1.3正方形的性质与判定同步练习 2023--2024学年北师大版数学九年级上册（含答案）

1.3正方形的性质与判定同步练习
一、单选题
1．如图，在边长为1的正方形中，当第1次作，第2次作；第3次作，……依次方法继续作垂直线段，当作到第10次时，所得的最小的三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ）
A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形
3．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1）
4．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
5．四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（　　）
A． B．1 C．4 D．8
6．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
7．如图，在正方形纸片ABCD上，E是AD上一点（不与点A，D重合）．将纸片沿BE折叠，使点A落在点A处，延长EA'交CD于点F，则∠EBF＝（　　）
A．40° B．45° C．50° D．不是定值
8．如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是（ ）
A．16 B．4 C．8 D．8
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
13．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加 ，才能保证四边形EFGH是正方形．
14．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 ．
15．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是 度．
16．如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是 cm2．
17．如图，正方形的边长为4，点E、F分别在和上，，则的面积为 ．
三、解答题
18．如图，四边形是正方形，是等边三角形，求的度数．
19．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
20．如图，在矩形ABCD中，M是边AD的中点，P是边BC上的动点，且，，
垂足分别为E，F．
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么数量关系时，四边形PEMF是矩形？证明你的结论．
(2)若四边形PEMF是矩形，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF是正方形？证明你的结论．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
22．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求正方形ABCD的面积．
参考答案
1--10BADCC ABACC 11--12BD
13．AC⊥BD，AC=BD/ AC=BD， AC⊥BD
14．10
15．67.5．
16．
17．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAD＝90°，BE＝BC，∠CBE＝60°，
∴AB＝BE，∠ABE＝90° 60°＝30°，
∴∠AEB＝∠EAB＝（180° 30°）＝75°．
19．（1）连接EF，∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH//BE，FH=BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF=GH，
∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，
∴且GH//BC，
∴EF⊥BC，
∵AD//BC，AB⊥BC，
∴AB=EF=GH=a，
∴矩形ABCD的面积=
20．（1）当时，四边形PEMF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，M是边AD的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形PEMF是矩形，
即当时，四边形PEMF是矩形．
（2）当点P运动到边BC的中点时，矩形PEMF是正方形，此时．
证明：∵四边形PEMF为矩形，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
又∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当点P运动到BC的中点时，四边形PEMF是正方形．
21．（1）四边形是正方形，是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
；
（2）由题意可知：，
，
，
，，
由（1）得．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴．
∴，
即．
∵，
∴．
（2）证明：如下图：
∵，，
∴·
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点B作交AE的延长线于点F．
∵，，
∴由勾股定理得：．
由(2)知，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
∴，
在中，由勾股定理得：，
．