5.5.2 直角三角形的的内角和 教学设计 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.5 三角形的内角和定理
第2课时 直角三角形的的内角和
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）了解直角三角形的表示法.掌握直角三角形的性质定理和它的判定定理；
（2）会用直角三角形的性质定理和它的判定定理进行推理.能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明.
2.过程与方法：经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充.
3.情感态度与价值观: 通过“探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心.【教学重点】
直角三角形性质定理及应用.
【教学难点】
直角三角形性质定理的证明.
【教学过程】
一、新课导入
1.任取一副三角尺，每个三角尺中的两个锐角度数分别是多少？
上面三角尺中的两个锐角度数分别是30°，60°.下面三角尺中的两个锐角度数分别是45°，45°.
2.任画一个Rt△ABC，∠C为直角，两个锐角之间有什么数量关系？怎么证明你的结论？
二、新课探究
（一）直角三角形的性质定理及其判定定理
1.我们探究一下导入中的问题2，根据问题1，我们可以猜测：∠A+∠B=90°.下面我们来证明这个结论.
已知：Rt△ABC.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：在Rt△ABC中，
∵∠A+∠C+∠B=180°
∴∠B+∠A=180°－∠C.
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°.
于是，就得到：
直角三角形的性质定理：直角三角形两锐角互余.
2.直角三角形性质定理的逆命题是什么？它是真命题还是假命题？
直角三角形性质定理的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形.
如果它是真命题，我们可以尝试证明它.
已知：在△ABC中， ∠A＋∠B ＝ 90゜.
求证：△ABC是直角三角形.
在△ABC中，
∵∠A+∠C+∠B=180°
∴∠B+∠A=180°－∠C.
∵∠B+∠A=90°，
∴180°－∠C=90°，
∴∠C=90°.
所以，“两锐角互余的三角形是直角三角形”是真命题，它可以作为直角三角形的一个判定定理.
（二）例题解析
【例】已知：如下图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠B.求证：△ABC是直角三角形.
证明：因为AD⊥BC（已知），
所以∠ADC=90°（垂直的定义）.
所以△ACD是直角三角形（直角三角形的定义）.
所以∠1+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）.
因为∠1=∠B（已知），
所以∠B+∠C=90°（等量代换）.
所以△ABC是直角三角形（两个锐角互余的三角形是直角三角形）.
总结：证明直角三角形的两种方法
方法1：证明三角形中有一个角是直角；
方法2：证明三角形中有两个锐角互余．
三、课堂练习
1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D.
求证：∠1=∠B.
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°.
在△ADC中，
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°.
∴△ADC是直角三角形.
∴∠A+∠1=90°.
∴∠1=∠B.
2. 已知△ABC，BC边上的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数.
解：（1）当高AD在△ABC的内部时，如图①所示.因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，
所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.
（2）当高AD在△ABC的外部时，如图②所示.
因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，
所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°.
综合（1）（2）可知，∠BAC的度数为90°或50°.
四、课堂小结
1. 直角三角形的性质定理及其判定定理.
2. 证明直角三角形的两种方法.