5.3 什么是几何证明 教学设计 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.3 什么是几何证明
【教学目标】
1.了解基本事实、定理的意义，掌握本节中提出的基本事实，了解除了基本事实外，命题的真实性必须经过证明；
2.初步了解几何证明的三个步骤，通过例题了解几何证明的书写格式，知道证明要合乎逻辑，感受证明过程中的每一步推理都要有依据.
【教学重点】
基本事实、定理的意义以及本节中提出的基本事实.
【教学难点】
几何证明的三个步骤、书写格式，知道证明要合乎逻辑.
【教学过程】
一、温故探新
1.什么是基本事实？
从已经了解的数学命题中，挑选出一部分人们通过长期实践总结出来，被大家所公认的命题作为基本事实，用基本事实作为证实所有其他几何命题的起始依据.
2.我们学过哪些基本事实？
常用的基本事实：
（1）两点确定一条直线;
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行;
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
（9）等式的基本性质以及不等式的基本性质(以后学习).
（10）等量代换：如果a=b，b=c，那么a=c；如果a＞b，b=c，那么a＞c.
二、新知探究
1.怎样用推理的方法证实一个命题是真命题的呢？
命题需要由基本事实、定义、已证实的结论及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实.推理的过程叫做证明.
我们把经过推理得到证实的真命题叫做定理，定理与定义和基本事实一样，具有普遍的意义.
注意：（1）基本事实也称为“公理”，可直接作为说明其他命题是真命题的依据，其本身的真实性不需要证明.
（2）定理一定是真命题，但是真命题不一定是定理.不是所有的真命题都可以作为定理，只有教材中规定的真命题才可以作为定理（一般用黑体字标出），否则其真实性在证明的过程中需要证出才能使用.
（3）定理可以作为今后证明其他命题的依据.
2.例题解析
【例1】求证：同角的余角相等.
已知：如图，∠1与∠α互余， ∠2与∠α互余.
求证： ∠1=∠2.
证明：∵∠1与∠α互余(已知)，
∴∠1+∠α=90°（余角的定义）.
∴∠1=90°－∠α（等式的基本性质）.
又∵∠2与∠α互余. （已知）
∴∠2+∠α=90°. （余角的定义）
∴∠2=90°－∠α. （等式的基本性质）
∴∠1=∠2(等量代换).
【例2】“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，这是对顶角的性质，你能证明它的正确性吗？你能找出条件和结论吗？并转化为图形语言和符号语言.
已知：如图，∠AOC与∠BOD是对顶角，
求证：∠AOC=∠BOD
证明：∵∠AOC与∠BOD是对顶角（已知）.
∴∠AOC+∠AOD=180°，
∠AOD+∠BOD=180°（平角的定义）.
∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD（等量代换）.
∴∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）.
3.总结几何证明的一般步骤
第1步：根据题意，画出图形.
第2步：结合图形，根据条件、结论，写出已知、求证.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论.书写时，应把图形所表达的数学涵义（即图形语言）根据命题中的文字语言转化为符号语言.
第3步：找出由已知推出求证的途径，写出“证明”.
三、课堂练习
1.下列命题中，不是基本事实的是( )
A.如果a=b,b=c,那么a=c
B.等量加等量，和相等
C.等量减等量，差相等
D.对顶角相等
答案：D
2.如下图，已知AB∥CD，∠1=∠2.求证：∠E=∠F.
证明：方法1：如下图，连接BC.
因为AB∥CD(已知），
所以∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
即∠1+∠EBC=∠2+∠FCB.
又因为∠1=∠2（已知），
所以∠EBC=∠FCB（等式的基本性质）.
所以EB∥CF（内错角相等，两直线平行）.
所以∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）.
方法2：如下图，延长BE交DC的延长线于点G.
因为AB∥CD（已知），
所以∠1=∠G（两直线平行，内错角相等）.
因为∠1=∠2（已知），
所以∠G=∠2（等量代换），
所以BG∥CF（同位角相等，两直线平行），
所以∠BEF=∠F（两直线平行，内错角相等）.
四、课堂小结
1.基本事实的概念及意义；
2.基本事实的内容；
3.证明的概念及步骤.