 + 3k , 3 + 3k), k ∈ Z .
4 4
2 π 【例 】利用图象解不等式 tan(x + ) ≤ 3 .
6
解：利用图象知， π + k π π π < x + ≤ + k 2π π π , k∈ Z ，解得 + kπ < x ≤ + kπ , k ∈ Z ，
2 6 3 3 6
x 2π π 从而原不等式的解集是： + kπ < x ≤ + kπ , k
∈ Z
3 6
.
【例 3】比较 tan 3与 tan8的大小.
解：∵ tan8 = tan ( 8 π 2π ) ,而 < 8 2π < 3 < π ，又函数 y = tan x π 在 ,π 上是增函数， 2 2
∴ tan 3 > tan ( 8 2π ) ，即 tan 3 > tan8 .
点评：将弧度制 3 与 8 化成同一单调区间内的正切函数，然后利用正切函数的单调性比较大小.
( tanθ +1) 2 ( tanθ + 1) 2
【例 4】已 知关于实数 x的不等式 x ≤ ，x 2 3( tanθ +1) x + 2( 3tanθ +1) ≤ 0 的
2 2
解集分别为 M，Ｎ，且M ∩ N = ，则这样的θ 存在吗？若存在，求出θ 的取值范围.
( tanθ +1) 2 ( tanθ + 1) 2
解：由 x ≤ ，得２ 2 tanθ ≤ x ≤ tan2 θ + 1 ，∴ M = { x 2tanθ ≤ x ≤ tan2 θ + 1 . 2 2 }
由 x2 3( tan 1 1 θ +1) x + 2( 3tanθ +1) ≤ 0 ，当 tan θ ≥ 时，2 ≤ x ≤ 3tanθ + 1 ；当 tan θ < 时，3 tanθ +1≤ x ≤ 2
3 3
∵M ∩ N tan 1 1 1 = ，当 θ ≥ 时，3 tanθ +1> 2 tan θ ，∴ tan2 θ +1< 2 ，得 ≤ tanθ < 1 ①，当 tan θ < 时，
3 3 3
∵ 2 tanθ < 2 ，故 tan2 θ +1< 3tanθ 1 0 tan
1
+ ，∴0 < tanθ < 3 ，∴ < θ < ②，由①②知0 < tanθ < 1 ，故θ
3
π
的取值范围是 kπ , kπ + ( k∈ Z ) .
4
13
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 7 练 §1.4.2 正切函数的性质与图像
※基础达标
1. y = tan x π 函数 +
4
的定义域是（ ）.
A. x x π , x R π ≠ ∈ B. x x ≠ , x
3π π
∈ R C. x x ≠ + kπ , k∈ Z D. x x ≠ + kπ , k∈ Z 4 4 4 4
2. π 函数 y = tan ax + ( a ≠ 0 ) 的最小正周期为（ ）.
4
A. 2π B. 2π C. π D. π
a a a a
3. 下列说法正确的是（ ）.
A. 正切函数在整个定义域内是增函数
B. 正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成
C. 若 x是第一象限角，则sin x是增函数
D. 函数 y = 2 tan x 2 的图像关于 y 轴对称
4. 下列函数中，不．是．奇 函数的是（ ）.
A. y = sin x + tan x B. y = x tan x 1 C. y sin x tan x tan x = D. y = lg
1+ cos x 1+ tan x
5. 函数 y 1 = π π < x <
的值域是（ ）. tan x 4 4
A. [ 1,1] B. ( ∞, 1) ∪ (1 , +∞ ) C. ( ∞ ,1] D. [ 1, +∞ )
6. π y = 2 tan 2ax + 若函数 ( a ≠ 0 ) 的最小正周期是 3，则 a = .
6
7. y 5 tan 6x π = 函数 + + 2 的定义域是 .
3
※能力提高
8. 利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：
1 tan ( 138o ) tan125o 2 tan 12 tan 16 （ ） 与 ；（ ） π 与 π .
5 3
9. 求函数 y = tan 3 x
π
4
的周期和单调区间.
※探究创新
10. 求函数 y = sin x 1 tan x
1 cos x
+ 的最小正周期.
sin x
14
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 8 讲 §1.5 函数 y = Asin ( ωx + ) 的图像
¤学习目标：①理解振幅的定义及振幅变换和周期变换的规律；②会用“五点法”画 y＝Asin(ωx＋ )
的图象；③会用图象变换的方法画 y＝Asin(ωx＋ )的图象；④会求一些函数的振幅、周期、最值等.
¤知识要点：
①振幅（amplitude of vibration）就是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 . ②函数
y = Asin ( 2π 1 ω ωx + ) 的周期（period） T = ；频率(frequency) f = = 相位（phase）为 ωx + ；初相
ω T 2π
（initial phase）是 x = 0 时的相位 .
¤例题精讲：
1 y 3sin(2x π 【例 】画出函数 ＝ ＋ )，x∈R 的简图,并说明此函数图形怎样由 y = sin x 的图象变化而来.
3
解：由五点法，列表： 描点画图，如下：
x π π π 7π 5π
6 12 3 12 6
2x+ π π 3π 0 π 2π
3 2 2
3sin(2x+ π 0 3 0 –3 0
3
这种曲线也可由图象变换得到，即：y＝sinx
π
纵坐标不变 左移 个单位 π π 纵坐标变为 3倍 3 y＝sin(x+ ) 1 y＝sin(2x+ ) y＝3sin(2x+
π )
3 横坐标变为 倍 3 横坐标不变 3
2
【例 2】已知函数 y = Asin ( x π 4π ω + ) ，在同一周期内，当 x = 时函数取得最大值 2，当 x = 时函
9 9
数取得最小值－2，则该函数的解析式为（ ）.
A. y π π x π x π = 2sin 3 x 6
B. y = 2sin 3 x + C. y = 2sin + D. y = 2sin 6 3 6 3 6
π 4π
解：由题可知，点( ，2)和点( ，－2)都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第
9 9
ω
π π
+ = ω = 3
” “ ”
9 12
二点 和 第四点 ，如右图，所以有： ，解得 π ，答案：B.
4π 3π ω + = =
9 2 6
点评：一般来说，如对所求函数式中的 A、ω、 不加限制，那么所求的函数式应有无数多个不同的
形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，我们解这类题的方法很多，但逆用“五点法”作图的思想却渗透
在各不同解法之中 新疆 王 新 敞 奎屯
【例 3】如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s 厘米和时间 t 秒
的函数关系为 s = 6sin(2π t π + ) .（1）单摆摆动 5秒时，离开平衡位置多少厘米？（2）单摆摆动时，从最
6
右边到最左边的距离为多少厘米？（3）单摆来回摆动 10 次所需的时间为多少秒？
1 π π 解：（ ）将 t = 5 代入已知函数式，则 s = 6sin(2π ×5 + ) = 6sin = 3 .
6 6
所以，单摆摆动 5秒时，离开平衡位置 3 厘米.
（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为 2A，即 12 厘米.
3 2π 2π （ ）由 T = = = 1 ，所以单摆来回摆动 10 次所需的时间为 10秒.
ω 2π
点评：在 y = Asin(ωx + ) + b 这一三角函数模型中，A 为振幅, b 为平衡位置， 为初相，周期为
T 2π = ，频率为 f 1 = . 正是根据这些实际意义，在给定具体三角函数模型时，可以轻松求解实际问题
|ω | T
15
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 8 练 §1.5 函数 y = Asin ( ωx + ) 的图像
※基础达标
1. 2π π 已知函数 y = Asin ( ωx + ) ( A > 0,ω > 0 ) 的最大值是 2，最小正周期是 ，初相是 ，则这个函
5 4
数的表达式是（ ）.
A. y = 2sin(5x π ) B. y = 2sin(5x π + ) C. y = 2sin(5x π π ) D. y = 2sin(5x + )
4 4 20 20
2. 把函数 y = sin(2x π π 1 + )的图像向左平移 个单位长度，再将横坐标压缩到原来的 ，所得函数的
4 8 2
解析式为（ ）.
A. y sin 4 x B. y cos4 x C. y sin(4x π = = = + ) D. y = sin(4x π + )
8 32
3. 要得到 y = cos(2x π )的图像，只需将 y = sin 2 x 的图像（ ）.
4
A. π 向左平移 个单位 B. π 向右平移 个单位
8 8
C. π π 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
4 4
4. 如图是函数 y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析式为（ ）.
A. y 2 sin(2x π ) B. y 2 sin( x π ) C. y 2 sin(x π ) D. y 2 2π = + = + = = sin(2x + )
3 3 3 2 4 3 3 3 3
5. （2003. 上海）把曲线 ycos x 2y π + 1= 0 先沿 x轴向右平移 个单位长度，再沿 y 轴向下平移 1
2
个单位长度，得到的曲线方程是（ ）.
A. ( 1 y ) sin x + 2y 3 = 0 B. ( y 1) sin x + 2y 3 = 0
C. ( 1+ y) sin x + 2y +1 = 0 D. (1 + y ) sin x + 2y +1= 0
6. 把函数 y = cos(x 4π + ) 的图像向右平移φ 个单位，所得到的图象正好关于 y 轴对称，则φ 的最小正
3
值是 .
7. 已知函数 y = Asin ( x 5π 2 11π ω + ) (A > 0,ω > 0) 在同一周期内，当 x = 时，y 有最大值为 ，当 x =
3 3 3
时，y 2 有最小值 ，则此函数的解析式 .
3
※能力提高
8. 1 π 画出函数 y = 2sin( x ) 在长度为一个周期的闭区间上的简图，并 写出函数的振幅，周 期与初相,
3 6
然后说明此函数的图像可由正弦函数曲线经过怎么样的变化得到.
9. 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋2 的图象的一部分，它的振幅、周期、初相
各是多少？
※探究创新
10. 1 π 5 已知函数 f ( x) = sin(2x + ) + ，（1）求 f ( x ) 的最小正周期及单调区间；（2）求 f ( x ) 的图
2 6 4
像的最称轴和对称中心.
16
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 9 讲 §1.6 三角函数模型的简单运用
¤学习目标：①掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；②选择合理三角函数模型解决实际问
题；③培养学生用已有的知识解决实际问题的能力.
¤知识要点：
在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此可以用三角函数模型来描述. 如气象方面有温度
的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、
体力等. 研究这些应用问题，主要有以下三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给
模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函
数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图
象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决相应的实际问题.
¤例题精讲：
【例 1】作出函数 y＝｜sinx｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.
解：函数 y＝｜sinx｜的图象如右，由图可知，
函数 y＝｜sinx｜为偶函数，周期为Ｔ＝π.
递增区间为［kπ， π ＋kπ］，k∈Z，
2
π
递减区间为［ ＋kπ，π＋kπ］，k∈Z.
2
【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度 y（米）是时间 t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，经过长期的
观察，该函数的图象可以近似地看成 y = Asin(ωt + ) + b . 下表是测得的某日各时的浪高数据：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
依规定，当浪高不低于 1 米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.
1.5 0.5 1
解：根据题意，易知 A = = ，T=12 b 1.5 + 0.5 ， = = 1 .
2 2 2
2π π 1 π 则ω = = ， y = sin( t + ) + 1 .
12 6 2 6
把 t=0 π π π 1 π π 代入，得 × 0 + = ，即 = . 所以 y = sin( t + ) + 1 .
6 2 2 2 6 2
由 y 1 = sin(π t π + ) +1≥ 1 （0≤t≤24）， 解得0 ≤ t ≤ 3 或9 ≤ t ≤ 15 .
2 6 2
所以，在白天 9 时～15 时开放浴场.
【例 3】游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心 O距离地面 40.5m，半径 40m. 若从最低点处登上摩天
轮，从你登上摩天轮开始计时，那么你与地面的距离 h 将随时间 t 变化，已知 5 min 后到达最高点.
（1）求出 h与 t 之间的函数关系式；
（2）当你第 1 次距离地面 20.5m 时，用了多少时间？
解：（1）如图，设经过 t min 后由 P π 旋转到 P1 ，则 ∠P1O P = t . 5
由图可知， h = P1M = ON OQ = 40.5 OP1 cos ∠ P1O P ，
h 40.5 40cos π t π π 即 = = 40sin( t ) + 40.5 .
5 5 2
所以，h 与 t 之间的函数关系式为 h = 40sin(π t π ) + 40.5 .
5 2
2 h 40sin(π t π ) 40.5 20.5 , sin(π t π ) 1 π t π π t 5 （ ）由 = + = 即 = ，解 得 = ，即 = （min）. 所
5 2 5 2 2 5 2 6 3
5
以，当你第 1 次距离地面 20.5m 时，用了 min.
3
点评：摩天轮在周而复始的转动中，包含着许多数学问题，这里研究了人的高度与时间的函数关系，
发现得出一个三角函数模型，解答的关键是通过直角三角形中的边角关系，寻找出两个变量之间的几何
关系，从而转化为三角函数模型.
17
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 9 练 §1.6 三角函数模型的简单应用
※基础达标
1. 函数 y = 2sin(2x π + )的图象（ ）.
3
A B x= π ．关于原点对称 ．关于直线 对称 C．关于 y轴对称 D π ．关于点（－ ，0）对称
6 6
2. y 2sin(1 x π 函数 = + ) 的周期、振幅、初相分别是（ ）.
2 4
A. π , 2, π B. 4π , 2, π C. 4 π π π , 2, D. 2π , 2,
4 4 4 4 4
3. 如图，曲线对应的函数是（ ）.
A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sinx|
4. 函数 y =| 5sin(2x π + ) | 的最小正周期为（ ）.
3
A π ．π B． C．2π D．4π
2
5. 下表是芝加哥 1951～1981年月平均气温（华氏）：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为 x 轴，x=月份－1，以平均气温为 y 轴，描出的散点图如图所示. 在
以下函数模型中，最适合这些数据的是（ ）.
A. y = 26cos π x B. y = 26cosπ x + 46
6 6
C. y π x π x = 26cos + 46 D. y = 26sin + 46
6 6
6. 根据函数 y＝｜sin2x｜的图象，可知道其单调递增区间为 .
7. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O的距离 s 厘米和时间 t 秒
π
的函数关系为 s = 6sin(2π t + )，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 秒.
6
※能力提高
8. 如图，它 表示电流 i = Asin(ωt + ) (A > 0,ω > 0) 在一个周期内的图象. 其
中电流 i 的单位为 mA，时间 t 的单位为 s. （1）试根据图象写出 i = Asin(ωt + )
1 1
的解析式； （2）当 t=0， ， 时，求电流 i.
60 6
9. 某商品一年内出厂价格在 6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知 3 月份达到最高价格 8元，7
月份价格最低为 4 元. 该商品在商店内的销售价格在 8 元基础上按月份随正弦曲线波动，5 月份销售价格
最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元. （1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式
（2）假设商店每月购进这种商品 m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数.
※探究创新 t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
10. 某“海之旅”表演队在一海滨区域进 y（米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0
行集训，该海滨区域的海浪高度 y（米）随着
时间 t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化. 为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时
刻 t 的浪高数据的平均值如表. （1）试 画出散点图；（2）观 察散点图，从 y = ax + b 、 y = Asin(ωt + ) + b 、
y = Acos(ωt + ) 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（3）如果确定当浪高不低于
0.8 米时才进行训练，试安排恰当的训练时间段.
18
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第一章 三角函数
第 10 讲 第一章 三角函数 复习
¤复习目标①理解角的分类和角度制与弧度制的互化，相应的公式要理解并牢记；②会用同角三角
函数的基本关系式解题，能灵活运用诱导公式；③掌握并灵活应用正弦函数和余弦函数的图像和性质. 在
解三角函数的题目中要灵活运用转化和划归思想；1的灵活运用等.
¤例题精讲：
【例 1】（ 2005 年福建卷）函 数 y = sin(ωx + )(x ∈R ,ω > 0,0 ≤ < 2π ) 的
部分图象如图，则 （ ）
A． π , π B π π ω = = ． ω = , =
2 4 3 6
C π , π π 5π ．ω = = D． ω = , =
4 4 4 4
T
解： = 3 1= 2 ，故 T = 8 ，又由
2π 2π π π
ω = = = ，所以原函数为 y = sin x + ，且过点 ( 1,1) ，
4 T 8 4 4
1 sin π = + 所以 ，由 0 ≤ < 2π
π
得 = ,故选 C.
4 4
【例 2】（ 2005 年天津卷）要得到函数 y = 2 cos x 的图象，只需将函数 y = 2 sin(2x π + )的图象上所
4
有的点的（ ）
(A) 1 π 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）,再向左平行移动 个单位长度
2 8
(B) 1 π 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
2 4
(C) π 横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
4
(D)横坐标伸长到原来的 2 π 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
8
解：函数 y = 2 sin(2x π + )可以变形为 y = 2 cos π π 2x
= 2 cos π 2 x ，
4 2 4 4
亦即 y = 2 cos 2 x
π
，此时要得到函数 y = 2 cos x 的图象可以将函数 y = 2 cos
2 x
π
4
的图像
4
1 π π
横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y = 2 cos 2 x = 2 cos x ；然后再向左平移
2 4 4
π
个单位长度，得到 y = 2 cos x π π +
= 2 cos x ，故选 C. 4 4 4
【例 3】（ 2005 全国卷Ⅰ）设函数 f (x) = sin(2x + ) ( π < < 0), y = f (x ) 图像的一条对称轴是直线
x = π ,（1）求 ；（2）求函数 y = f (x ) 的单调增区间.
8
解：（1）∵ x π = 是函数 y = f (x ) 的图像的对称轴，
8
∴sin(2 π × + ) π π = ±1 , ∴ + π = kπ + ,k ∈ Z .
8 4 2
∵ π < 3π < 0, 故 = .
4
2 1 3π 3π π 3π π （ ）由（ ）知 = ，因此 y = sin(2x ) ，由题意得 2kπ ≤ 2x ≤ 2kπ + , k∈ Z .
4 4 2 4 2
π 5π
所以此函数的单调递增区间为 [kπ + ,kπ + ], k∈ Z .
8 8
点评：以上三道例题都是高考题，通过观察发现：“高考题目不过如此”，所以，同学们一定要打好
基本功，平时要扎实训练！以便在高考中过关斩将，取得理想的成绩！！！
19
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 10 练 第一章 三角函数 复习
※基础达标
1.（06 年全国卷 II）若 f ( sin x) = 3 cos 2 x ，则 f ( cos x ) = （ ）.
A. 3 cos 2x B. 3 sin 2x C. 3 + cos2x D. 3 + sin 2x
sin ( π x2 ) , 1< x < 0 2（. 05 年山东理）函 数 f ( x ) = ，若 f (1 ) + f ( a ) = 2 ，则 a的所有可能值为（ ）.
ex 1 , x ≥ 0
A. 1 B. 1, 2 C. 2 D. 1, 2
2 2 2
3.（06 sin x + a 年安徽卷）设 a > 0 ，对于函数 f ( x) = (0 < x < π ) ，下列结论正确的是（ ）.
sin x
A. 有最大值而无最小值 B. 有最小值而无最大值
C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值又无最小值
4. π （04 年全国Ⅱ）函数 y = 2sin 2 x ( x ∈ [ 0, π ] ) 为增函数的区间是（ ）.
6
A. 0,
π
B.
π 7π π 5π 5π
3
, C. , D.
12 12 3 6
, π
6
5.（06 年福建卷）已知函数 f (x) = 2sinωx( ω π π > 0) 在区间[ , ] 上的最小值是 2 ，则ω 的最小值等
3 4
于（ ）.
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
3 2
6.（06 π 年安徽卷）将函数 y = sinωx( ω > 0) 的图象向右平移 个单位，平移
6
后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 .
7. cos43o sin 47o + sin 43o cos47 o 的值为 .
※能力提高
8. sin ( 3 ) lg 1 cos(π + θ ) cos(θ 2π ) 已知 π + θ = ，求 + 的值.
3 10 cosθ [ cos(π θ ) 1] cosθ cos(π θ ) + cos(θ 2π )
9. y cos x sin x 1 求函数 = + 的定义域.
2
※探究创新
10. 已知函数 f ( x) =1 2a 2a cos x 2sin 2 x 的最小值为 g ( a ) .
（1）求 g ( a ) ；（2 1 ）若 g ( a ) = ，求 a及此时 f ( x ) 的最大值.
2
20
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 11 讲 §2.1.1~§2.1.2 向量的物理背景与概念、向量的几何表示
¤学习目标：通过对物理中有关概念的分析，了解向量的实际背景，进而深刻理解向量的概念，掌
握向量的几何表示，理解向量的模、零向量与单位向量的概念.
¤知识要点：
1、向量：
（1）概念：既有大小、又有方向的量叫做向量（vector）；
（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素：起点、方向、长度；
uuur r
（3）记法：记为 AB （起点在前，终点在后）或 a ；
uuur uuur r
（4）模：向量 AB 的长度叫向量的模，记为 AB 或 a .
2、两类特殊的向量：
r
（1）零向量（zero vector）：长度为 0 的向量，记为0 ；
（2）单位向量(unit vector)：长度等于 1 个单位的向量.
¤例题精讲：
【例 1】指出下列哪些量是向量：
①重力；②速度；③高度；④位移；⑤路程；⑥面积；⑦体积；⑧零下 280 .
解：①②④是向量，其它都是数量.
点评：只有大小，没有方向的量都不是向量.
【例 2】 表示小船的下列位移（用 1：100000 的比例尺）：
由 A 地向东北方向航行 20km 到达 B 地；
由 B 地向正北方向航行 10km 到达 C 地；
由 C 地向西北方向航行 30km 到达 D 地.
解：如下图所示：
北
D
C
西
B 东
A 南
点评：（ 1）向量具有深刻的物理背景，位移只是其中的一个代表，其数学内涵是我们可以用一个点
为参照点，来确定另一个点的位置；
uuur
（2）图中向量 AD 表示的就是在这个过程中，小船的总的位移，这其实就是几何形式下，向量的加
法运算.
r r r
【例 3】已知向量 a 是非零向量，则有 a > 0 ，这种说法对吗？为什么？
解：这种说法错. 因为向量包含两个要素：模（也就是长度）与方向. 前一个要素模是数量，可以比
大小，而后一个要素方向是不能比较大小的.
r r
因此我们只能说： a > 0 = 0 .
【例 4】一质点从平面内一点 O 出发，向北前进 a米后，右转 20 0 ，再前进 a米，再右转 200 ，按此方
法继续前进. 求前进多少次，该质点第一次回到 O 点.
360 0
解：由平面几何知识我们易知，质点所经过的路线是一个边长为 a的正 18（ = 0 ）边形， 20
所以，前进 18 次后，该质点第一次回到 O 点.
点评：向量在物理中有许多运用，物理中有很多量（如力、速度、位移、电场强度等），都是既与大
小又有方向的量，向量的有关知识是研究物理中这些矢量的有力工具.
21
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 11 练 §2.1.1~§2.1.2 向量的物理背景与概念、向量的几何表示
※基础达标
1．长度等于 1 个单位的向量叫单位向量，把平面上所有的单位向量平移到相同的起点，那么它们的
终点所构成的图形是（ ）.
A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 两个孤立点 D. 一个半径为 1 的圆
uuur uuur uuur A
2．如图，在圆 O 中， OB,OC , AO 是（ ）.
A. 有相同起点的向量 B. 单位向量 O
C. 模相等的向量 D. 相等的向量 C
B
3．某人东行 100 米，后转弯南行100 3米，则这时他位移的方向是（ ）.
A. 东偏南60° B. 南偏东60° C. 东偏南30° D. 南偏东30°
ur ur ur ur
4．有 两个力同时作用（ 拉动）于 质点 A，力 F 1 的大小 F1 = 50 N ，方 向向东，力 F 2 的大小 F 2 = 50 N ，
ur ur
方向向北，则它们合力 F1 + F 2 的大小与质点前进的方向分别为（ ）.
ur ur ur ur
A. F1 + F 2 = 100 N ，方向东北 B. F1 + F 2 = 100 N ，方向东南
ur ur ur ur
C. F1 + F 2 = 50 2 N ，方向东北 D. F1 + F 2 = 50 2 N ，方向东南
5．质点是这样运动的：①向正东方向运动 s米，②向西偏北60°方向运动 s米，③向西偏东南60°方
向运动 s米，接下来重复上述运动，则质点第 10次运动后质点位移的长度与方向分别为（ ）.
A. 长度为10s米，方向正东 B. 长度为10s米，方向北偏东60°
C. 长度为 s米，方向正东 D. 长度为 s米，方向北偏东60°
6．长度为 1的向量叫 ，长度为 0 的向量叫 .
7．某人向正东方向走 3千米，再向正北方向走 4 千米后，此人走过的路程是 ，其位移的长
度是 .
※能力提高
8．画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为10N 的力和一个水平向右，大小为15N 的力（比例
自定）.
9．有三个大小相同的力作用于同一质点，这三个力的方向两两构成120° 的角，试画图表示，并判断
该质点的运动状况，且说明理由.
※探究创新
10．一位模型赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，逆时钟方向转弯α ，继续按直线行进1m ，
再按逆时钟方向转弯α ，再继续按直线行进1m，照此方法继续操作下去：
（1）作图说明当 α = 45° 时，操作几次赛车的位移为零；
（2）照此操作赛车能回到出发点，α 应该满足什么条件？请写出其中两个α 的值..
22
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 12 讲 §2.1.3 相等向量与共线向量
¤学习目标：我们所研究的向量是自由向量，也就是在不改变长度与方向的前提下，向量可以在空
间自由移动，在此基础上，深刻理解两个概念：相等向量、共线向量.
¤知识要点：
（1）在不改变长度与方向的前提下，向量可以在空间自由移动；
（2）相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量叫相等向量（equal vector）；
（3）共 线向量：方 向相同或相反的向量叫平行向量（ parallel vectors），也 叫共线向量（ collinear vector）；
r r r
（4）零向量的方向是任意的，对任意向量 a ，我们都有：0 // a .
¤例题精讲：
【例 1】下列说法正确的是（ ）
uuur uuur uuur uuur
A、 向量 AB // CD 就是 AB与C D 两个向量所指的方向相同；
B、长度相等的向量叫相等向量；
C、零向量的长度为 0，而方向是任意的；
D、 共线向量是在同一直线上的向量.
uuur uuur
解： AB // CD 有同向与反向两种可能，A错；
两个要素均一致的向量才是相等向量，B错；
向量可以在空间自由移动，共线向量是指平移后可以共线的向量，D 错. 选 C.
【例 2】如图，点 O 是正六边 ABCDEF 的中心，考察点 O 与各顶点连线所成的向量，以及各边所成
uuur uuur
的向量，与向量 EO 相等的向量有哪些？与向量 EO 相反的向量有哪些？
uuur uuur uuur uuur
解：在正六边形 ABCDEF EO = OB = DC = FA B C 中， ，
又 AF // DC ，因而：
uuur uuuruuuuruuur O
（1）与向量 EO 相等的向量有： FA,OB, DC A ； D
uuur uuuuruuuuruuur uuur
（2）与向量 EO 相反的向量有： AF ,BO,CD, OE .
点评：相等向量与相反向量是两个不同的概念，他们的共同点是：模都 F E
相等，区别是：相等向量方向相同，相反向量方向相反. 一般地，我们有：
uuur uuur uuur uuur
AB = BA ， AB = BA .
uuuur uuuur uuuur
【例 3】如图，已知： AA/ = BB / = CC / ，
uuur uuuuur C'
求证：（1） ABC A/B /C / ；（2） AB = A/B / . A'
uuuur uuuur uuuur
证明：（1）因为 AA/ = BB / = CC / ，
uuuur uuuur uuuur B'
所以 AA/ = BB / = CC / ，且 AA/ //BB / // CC / ， A C
所以三棱锥的三个侧面都是平行四边形，得
AB = A/B / ,BC = B /C / , CA = C / A / ， B
所以， ABC A/B /C / ；
uuur uuuuur
（2）由（1）知： AB = A/B / ， AB // A/B / ，且同向，
uuur uuuuur
所以， AB = A/B / .
点评：本题只是说明几何问题与向量问题是可以互相转化的，至于这种转化的优势，在今后的学习
中我们会逐步体会.
D N C
【例 4】在矩形 ABCD中， AB = 2 BC ，M、N 分别为 AB和 CD的中
点，在以 A、B、C、D、M、N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量
有多少对？
A M B
解：相等的向量有 24对.
点评：相等向量是大小相等、方向相同的向量. 在解题中应确定一个分类的原则，计算各类中相等
向量的对数，做到不重复不遗漏. 这里可以按模长分类，再考虑不同的方向. 模长为 1 的向量有 18 对，
模长为 2 的向量有 4 对，模长为 2 的向量有 2 对.
23
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 12 练 §2.1.3 相等向量与共线向量
※基础达标
1．下列命题正确的是（ ）.
r r r r r r r
A. 若 a = 0 ，则 a = 0 B. 若 a = b ，则 a = b
r r r r r r r r
C. 若 a = b ，则 a、b 是平行向量 D. 若 a、b 是平行向量，则 a = b
2．下列说法错误的是（ ）.
A. 零向量的长度为零 B. 零向量与任意向量都是共线向量
C. 零向量没有方向 D. 零向量的方向是任意的
uuur
3．在正 ABC 中，P、Q、R 是分别是 AB、BC、CA的中点，则与向量 PQ 相等的向量是（ ）.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A. PR与Q R B. AR与 RC C. RA与C R D. PA与Q R
4．下列结论正确的是（ ）.
A. 向量只能用有向线段来表示 B. 表示一个向量的有向线段是唯一的
uuur uuur uuur uuur
C. 有向线段 AB与 BA 是同一向量 D. 有向线段 AB与 BA 的大小相等
5．下列说法中：
（1）单位向量都相等； （2）共线的单位向量必相等；
（3）单位向量都共线； （4）与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.
其中正确的说法个数为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6．相等向量是一类向量的集合，通过平移可以使它们有相同的 与相同的 .
r r r r r r
7．如果 a = b ，且 a // b ，则 a = 或 a = .
※能力提高
8．判断下列说法是否正确，不正确的说明理由：
r r r r
（1）向量 a // b ，则向量 a 与向量b 方向相同或相反；
uuur uuur
（2）向量 AB与向量 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必共线；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量.
9．把平行于某一直线的一切向量归结到共同的起点，则这些向量的终点构成什么图形？如果把平行
于某一直线的一切单位向量归结到共同的起点，则这些向量的终点构成什么图形？
※探究创新
10．判断下列说法的对错：
（1）单位向量都相等；
（2）长度不等且方向相反的两向量不一定共线；
r r r r
（3）若 a // b ，则 a 与b 的方向相同或相反；
r r r r
（4）若 a 与b 不共线，则若 a 与b 均为非零向量；
r r r r r r
（5）若 a // b ，且 b // c ，则 a // c ；
r r r r r r r r
（6）若 a 与b 满足： a > b ，且 a 与b 同向，则 a > b .
24
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 13 讲 §2.2.1~§2.2.2 向量的加法与减法运算及其几何意义
¤学习目标：掌握向量加减法运算方法，理解其几何意义，了解相关运算律. 能运用向量加减法的几
何意义解决一些问题.
¤知识要点：
1、向量加法运算的两个法则：
（1）平行四边形法则，要点是：统一起点；
（2）三角形法则，要点是：首尾相接；
2、向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从减向量的终点指向被减向量的终点；
r r r r r r r r
3、三角形三边关系的向量表达方式： a b ≤ a b ≤ a ± b ≤ a + b ，注意等号成立的条件.
r r r r r r r r r r r r r r
4、向量加减法运算满足：（1） a + b = b + a ；（2） (a + b) + c = a + (b + c ) ；（3） a b = a + ( b ) .
¤例题精讲：
【例 1】作向量的和：
（1） （2）
a d
b a b c
uuur r r r ur
解：（1）作图如下： （2）作图如下：图中 AE = a + b + c + d
C c
D
b d
a a+b
a+b B
b a E
b a A a+b+c+d
点评：求两个向量的和，可以采用平行四边形法则（统一起点）或三角形法则（首尾相接）；求三个
以上向量的和的方法我们可以称之为多边形法则，是 三角形法则的推广，要 点依然是首尾相连. 进一步地，
r r r ur uuur uuur uuur uuur uuur
我们不难理解： a + b + c + d = AB + BC +CD + DE = AE ，而这正是向量和式化简的方法：把几个向量写
成首尾相接的形式后，和向量就是第一个向量的起点，指向最后一个向量的终点.
【例 2】作两个向量的差：
解：作图如下：
a b
a b a
a b a
b b
点评：两个向量的求差，关键是统一起点，从减向量的终点指向被减向量的终点为所求的差. 从作图
r r r r r r r r
我们不难发现： a b 与b a 是一对相反向量，所以 a b = b a .
uuur r uuur r uuur r r r r uuur
【例 3】在四边形 ABCD 中，设 AB = a, AD = b, BC = c ，试用 a、b、 c 表示向量DC .
r r uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
解：因为 a b = AB AD = DB ，所以DC = DB + BC = a b + c . （图示如下）
A D
B C
点评：解题的关键是紧扣相关的运算法则，并能灵活运用.
r r r r
【例 4】已知 a = 8 ， b = 10 ，求 a ± b 的最大值和最小值.
r r r r r r r r r r r r
解：因为 a b ≤ a ± b ≤ a + b ，即 2 = 8 10 = a b ≤ a ± b ≤ a + b = 8 +10 = 18 ，
r r
所以 a ± b 的最大值和最小值分别为 18与 2.
25
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 13 练 §2.2.1~§2.2.2 向量的加法与减法运算及其几何意义
※基础达标
1．下列等式错误的是（ ）.
r r r r r r r r r r r
A. a + 0 = 0 + a = a B. (a b) + c = a + (c b )
uuur uuur r uuur uuur uuur
C. AB + BA = 0 D. AB BC = AC
uuur uuur uuur uuur
2．已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 AB + BC + AD + DC 等于（ ）.
A. 1 B. 2 2 C. 3 D. 2
r
3．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0 的是（ ）.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
A. AB + BC + CA B. OA +OC + BO + CO C. AB AC + BD CD D. NQ +QP + MN MP
uuur uuur uuur
4．已知 P为 A BC 所在平面内一点，当 PA + PB = PC 成立时，点 P位于（ ）.
A. ABC 的 AB 边上 B. A BC 的 BC 边上 C. ABC 的内部 D. ABC 的外部
r r
5．向量 a 、b 都是非零向量，下列说法不正确的是（ ）.
r r r r r r r r r r r r
A. 向量 a 与b 同向，则 a + b 与 a 同向 B. 向量 a 与b 反向，且 a < b ，则 a + b 与 a 同向
r r r r r r r r r r r r
C. 向量 a 与b 同向，则 a + b 与b 同向 D. 向量 a 与b 反向，且 a > b ，则 a + b 与 a 同向
uuur r uuur r uuuur r r
6．若点M 是 A BC 中 BC 边上的中点，设 AB = a ， AC = b ，则 AM 可以用 a 、b 表示为 .
uuur uuur uuur
7．若 P为 A BC 的外心，且 PA + PB = PC ，则 ABC 的内角 C 等于 .
※能力提高
uuur r uuur r r r uuur uuur uuur uuur
8．如图在正六边形 ABCDEF中，已知 AB = a , AF = b , 试用 a 、b 表示向量 BC ,CD ,OD , BE .
9．在水流速度为 4 3km / h的河中，如果要使船以12km / h的实际航速与河岸垂直行驶，求船的航行
速度的大小与方向.
Ｃ
※探究创新
10． 已知O是 uuur uuur A uBuC
Ｆ
内任一点，
ur uuur uuur Duu、ur E 、 F
分别为三边中点（如图）. Ｅ
证明：OD +OE +OF = OA +OB + OC . 你能此结论推广到 n 边形吗？请用文
字语言说明.
Ａ Ｄ Ｂ
26
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 14 讲 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义
¤学习目标：掌握向量数乘运算，并理解其几何意义与相关运算律，理解两个非零向量共线的充要
条件，并能初步运用.
¤知识要点：
r
1、实数λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar）,
r
记作 λ a ，其长度与方向规定如下：
r r r r r r r r r
（1） λa = λ a ； （2）λ > 0 时，λ a 与 a 同向；λ < 0 时，λ a 与 a 反向；λ = 0 时，λ a = 0a = 0(≠ 0) .
r r r r r r
2、 a //b b = λ a (a ≠ 0) ，其中 λ ∈ R ，且唯一.
3、向量的线性运算满足：
r r r r r r r r r r r
（1） (λ + )a = λa + a ； （2） λ(a + b) = λa + b ； （3） λ( 1a + 2b) = λ 1a + λ 2 b .
¤例题精讲：
【例 1】化简：
r r r r r r r r r r
（1） (x y)(a + b) (x y)(a 1 b) ； （2） (a + 2b) 1 (3a 1 + + 2b) (a b ) .
3 4 2
r r r r r r r r r r r r r
解：（1） (x y)(a + b) (x y)(a b) = xa + xb ya yb xa + xb + ya yb = 2(x y) b ；
1 r r 1 r r 1 r r 2 (a 2b) (3a 2b) (a b) = (1 3 1
r r r r
（ ） + + + )a 2 1 1+ ( + ) b 7= a 2 + b .
3 4 2 3 4 2 3 2 2 12 3
点评：向量运算类似于多项式运算，所满足的运算律也是相通的.
r r r r
【例 2】（ 1）已知 a = 3 ， b = 5 ，且 a = λ b ，求实数λ 的值；
ur uur r uur r r
（2）向量 e1、e 2 不共线，且 (ke1 + e2 ) //(e1 + ke 2 ) ，求实数 k 的值. r r
r r a r r a
解：（1）若 a 与b 3 同向，则 λ = r = ；若 a 与b 反向，则
3 3
λ = r = ，所以 λ = ±
b 5 b 5 5
r r r r
（2）由已知得，存在实数λ ，使 ke1 + e2 = λ (e1 + ke 2 ) ，整理得：
r r r
(k λ )e1 + (1 kλ )e 2 = 0 ，又由已知得 e e {k λ = 0 1、 2 是非零向量，则 1 k λ = 0 ，
解之得 k = ± 1 .
r r
点评：深刻理解数乘向量的意义，λ 的正负决定 λ a 的方向，λ 的绝对值的大小决定 λ a 模的伸缩. 注
意两个向量不共线的隐含条件是：这两个向量都是非零的.
【例 3】如图所示，已知 DE 是 ABC 的中位线，
用向量的方法证明： DE 1 = BC ，且 DE // BC A
2
uuur
AD 1
uuur uuur uuur D E
证明：易知 = AB ， AE 1 = AC ，
2 2 B C
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
所以 DE = AE AD = (AC AB) = BC .
2 2
即 DE 1 = BC ， 又 D 不在 BC上，所以 DE // BC .
2
点评：向 量是一种解决问题的工具，它 简洁明快，许 多几何问题，用 向量来解决，就 显得格外简练. 本
题要注意的是，因为向量可以自由移动，所以向量的平行与直线的平行在概念上是有区别的.
uuur r uuur r r r
【例 4】如图，设OA = a ，OB = b ，且 a = b = 4 ， ∠AOB = 60 0 ，求：
r r r r r r r r r r B
（1） a + b 与 a b ；（2） a + b 与 a 的夹角， a + b 与b 的夹角. C
uuur uuur
略解：以 OA 、OB 为邻边作平行四边形 OACB D ，则 依条件易知平行四边形 OACB
O
是由两个边长为 4 的正三角形拼接而成的，故易知 A
r r r r
（1） a + b = 4 3 ， a b = 4 ；（2）所求角分别为30°与 60° .
27
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 14 练 §2.2.3 向量数乘运算及几何意义
※基础达标
uuur uuur uuur
1．已知平行四边形 ABCD 中， AB +CA + BD 等于（ ）.
uuur uuur uuur uuur
A. AB B. CD C. DC D. BA
r r r r r
2．若3x 2(x a ) = 0 ，则 x 等于（ ）.
r r r r
A. 2a B. 2a 2 2 C. a D. a
5 5
uuur uuur uuur
3．点 C 在线段 AB 3 上，且 AC = AB ，则 AC 等于（ ）.
5
2 uuur uuur A. BC B. 3 BC C. 2
uuur uuur
BC D. 3 BC
3 2 3 2
ur r r ur r r ur r r ur r r r r
4．已知m 、 n 不共线，若 a = m 2n, b = 3m + n, c = 2m + 3n ，则 a b与c 的位置关系是（ ）.
A. 不共线 B. 共线 C. 相等 D. 无法确定
r
5．设 a 是非零向量， λ 是非零实数，则下列结论正确的是（ ）.
r r r r r r r r
A. a 与 λ a 反向 B. λ a ≥ a C. a 与 λ 2 a 同向 D. λa ≥ λ a
r r r ur r ur r r ur r r ur
6．已知向量 a、b、 x、y 满足： x + y = a ， x y = b ，则 x = ， y = .
uuur uuur uuur uuur
7．点 G 是 ABC 的重心，D 是 AB 的中点，若GA +GB GC = λ GD ，则实数λ = .
※能力提高
uuur r uuur r r r uuur
8．如图，在 A BC 中， AB = a ， BC = b ，G 为 A BC 的重心，用 a 、b 表示向量 AG .
A
a
G
B
D C b
9．如图，在平行四边形 ABCD中，点 M是 AB 的中点，点 N在 BD 上，
1 D C
且 BN = BD ，求证：M、N、C 三点共线.
3 N
A M B
※探究创新
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
10．如 图，已 知 |OA |= 2, |OB |=1, |OC |= 4, OA与O B 的夹角为120°,OA与O C
uuur uuur uuur
的夹角为30°，试用 OA, OB 表示OC .
28
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 15 讲 §2.3.1~§2.3.2 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示
¤学习目标：在了解平面向量基本定理的基础上，理解并掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 体会
向量与几何问题、物理中力学问题的联系.
¤知识要点：
r r r
1、平面向量基本定理：如果 e1 、 e 2 是共面但不共线的两个向量，那么对这个平面内的任意向量 a ， r r r r r
有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ，使： a = λ1e1 + λ 2 e 2 . e1 、 e 2 叫做该平面内所有向量的一组基底（base）； r r uuur r uuur r
2、对于两个非零向量 a 与b ，我们总可以通过平移使它们的起点重合，比如使：OA = a ，OB = b ，
r r
则 ∠ AOB = θ 就叫作向量 a 与b 的夹角，显然有 θ ∈[ 0°,180 ° ] ；
r r r r r r r
3、如果基底 e1 、 e 2 之间所成的角为90°，则 a = λ1e1 + λ 2 e 2 叫作在基底 e1 、 e 2 下的一个正交分解，进 r r r r
一步，在平面直角坐标系中，取单位向量 e1 = i ， e2 = j ，且方向分别为 x轴与 y 轴的方向，则对坐标平
r r r r r
面内的任意向量 a ，我们有 a = xi + y j ，有序实数对 (x, y ) 叫作向量 a 的坐标. 换句话说，将该平面内任意
r
向量的起点移到坐标原点后，终点位置由有序实数对 (x, y ) 唯一确定，即： a (x, y ) .
¤例题精讲：
uuur
【例 1】如图，写出向量 AB 的坐标.
uuur uuur r r
解：将向量 AB 的起点平移到坐标原点 O，设终点为 P，由图可知 OP = 3i + 3 j ，也就是说，点 P的
uuur uuur uuur uuur
坐标为 (3,3)，即向量OP 的坐标为 (3,3)，而 AB = OP ，所以向量 AB 的坐标为 (3,3) .
y
B
N P (3,3)
3j
A
j
O 3i M x i
点评：将向量坐标化完成了向量与代数、几何、三角等数学分支的沟通与转化，我们所研究的向量是
自由向量，其实质正是利用了向量的可平移性，将起点移到原点，则终点的坐标就是相应向量的坐标.
r r r r r r r r r r r
【例 2】已知向量 a = 2e1 3e2 ,b = 2e1 + 3e2 ,c = 2e1 9e 2 ，其中 e1、e 2 不共线，是否存在 λ、 ∈ R ，使
ur r r r
d = λa + b 与 c 共线.
ur r r r ur r
解：设存在 λ、 ∈ R ，使 d = λa + b 与 c 共线，则必定存在 k∈ R ，使： d = kc ，
r r r r r
即 2(λ + k)e1 3(λ 3k)e 2 = 0 e e λ + k = 0 ，由 1、2 不共线，得 {λ + 3k = 0 .
消去参数 k 得： λ = 2 ，满足题设.
r r r r r P
点评： a 、b 、 c 共面，且 a 、b 不共线，那么这个结论是必然的.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur B
【例 3】如图OA、O B 不共线， AP = t AB (t∈ R ) ，用OA、O B 表示OP .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A
解： OP = OA + AP = OA + t AB = OA + t(OB OA) = (1 t) OA + tOB . O
uuur uuur uuur
点评： P、A、B 三点共线 对空间任意一点 O，存在唯一的 λ1 + λ2 = 1, 使 OP = λ1OA + λ2 OB .
r uuur r uuur uuuur 1 r uuur 1 r uuur r r
【例 4】如图， O AB 中，设 a = OA, b = OB ，且 OM = a, ON = b , 将OP 表示成 a 、b 的线性组合.
uuur uuur uuur uuur 3 2
解：设 MP = mMB, NP = nNA ，则：
B
uuur uuuur uuur uuuur uuur
OP OM MP OM mMB 1
r r 1 r 1 r r
= + = + = a + m(b a ) = (1 m) a + mb ，
3 3 3 N
uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r P
又 OP = ON + NP = ON + nNA 1= b + n(a 1 1 b) = na + (1 n) b ，
2 2 2 O A
1 1 uuur r r
M
所以 (1 m ) = n且m = (1 n) ，从而 m 2= ,n 1 1 2 = ，所以 OP = a + b .
3 2 5 5 5 5
点评：根据分解的唯一性，列出方程（组）求解，此法具有代表性.
29
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分
第 15 练 §2.3.1~§2.3.2 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示
※基础达标
1．下列说法中
（1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
（3）零向量不能是基向量.
其中正确的是（ ）.
A. （1）（2） B. （2）（3） C. （1）（1） D. （1）（2）（3）
r
2．若向量 a = (x + 3, x2 3x 4) = (2,0) ，则 x的值为（ ）.
A. 1 B. 1 或 4 C. 4 D. 1或 4
uuur ur uuur uur ur uur uuur
3. 平行四边形 ABCD的两条对角线交于点 E，设 AB = e1 , AD = e2 ,用 e1, e2 表示 ED 的表达式为（ ）.
1 ur 1 uur 1 ur 1 uur 1 urA 1
uur 1 ur 1 uur
． e1 e 2 B． e1 + e2 C． e1 e2 D． e + e 2 2 u2uur uu2ur uuur r 2 2
2 1 2 2
4．若 O 是 ABC 内一点，且 OA +OB +OC = 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）.
A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
r r r r r r r r
5． e1 、 e 2 是共面但不共线的两个向量，则向量 a = e1 + λe2 (λ ∈ R ) 与 b = 2 e1 + e 2 共线时有（ ）.
A. 1 λ = 0 B. λ = 1 C. λ = 2 D. λ = D C
2
uuur ur uuur uur uuur O
6．如 图，在 矩形 ABCD 中，B C = 5e 1 ，D C = 3e . 则OC 等于 . uuur r uuur r uuur 2 uuur
7．已 知 OA = a, OB = b , C 为 AB 上距 A 较近的一个三等分点，D 为CB
r r uuur A B
上距 C 较近的一个三等分点，用 a, b 表示OD 的表达式为 .
※能力提高
8．如图 ABCD 是一个梯形 , AB∥CD 且 AB=2CD, M, N 分别是 DC 和 AB 的中点 , 若
uuur r uuur r r r uuur uuuur
AB = a , AD = b , 试用 a, b 表示 BC 和MN .
9．平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC与 BD交于 O，P是空间任意一点.
uuur uuur uuur uuur uuur
求证： PA + PB + PC + PD = 4 PO .
※探究创新
10．如图，在△ABC中，P是 BC 边上的任一点.
uuur uuur uuur
求证：存在 λ1,λ2 ∈ (0,1)且λ 1 + λ2 = 1, 使 AP = λ1AB + λ2 AC .
30
《新课标高中数学必修④精讲精练》——精讲 第二章 平面向量
第 16 讲 §2.3.3 平面向量的坐标运算
¤学习目标：会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算. 能由两端点坐标，求所构造向量的坐标. 体
会向量是处理几何问题的工具.
¤知识要点：
r r r r r r r
1、设 a = (x1 , y2 ),b = (x2 , y 2 ), 则： a + b = (x1 + x2 , y1 + y 2 ) ； a b = (x1 x2 , y1 y 2 ) ； λa = (λx ,λ y ) . uuuur 1 2
2、设 P1(x1 , y2 ),P2 (x2 , y 2 ), 则 P1P2 = (x2 x1 , y2 y1 ) ，其实质是将向量的起点移到坐标原点.
¤例题精讲：
r r r r r r r r
【例 1】（1）已知 a = (1,3),b ( 3 2 = ,5), ，求 a + b ， a b ， (a + 2b ) .
uuuur 3
（2）已知 P1(m + n,m n),P2 (m n,m + n ), 求 PP . r r r r 1 2
解：（1） a + b = (1+ ( 3),3+ 5) = ( 2 ,8), a b = (1 ( 3),3 5) = (4, 2 ) ；
2 r r (a 2 + 2b ) = [ (1,3) + 2( 3,5)] 2= [ (1,3) + ( 6,10)] 2= ( 5,13) (10= , 26 ) .
uuu3ur 3 3 3 3 3
（2） P1P2 = (m n (m + n),m + n (m n)) = ( 2 n, 2n ) . uuuur
点评：此题是最基本的，求 P1P2 时不能搞错顺序，必须是终点坐标减去起点坐标. r r r r r r r r r
【例 2】（1）已知 e1 = (1,2), e 2 = ( 2 ,3), a = ( 1 , 2) ，试以 e1, e 2 为基底，将 a 分解为 a = λ1e1 + λ 2 e 2 ；
uuur uuur uuur uuur uuur
（2）已知 A( 1, 2), B (2,8), AC 1 = AB ， DA 1 = BA ，求 C、D 和CD 的坐标；
3 3
r r r λ 2λ = 1
解：（1）由 a = λ1e1 + λ 2 e 2 得： ( 1,2) = λ1(1,2) + λ2 ( 2,3) = (λ1 2λ2 , 2λ1 + 3λ2 ) ，得 { 1 2 2λ1 + 3λ2 = 2
1 4
r 1 ur 4 uur
解之得：λ1 = , λ 7 2
= ，所以 a = e + e .
7 7 1 7 2
uuur 1 uuur 1 uuur
（2） AC = AB = (3,6) = (1,2) ，所以 C (0,4) ，同理 D ( 2 ,0) ，所以 CD = ( 2, 4) .
3 3 uuuur uuur uuur uuur uuuur
【例 3】已知 A( 2,4), B(3, 1), C ( 3, 4) ，且 CM = 3CA,CN = 2C B ，试求点M、N 和MN 的坐标.
uuur uuur
解：由 A( 2,4), B(3, 1), C ( 3, 4) ，得 CA = ( 2 + 3,4 + 4) = (1,8),CB = (3 + 3, 1+ 4) = (6,3) ，
uuuur uuur uuur uuur
于是 CM = 3CA = 3(1,8) = (3,24), CN = 2CB = 2(6,3) = (12,6) .
uuuur
设 M = (x, y ) ，则 CM = (x + 3, y + 4) = (3,24) ，得 x = 0, y = 20, ∴ M (0,20) ，同理： N (9,2) .
uuuur
MN = (9 0,2 20) = (9, 1 8) ，
uuuur
综上得， M (0,20) ， N (9,2) ， MN = (9, 1 8) .
r r r r r r
点评：若 a = (x1 , y1),b = (x , y ),
x = x , x = x ,
2 2 则 a = b { 1 2 y = y ； a = b { 1 2 1 2 y1 = y 2 .
uuur uuur uuur
【例 4】已知点 O(0,0),A(1,2),B (4,5) 及OP = OA + t AB ，求：
（1） t 为何值时， P 在 x轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？
（2）四边形 OABP能否是平行四边形？若能，求出相应 t 的值，否则，请说明理由.
uuur uuur uuur
解：（1）OP = OA + t AB = (1+ 3《新课标高中数学精讲精练.必修④》
数学校本教材SX-A04
中山市东升高中、古镇高中、东区中学、仙逸中学联合编印
说明：
1、欢迎全国各地老师个人下载使用，并将意见反馈，禁止任何学校未经允许批量印刷；
2、本资料正在校稿中，难免有一些问题，欢迎各位指正；
3、因未正式定稿，所以暂时禁止任何网站转载，未经允许擅自转载，将追究其责任；
4、本校将定期组织编委指导本册书的修订；
5、目前有四所学校联合编印，我们希望有更多的学校联合使用。在广东省范围内的普通高中有此意愿的学校数学科教研组长或年级备课组长，请电话联系0760-6853660，或者发送邮件到dsgjb@
6、欢迎访问校本研修网页http://sx./nh
7、文件为PDF格式，请使用PDF工具软件进行阅读。
-----------------------------------------------------------------
附： 东升高中数学校本教材建设构想
一、校本教材编写的意义：
校本教材，就是以校为本，根据学校的情况，按照本校学生的知识结构，依托校园周围的人文地理环境，以及本地企业的经济发展情况，组织教师编写的教材. 编写自己学校的校本教材，一方面是对国家和省规划教材的补充，以更好地用好目前通用的课本教材；另一方面是与国家和省规定课程有机统一的，具有学校办学特色的校本课程的体现，让学生学习更贴近实际的知识，促进全面发展.
在新一轮课程改革中，校本教材建设要求教师根据学生的特点，选择、整合并优化教学资源，在教学实践中经常反思，讨论修正，逐步提高教材质量，同时教师和学生都获得更强的能力和更高的素质. 第一次的教材编写是校本教材建设中的一个主要步骤，经过实践与讨论，可以进行下一轮的教材编写、修订工作. 一蹴而就、一劳永逸又能生机无限的校本教材是不存在的，必须在反复的反思、修订中提高，增强校本教材的生命力.
二、第一轮校本教材《新课标高中数学精讲精练》编写计划：
1. 教材模板：
本校数学教师在长期教学中，使用过许多教辅资料，感觉到大多数是繁、难、杂，从而构思出一种精讲精练的学生配套练习用书模式，《精讲》包括复习目标、知识要点、典型例题（3～4个）等三个部分；《精练》包括基础达标（5个选择题＋2个填空题）、能力提高（2个解答题）、探究创新（1个创新题）等三个部分. 书稿模板具体内容见附件.
2. 教材册数：
现行高中数学新课标教材结构为：必修课程有5个模块，选修系列1有2个模块，选修系列2有3个模块，选修系列4普遍开设2～4个专题（几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲），教材版本以人教A版为主流.
针对以上情况，《新课标高中数学精讲精练（人教A版）》丛书计划按模块共分12册（5+5+2），各册控制在28讲左右，字数在5万字左右，页码在70页左右（含答案），定价在6.5～7.5元左右.