人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及综合问题 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.2.1等差数列的性质及综合问题 同步作业（原卷版）
1．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝(　　)
A．15　　　　　　　　　　 B．30
C．31 D．64
2．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等的实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
3．如果等差数列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．14 B．21
C．28 D．35
4．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
5．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝(　　)
A．20 B．22
C．24 D．28
6．在等差数列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则(　　)
A．an＝10n＋45 B．an＝6n－24
C．an＝10n－45 D．an＝6n＋24
7．【多选题】已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列结论中，不正确的有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
8．等差数列{an}的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为________．
9．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．
10．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．
11．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
12．无穷等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则它有且仅有有限个负项的条件是(　　)
A．a1＞0，d＞0 B．a1＞0，d＜0
C．a1＜0，d＞0 D．a1<0，d<0
13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
14．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
15．若关于x的方程x2－x＋a＝0与x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a＋b的值是(　　)
A. B.
C. D.
16．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)＝(　　)
A. B．±
C．－ D．－
17．设公差为－2的等差数列{an}满足a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(　　)
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
18．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．
1．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为(　　)
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
2．已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
人教版高中数学选择性必修第二册
4.2.1等差数列的性质及综合问题 同步作业（解析版）
1．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝(　　)
A．15　　　　　　　　　　 B．30
C．31 D．64
答案　A
解析　a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.
2．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等的实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
答案　A
解析　∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实根．
3．如果等差数列中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．14 B．21
C．28 D．35
答案　C
解析　由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12 a4＝4，故a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
4．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
答案　C
解析　∵{an}，{bn}都是等差数列，
∴{an＋bn}也是等差数列．
∵a1＋b1＝25＋75＝100, a2＋b2＝100，
∴{an＋bn}的公差为0，∴a37＋b37＝100.
5．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝(　　)
A．20 B．22
C．24 D．28
答案　C
解析　∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24.
又a8，a10，a12成等差数列，∴2a10－a12＝a8＝24.
6．在等差数列{an}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则(　　)
A．an＝10n＋45 B．an＝6n－24
C．an＝10n－45 D．an＝6n＋24
答案　C
解析　∵a6＋a7＋a8＝3a7＝75，∴a7＝25.
∴a3＋a12＝a7＋a8＝60，∴a8＝60－25＝35.
∴公差d＝a8－a7＝10.
∴an＝a7＋(n－7)d＝25＋(n－7)·10＝10n－45.
7．【多选题】已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列结论中，不正确的有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
答案　ABC
8．等差数列{an}的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为________．
答案　4
解析　2(2x＋1)＝x＋(4x＋2)，∴x＝0，
∴a1＝0，a2＝1，d＝a2－a1＝1，
∴a5＝a1＋4d＝4.
9．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．
答案　13
解析　由等差数列的性质有a2＋a6＝a3＋a5，则a6＝a3＋a5－a2＝7＋6＝13.
10．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．
答案　24
解析　a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，
公差d＝＝4，∴a75＝8＋(5－1)×4＝24.
11．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
答案　B
解析　设前三项为a－d，a，a＋d，则
由a－d＋a＋a＋d＝12知a＝4.
又由(4－d)×4×(4＋d)＝48知d2＝4，
∵{an}为递增数列，∴d＝2.
∴首项为4－2＝2.
12．无穷等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则它有且仅有有限个负项的条件是(　　)
A．a1＞0，d＞0 B．a1＞0，d＜0
C．a1＜0，d＞0 D．a1<0，d<0
答案　C
13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案　
解析　设竹子自上而下各节的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d＝，a1＝，所以a5＝.
14．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解析　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意，得
解得或
故所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
15．若关于x的方程x2－x＋a＝0与x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a＋b的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
16．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)＝(　　)
A. B．±
C．－ D．－
答案　D
解析　由题意可得3a7＝4π，∴a7＝，∴tan(a2＋a12)＝tan2a7＝tan＝tan＝－.
17．设公差为－2的等差数列{an}满足a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(　　)
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
答案　D
18．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．
答案　27
解析　a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
1．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项为(　　)
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
答案　D
解析　∵x2－2x－3<0，∴－12．已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
答案　A
解析　an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2.故选A.