三角形的内切圆
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课件21张PPT。三角形的内切圆南城中学提出问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ 作圆: 使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆O就是所求的圆。2、和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。想一想：根据作法,和三角形各边都 相切的圆能作出几个？ DEF1、什么是三角形的外接圆与内切圆？
2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？画圆的关键：
1、确定圆心 2、确定半径 三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径是交点到顶点的距离。 三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是交点到一边的距离。三角形的外接圆与内切圆 ①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。
②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。⒉外心与内心的比较：1、①外心是指三角形外接圆的圆心；
②内心是指三角形内切圆的圆心。三角形的外心与内心提示：关键是利用
内心的性质如果∠ A＝120 ° ，∠ BOC=？如果∠ A=n ° ， ∠ BOC=?因此：在△ABC中，∠A＝n ° ，点O是△ABC的内心，∠BOC＝90 ° ＋ n °例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ，点O是内心，求∠ BOC的度数。
例:已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=EC
ABCIDE证明： 连结BI
∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
123454. 例题例、已知：如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB ∥DC。
求证：﹙1﹚∠BOC=90°
﹙2﹚ OF2=BF·CF．证明： ﹙1﹚∵ AB ∥DC，
∴∠ABC+ ∠BCD=180 °
∵AB、BC、CD是⊙O的切线，
∴BO平分∠ ABC，CO平分∠BCD，
∠OBC+∠OCB= ×180 °=90 °
即∠BOC=90 °。达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。 （ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径————，内切圆半径————。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————。
三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆×√6.5cm2cm2:1C1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130° 2、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）
（A）1∶ ∶ （B）1∶2∶
（C）1∶ ∶2 （D）1∶2∶3 巩固练习：ABCI1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心
则，∠BIC＝————度。ABCDEF2、如图，△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝————度。
112.567.5课堂练习：
1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（ ）
（2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（ ）
（3）若O为△ABC的内心，
则OA＝OB＝OC。（ ）√××三个内角的角平分线的交点三边的距离相等ABCOI三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R= —c2r = ————a+b-c2abc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法若已知圆的三条切线呢？ABCDEF设△ABC的BC=a，CA=b，AB=c，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.Ixyzy+z=a
x+z=b
x+y=c分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
例：已知在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,
AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、
AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。xxyyzz已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。比一比
看谁做得快.ABCabcrr =a+b-c2例：直角三角形的两直角边分别是5cm，
12cm 则其内切圆的半径为______。OEF 练习2 已知：△ABC是⊙O外切三形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
? x+y=13
y+z=14
x+z=9课本第页 : 题。书山有路勤为径
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ 作圆: 使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆O就是所求的圆。2、和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。想一想：根据作法,和三角形各边都 相切的圆能作出几个？ DEF1、什么是三角形的外接圆与内切圆？
2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？画圆的关键：
1、确定圆心 2、确定半径 三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径是交点到顶点的距离。 三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是交点到一边的距离。三角形的外接圆与内切圆 ①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。
②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。⒉外心与内心的比较：1、①外心是指三角形外接圆的圆心；
②内心是指三角形内切圆的圆心。三角形的外心与内心提示：关键是利用
内心的性质如果∠ A＝120 ° ，∠ BOC=？如果∠ A=n ° ， ∠ BOC=?因此：在△ABC中，∠A＝n ° ，点O是△ABC的内心，∠BOC＝90 ° ＋ n °例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ，点O是内心，求∠ BOC的度数。
例:已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。求证：EB=EI=EC
ABCIDE证明： 连结BI
∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
123454. 例题例、已知：如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB ∥DC。
求证：﹙1﹚∠BOC=90°
﹙2﹚ OF2=BF·CF．证明： ﹙1﹚∵ AB ∥DC，
∴∠ABC+ ∠BCD=180 °
∵AB、BC、CD是⊙O的切线，
∴BO平分∠ ABC，CO平分∠BCD，
∠OBC+∠OCB= ×180 °=90 °
即∠BOC=90 °。达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。 （ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径————，内切圆半径————。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————。
三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆×√6.5cm2cm2:1C1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130° 2、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）
（A）1∶ ∶ （B）1∶2∶
（C）1∶ ∶2 （D）1∶2∶3 巩固练习：ABCI1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心
则，∠BIC＝————度。ABCDEF2、如图，△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝————度。
112.567.5课堂练习：
1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（ ）
（2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（ ）
（3）若O为△ABC的内心，
则OA＝OB＝OC。（ ）√××三个内角的角平分线的交点三边的距离相等ABCOI三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R= —c2r = ————a+b-c2abc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法若已知圆的三条切线呢？ABCDEF设△ABC的BC=a，CA=b，AB=c，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.Ixyzy+z=a
x+z=b
x+y=c分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
例：已知在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,
AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、
AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。xxyyzz已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。比一比
看谁做得快.ABCabcrr =a+b-c2例：直角三角形的两直角边分别是5cm，
12cm 则其内切圆的半径为______。OEF 练习2 已知：△ABC是⊙O外切三形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
? x+y=13
y+z=14
x+z=9课本第页 : 题。书山有路勤为径