21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 导学案（含答案）人教版九年级数学上册

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1、知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系，会求一元二次方程的两根之和与两根之积.
2、理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程
3.能利用根与系数的关系求代数式的值，增强综合应用知识解决问题的能力.

重点：.会求一元二次方程的两根之和与两根之积.
难点：.利用根与系数的关系求字母的值及字母的取值范围.

学习过程
一、创设问题情境
1.一元二次方程的一般形式是什么?

2.一元二次方程的求根公式是什么?使用它的前提又是什么?

3.填写下表:
方程 两个根x1 x1 两根之和x1+x2 两根之积x1x2
x2+x-6=0
x2+10x+9=0
x2-6x+8=0

观察并说一下一元二次方程的系数与根的关系吗?


二、揭示问题规律
1.推导公式：
以x1、x2为根的方程(x-x1)(x-x2)=0的一般形式是　x2-(x1+x2)x+x1x2=0 　，若x1、x2是方程x2+px+q=0的两个根，那么x1、x2与p、q之间的关系是x1+x2=　-p　，x1x2=　q　.
一元二次方程的两根为式x=(b2-4ac≥0),
计算：x1+x2=+=；
x1x2=·=.
2.根与系数的关系定理：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=

三、尝试应用

【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1与x2的和与积:
(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.



【例2】已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：
（1）+的值； （2）m2﹣mn+n2的值．
【分析】根据m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，由根与系数的关系得出m+n和mn的值，再把要求的式子进行变形，再把m+n和mn的值代入即可.




四、自主总结
1.本节课我们学习了一个什么关系?

2.在利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积时要注意什么步骤?

五、达标测试
1.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为(　　)
A.﹣2 B.1 C.2 D.0
2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为(　　)
A.1 B.﹣3 C.3 D.4
3.若?α?，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是(　　)
A. B.﹣ C.﹣ D.
4.已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则??+??﹣????的值是(　　)
A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣3
5.已知一元二次方程x2-2k（x-1）-1=0的两实根的和等于这两实根的平方和，则k所有可能的值是（　　）
A．1，2 B．1， C．2， D．-1，-2
6.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，-3，而小华看错常数项，解错两根为-2，5，那么原方程为（　　）
A．x2-3x+6=0 B．x2-3x-6=0 C．x2+3x-6=0 D．x2+3x+6=0
二、填空题
6.若关于x的一元二次方程可以配方成（x﹣2）2﹣4＝0的形式，则该方程的两根之和为 　　．
7.已知、是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足=-（1+），则m的值是_________.
8.若α、β是方程x2+2x﹣2022＝0的两个根，则：α2+3α+β的值为 　　．

三、解答题
9.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．








10.已知关于x的方程（m-1）x2-x-2=0．
（1）若x=-1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）当m为何实数时，方程有实数根；
（3）若x1，x2是方程的两个根，且＝?，试求实数m的值．




21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.D
2.C解析:设方程的另一个解为x1，根据题意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3.
3.C解析：∵??、??是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴??+??=﹣，αβ=﹣3，
∴+==4.B 解析：∵??，??是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴??+??=﹣1，????=﹣2，∴??+??﹣????=﹣1+2=1.
5.B 解析：将原方程整理得：x2-2kx+2k-1=0，则根据根与系数的关系：x1+x2=2k，x1?x2=2k-1，又由题意可知x1+x2=x12+x22，∴x1+x2=（x1+x2）2-2x1?x2，即2k=（2k）2-2（2k-1）整理得：2k2-3k+1=0，解得：k=1或．
6.B 解析：小明看错一次项系数，解得两根为2，-3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为-2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是、，可得：? =-6，+ =-3，那么以、为两根的一元二次方程就是x2-3x-6=0．
6. 4解析：（x﹣2）2﹣4＝0，x2﹣4x+4﹣4＝0，x2﹣4x＝0，则该方程的两根之和为4．
7.3 解析：△=（2m+3）2-4m2＞0，解得m＞-，+=-（2m+3），=m2，∵=-（1+），即++=0，∴-（2m+3）+m2=0，即m2-2m-3=0，解得m1=-1，m2=3，而m＞-，∴m=3．
8.2022解析：∵α、β是方程x2+2x﹣2022＝0的两个根，
∴α2+2α﹣2022＝0，α+β＝﹣2，
∴α2+2α＝2022，
∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝2022﹣2＝2020．

9.解：关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0有两个实数根，由根与系数的关系，得又∵x1=3x2 ③，联立①、③，解方程组得，∴k=x1x2+3=3×1+3=6.
10.解：（1）将x=-1代入原方程得m-1+1-2=0，解得：m=2，设方程的另一根是x，则x-1=1，∴另一根为x=2．（2）当m=1时，方程是一元一次方程，-x-2=0，此时的实数解为x=-2；当m不等于1时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有△=b2-4ac≥0，∴1+4×2（m-1）≥0．解得：m≥．即当m≥时，方程有实数根．（3）∵x1+x2= ，x1x2=- ．x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=（- ）（）=-．解得：m1=5，m2=-3，∵m≥，∴m=5．