人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时 同步作业（含解析）

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4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时 同步作业（原卷版）
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝(　　)
A．40　　　　　　　　　　 B．42
C．43 D．45
2．在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为(　　)
A．an＝n－ B．an＝－5－(n－1)
C．an＝－5－(n－1) D．an＝n2－3n
3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
4．【多选题】数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，那么该数列中相邻两项的乘积为正数的是(　　)
A．a21和a22 B．a22和a23
C．a23和a24 D．a24和a25
5．(高考真题·重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
6．(高考真题·广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 013＝________．
8．在200到600之间，被5除余2的整数有______个．
9．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列为等差数列，则an＝________．
10．数列{an}满足an＋12＝an2＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________．
11．将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，若每行可写12个数，每页共15行，则数1 997应抄在第________页第________行第________个位置上．
12．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.求数列{an}的通项公式．
13．设数列{an }是公差不为零的等差数列，且a20＝22，|a11|＝|a51|，求数列{an}的通项公式．
14．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
15．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
1．等差数列{an}的公差为，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝________．
2．若三个数成等差数列，它们的和是9，平方和是59，则这三个数的积为________．
3．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．
4．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
5．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
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4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时 同步作业（解析版）
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝(　　)
A．40　　　　　　　　　　 B．42
C．43 D．45
答案　B
解析　∵a2＋a3＝13，∴2a1＋3d＝13.∵a1＝2，∴d＝3.
而a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.
2．在等差数列－5，－3，－2，－，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为(　　)
A．an＝n－ B．an＝－5－(n－1)
C．an＝－5－(n－1) D．an＝n2－3n
答案　A
解析　首项为－5，公差为＝，
∴an＝－5＋(n－1)·＝n－.
3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
答案　D
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
∴Δ＝(2b)2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
4．【多选题】数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，那么该数列中相邻两项的乘积为正数的是(　　)
A．a21和a22 B．a22和a23
C．a23和a24 D．a24和a25
答案　ABD
解析　由3an＋1＝3an－2可知{an}为等差数列，且d＝－，又a1＝15，∴an＝15＋(n－1)·＝，由an>0，得n≤23.故A、B、D正确．
5．(高考真题·重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．6
答案　B
解析　由等差数列的性质得a2，a4，a6仍成等差数列，∴a6＝0.故选B.
6．(高考真题·广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
答案　20
解析　因为数列{an}为等差数列，
所以由等差数列的性质，得a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10.
所以3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋a4＋a6＋a7＝2×10＝20.
7．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 013＝________．
答案　5
解析　由a1＝1，a2＝6及an＋2＝an＋1－an，得
a3＝a2－a1＝6－1＝5，
a4＝a3－a2＝5－6＝－1，
a5＝a4－a3＝－1－5＝－6，
a6＝a5－a4＝－6－(－1)＝－5，
a7＝1，a8＝6，a9＝5，a10＝－1，a11＝－6，a12＝－5，….
因此{an}是以6为周期的数列，所以a2 013＝a6×335＋3＝a3＝5.
8．在200到600之间，被5除余2的整数有______个．
答案　80
解析　由200≤5n＋2≤600，得39.6≤n≤119.6.
∴(119－40)＋1＝80.
9．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列为等差数列，则an＝________．
答案　
解析　∵＝＋4d，∴d＝，
∴＝＋(n－3)d＝，∴an＝.
10．数列{an}满足an＋12＝an2＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________．
答案　
解析　由已知得数列{an2}为等差数列，首项为a12＝1，公差为4，∴an2＝1＋(n－1)·4＝4n－3，又an＞0，∴an＝.
11．将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，若每行可写12个数，每页共15行，则数1 997应抄在第________页第________行第________个位置上．
答案　3　4　4
解析　an＝5n－3，由5n－3＝1 997，得n＝400.
每页共12×15＝180个数，360＜400＜540.
又400－360＝40＝3×12＋4，
∴1 997应抄在第3页第4行第4个位置上．
12．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.求数列{an}的通项公式．
解析　因为{an}是等差数列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.
设数列{an}的公差为d，
则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d，得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
13．设数列{an }是公差不为零的等差数列，且a20＝22，|a11|＝|a51|，求数列{an}的通项公式．
解析　设公差为d，∵a20＝22，|a11|＝|a51|，
∴|22－9d|＝|22＋31d|.
∵d≠0，∴22－9d＝－22－31d.
∴d＝－2，∴a1＝22－19×(－2)＝60.
∴an＝－2n＋62.
14．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析　(1)证明：∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝，又∵b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n，
∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2.
15．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
解析　(1)证明：xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N*)，
所以＝＝＋，
－＝(n≥2，n∈N*)．
所以是等差数列．
(2)由(1)知的公差为.又因为x1＝，
所以＝＋(n－1)×，＝2＋(100－1)×＝35.所以x100＝.
1．等差数列{an}的公差为，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝________．
答案　85
解析　由等差数列的定义知a2＋a4＋a6＋…＋a100＝
a1＋a3＋a5＋…＋a99＋50d＝60＋25＝85.
2．若三个数成等差数列，它们的和是9，平方和是59，则这三个数的积为________．
答案　－21
解析　设三个数为a－d，a，a＋d，则
或
所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1.
所以这个三个数的积为－21.
3．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．
解析　首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为an＝3n＋5，
首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为bn＝4n＋8.
根据公共项的意义，就是两项相等，令an＝bm，即n＝＋1，该方程有正整数解时m＝3k，k为正整数，令k＝1，得m＝3，n＝5，因此这两个数列有最小的公共项，为20，分别是第一个数列的第5项，第二个数列的第3项．
4．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
解析　(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，
即－＝2，
所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，
故an＝2n2－n.
5．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
证明　∵，，成等差数列，
∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．
∵＋＝
＝
＝＝＝，
∴，，成等差数列．