5.2 为什么要证明 教学设计 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.2 为什么要证明
【教学目标】
1.了解证明的含义，理解证明的必要性；
2.能根据观察、实验、归纳、类比等方法找出规律和结论；
3.通过学习证明，体会数学的严密性，养成言必有据的好习惯.
【教学重点】
能根据观察、实验、归纳、类比等方法找出规律和结论.
【教学难点】
能根据观察、实验、归纳、类比等方法找出规律和结论.
【教学过程】
一、情境导入
1.如图1（1）中的两条线段a与b长度相等吗？请先观察再度量一下；图1（2）中三条线段a、b、c，哪一条线段和线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.
A同学说：a比b长. 线段c与线段d在同一条直线上.
B同学说：看起来是这样的.
教师说：你们的结论是错误的.
大家说说这是为什么呢？
二、新课探究
下面我们通过实例说明证明的必要性.
1. 直观得出的结论不一定正确
【例】解决上面的问题
解：（1）对于图（1）直接观察可能得出结论，线段a比线段b长，而实际上经测量，线段a与线段b是一样长的；
（2）对于图（2）直接观察可能得出结论，线段c与线段d在同一直线上，而实际上经测量，线段b与线段d在同一直线上.
通过上面的例子我们发现，凭直观得出的结论不一定正确
2.只凭已有经验猜测出的结论，也不一定正确
【例】如果按1分钟数一百个数字的速度，从1数到10000要用多少时间？小亮认为，3分钟数完没问题，你的想法和小亮一样吗？
解：为了便于计算，在数多位数时，只读出各数位上的数字，不读出位数，如数到11，读作“1,1”，从10到99有99-9=90个两位数字；从100到999有900个三位数字；1000到9999有9000个四位数字；，因此从1数到10000共数了
9×1+90×2+900×3+9000×4+5=38894个数字，大约需要389分钟，即6小时29分才能数完.
通过上面的例子我们发现，只凭已有经验猜测出的结论，也不一定正确.
3.只对部分对象进行研究就归纳出一般的结论，也未必正确
【例】当1，2，3，4，5时，代数式的值是质数吗 你能否得到结论：对于所有自然数，的值都是质数
解：通过计算，当1，2，3，4，5时，代数式的值是质数，所以有人猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”其实可以验证时，代数式的值都是质数，但是当n=41时，显然是个合数，所以猜想不成立。
通过上面的例子我们发现，只对部分对象进行研究就归纳出一般的结论，也未必正确。
4.只凭若干次实验猜测出一般的结论，也未必正确
【例】大刚做抛掷一枚硬币的实验，结果:第一次正面朝上,第二次反面朝上，第三次正面朝上，于是他猜测第四次反面朝上，然而，实验发现第4次正面朝上，这是为什么呢？
通过上面的例子我们发现，只凭若干次实验猜测出一般的结论，也未必正确.
5.通过类比得出一般的结论，也未必正确
【例】小英由“两个正数相加，和大于每一个加数”类比得到“两个有理数相加，和大于每个加数”，然而“-3+2=-1”，其中，和-1小于加数2.
通过上面的例子我们发现，通过类比得出一般的结论，也未必正确.
结论：综上所述，由观察、实验、归纳和类比得到的命题都仅仅是一种猜想，不能保证它是真命题.要确定命题的正确性，还需要进一步有根据地说明经过严密的逻辑推理加以证实，才能承认它是真命题.
三、课堂练习
1.假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看作球形）？能伸进一根小手指吗？能放进一只拳头吗？
解：本题的问题直觉上似乎是否定的，因为1m与地球赤道相差太远了，1m对地球赤道的长度来说，太微乎其微了，所以给予否定，但是只要实际计算一下，你会感到非常吃惊.
设地球赤道的周长为c，半径为R，铁丝的半径为R，
则R- R=-=≈0.16（m）.
显然，这样的间隙不仅可以伸进一根小手指，而且也能放进一只拳头.
2. 当n=0,1,2,3,4,5时，代数式n2-n+11的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数？
解：当n=0时，n2-n+11=11,11是质数；
当n=1时，n2-n+11=11,11是质数；
当n=2时，n2-n+11=13,13是质数；
当n=3时，n2-n+11=17,17是质数；
当n=4时，n2-n+11=23，23是质数；
当n=5时，n2-n+11=31,31是质数.
所以当n=0,1,2,3,4,5时，代数式n2-n+11的值都是质数.
当n=6时,n2-n+11=41,41是质数；
当n=7时，n2-n+11=53，53是质数；
当n=8时，n2-n+11=67,67是质数；
当n=9时，n2-n+11=83，83是质数；
当n=10时，n2-n+11=101，101是质数；
当n=11时，n2-n+11=121，121=112不是质数.
所以当n=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10时，n2-n+11的值全是质数，而当n=11
时，n2-n+11=121，121不是质数,
所以对于所有的自然数n,n2-n+11的值不全是质数，
即不能得出对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数的结论.
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟？