人教版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用 复习提升(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用复习提升(含解析)
易混易错练
易错点1　对导数的定义理解不够准确致错
1.()若=1(m为常数),则f'(x0)等于(　　)
A.-m B.1 C.m D.
2.()利用导数的定义,求f(x)=在x=1处的导数.
易错点2　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错
3.()已知函数f(x)=x3+2x-8,则曲线y=f(x)在点(0,-8)处的切线方程为　　　;若曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+1垂直,则切点坐标为　　　.
4.()求曲线y=x3+2x过点(1,3)的切线方程.
易错点3　对复合函数的求导法则理解不透致错
5.()已知函数f(x)=ln(1-x),则f'(x)=　　　　.
6.()求曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.
易错点4　忽视取极值的条件致错
7.()函数f(x)=(x2-1)3+2的极值点是(　　)
A.x=1 B.x=-1或x=1或x=0
C.x=0 D.x=-1或x=1
8.()设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
易错点5　利用导数研究函数单调性时忽视定义域致错
9.()求函数y=x(a>0)的单调递减区间.
10.()已知函数f(x)=ax--2ln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
易错点6　混淆极值与最值致错
11.()求函数f(x)=sin 2x-x在上的最大值和最小值.
12.()已知函数f(x)=2ax-ln(2x),x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
易错点7　利用导数研究实际问题时忽视定义域致错
13.()某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
思想方法练
一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用
1.(2020北京清华大学附属中学高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+1.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)若存在非零实数a,使得f(x)≥ax-ax2-在x∈[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
2.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知函数f(x)=cos x+ax2-1.
(1)当a=时,证明:f(x)≥0;
(2)若f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围.
二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用
3.()设函数f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,若f(x)-f(-x)=2x3,且当x>0时, f'(x)>3x2,则不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1的解集为(　　)
A.(-∞,2) B.
C. D.(2,+∞)
4.()定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f'(x)< f(x),且f(x)f(x+2)=-1,若f(2 019)=-e,则不等式f(x)5.(2020河北武邑中学高三上期末,)已知函数f(x)=excos x-xsin x,g(x)=sin x-ex,其中e是自然对数的底数.
(1) x1∈, x2∈,使得不等式f(x1)≤m+g(x2)成立,试求实数m的取值范围;
(2)若x>-1,求证: f(x)-g(x)>0.
三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用
6.(2020山东临沂高二上期末,)已知函数f(x)=若方程F(x)=f(x)-ax有4个零点,则 a的可能的值为(　　)
A. B.1 C. D.
7.()已知曲线f(x)=-x3+3x2+9x+a与x轴只有一个交点,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
8.()已知函数f(x)=mxln x,m∈R,若f(x)的最小值为-.
(1)求实数m的值;
(2)若a∈R,讨论关于x的方程f(x)-ax2=0的解的个数.
答案全解全析
易混易错练
1.D　由题意得m=1,
所以mf'(x0)=1,所以f'(x0)=.故选D.
2.解析　Δy=f(1+Δx)-f(1)
=-
=-,
∴=,
∴f'(1)=
=
==.
3.答案　y=2x-8;(1,-5)或(-1,-11)
解析　由题意得f'(x)=3x2+2,当x=0时,f'(0)=2,所以切线的斜率k=2,由点斜式方程可求得切线方程为y-(-8)=2(x-0),整理得y=2x-8.
由已知直线的斜率为-,可知所求切线的斜率存在且切线斜率k'=5,由f'(x)=3x2+2=5,解得x=±1,当x=1时,代入得f(1)=-5;当x=-1时,代入得f(-1)=-11.
4.解析　y=x3+2x的导数为y'=3x2+2.设切线在曲线上的切点为(x0,+2x0),则切线斜率k=3+2,
则切线方程为y--2x0=(3+2)(x-x0),
因为该切线过点(1,3),
所以3--2x0=(3+2)(1-x0),
化简得(x0-1)2(2x0+1)=0,
所以x0=1或x0=-.
于是切线方程为5x-y-2=0或11x-4y+1=0.
5.答案　
解析　f'(x)=·(1-x)'
=·(-1)=.
6.解析　依题意得y'=e-2x×(-2)=-2e-2x,
y'x=0=-2e-2×0=-2,
故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.
在平面直角坐标系中画出直线y=-2x+2,y=x,
注意到直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是A,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是B(1,0),
故直线y=0,y=x和y=-2x+2所围成的三角形AOB的面积等于×1×=.
7.C　由题意得, f'(x)=6x(x-1)2(x+1)2,令f'(x)=0,得x=0或x=±1.
当x<0时, f'(x)≤0,当x>0时, f'(x)≥0,所以f(x)的极值点为x=0.故选C.
8.解析　(1)∵f(x)=aln x+bx2+x,
∴f'(x)=+2bx+1.
由题意可知, f'(1)=f'(2)=0,
即
解得
(2)x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.理由如下:由(1)知f(x)=-ln x-x2+x,x∈(0,+∞),
∴f'(x)=-x-1-x+1,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时, f'(x)<0;当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时, f'(x)<0,
∴函数f(x)在x=1处取得极小值,在x=2处取得极大值.
9.解析　由ax-x2>0,a>0,得0y'=+x·(ax-x2·(a-2x)
==,
令y'<0,得x<0或x>,又0∴函数的单调递减区间是.
10.解析　(1)由题意得, f'(x)=a+-=(x>0).
①当a≤0时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
②当a>0时,令g(x)=ax2-2x+a,
∵函数f(x)在区间[1,+∞)上是单调函数,
∴g(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
∴a≥在区间[1,+∞)上恒成立.
令u(x)=,x∈[1,+∞).
∵u(x)=≤=1,当且仅当x=1时取等号,∴a≥1.
∴当a≥1时,函数f(x)单调递增.
∴实数a的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞).
(2)由(1)可知,①当a≤0时, f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a≥1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当0解得x=或x=.
∴函数f(x)在,上单调递增,在上单调递减.
11.解析　由已知得, f'(x)=2cos 2x-1.
令f'(x)=0,得2cos 2x-1=0,
解得x=-或x=.
因为f=-, f=-+, f=-, f=,
所以函数f(x)在上的最大值和最小值分别为,-.
易错警示　最大值与极大值是解题中易混的概念,最大值不一定是极大值,是极大值与端点值中的最大者.只有有唯一极值点时,极大值才是最大值.
12.解析　(1)当a=1时, f(x)=2x-ln(2x),f'(x)=2-=,x∈(0,e],
当00, f(x)单调递增.
所以f(x)的极小值为f=1,
故f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为, f(x)的极小值为f=1,无极大值.
(2)假设存在实数a,使f(x)=2ax-ln(2x),x∈(0,e]的最小值是3,
f'(x)=2a-=,x∈(0,e],
①当a≤0时,因为x∈(0,e],
所以f'(x)<0, f(x)在(0,e]上单调递减,
所以f(x)min=f(e)=2ae-ln(2e)=3,
解得a=(舍去).
②当0<时, f(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以f(x)min=f=1-ln=3,
解得a=e2,满足条件.
③当≥e,即0所以f(x)min=f(e)=2ae-ln(2e)=3,
解得a=(舍去).
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时, f(x)的最小值为3.
易错警示　利用导数解决函数问题时,已知极值点求出参数的值后,要代回验证参数值是否满足极值的定义,防止漏掉验证导致错误,讨论极值点的实质是讨论函数的单调性,即f'(x)的正负;求函数的最大(小)值时,要将函数的各极值与端点处的函数值进行比较,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,防止错解.
13.解析　(1)由已知得,蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的建造成本为160πr2(元),所以蓄水池的总建造成本为200πrh+160πr2=12 000π(元),所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).由h>0且r>0,可得0(2)因为V(r)=(300r-4r3),
所以V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r=5(负值舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得极大值,也是最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
思想方法练
1.解析　(1)由题意可得f'(x)=-1,则f'(1)=0,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=0.
(2)令g(x)=f(x)-
=ln x-x+1-ax+ax2+,x≥1,
则g'(x)=-1-a+ax=,x≥1,
若a<0,则ax-1<0,易得函数g(x)在[1,+∞)上单调递减,显然不满足题意;
若a>0,
(i)当≤1,即a≥1时,易得函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,当x=1时,g(x)取得最小值,令g(1)=-≥0,解得-1≤a≤1,故a=1;
(ii)当>1,即0当x=时,g(x)取得极小值,也是最小值,令g=-ln a≥0,
解得0综上可得,a的取值范围是(0,1].
2.解析　(1)证明:当a=时, f(x)=cos x+x2-1,
所以f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.
当x≥0时, f'(x)=-sin x+x,
记g(x)=f'(x)=-sin x+x,
所以g'(x)=-cos x+1.
因为g'(x)≥0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,
即f'(x)在[0,+∞)上单调递增,
故f'(x)≥f'(0)=0,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,
因为f(x)为偶函数,所以当x∈R时, f(x)≥0.
(2)①当a=0时, f(x)=cos x-1,
令cos x-1=0,解得x=2kπ(k∈Z),
所以函数f(x)有无数个零点,不符合题意.
②当a<0时, f(x)=cos x+ax2-1≤ax2≤0,当且仅当x=0时等号成立,故a<0符合题意.
③因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,
又因为f(0)=0,故x=0是f(x)的零点.
当a>0时, f'(x)=-sin x+2ax,记h(x)=f'(x)=-sin x+2ax,则h'(x)=-cos x+2a.
(i)若a≥,则h'(x)=-cos x+2a≥-cos x+1≥0,
故h(x)在(0,+∞)上单调递增,故当x>0时,h(x)>h(0)=0,即f'(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)>f(0)=0.
所以f(x)在(0,+∞)上没有零点.
因为f(x)是偶函数,所以f(x)在R上有且只有一个零点.
(ii)若0即当x∈(0,x1)时, f'(x)<0,故f(x)在(0,x1)上单调递减, f(x1)又f(2π)=cos 2π+a(2π)2-1=4aπ2>0,
所以f(x1)f(2π)<0,
由零点存在定理知f(x)在(x1,2π)上有零点,又因为x=0是f(x)的零点,
所以0综上所述,a的取值范围是(-∞,0)∪.
3.B　令F(x)=f(x)-x3,
则F'(x)=f '(x)-3x2,
由f(x)-f(-x)=2x3,可得F(-x)=F(x),故F(x)为偶函数,
又当x>0时, f '(x)>3x2,即F '(x)>0,
∴F(x)在(0,+∞)上为增函数.
不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1可化为f(x)-x3>f(x-1)-(x-1)3,
∴F(x)>F(x-1),
∴F(|x|)>F(|x-1|),
∴由函数的单调性可知|x|>|x-1|,解得x>.故选B.
4.答案　(1,+∞)
解析　令g(x)=,
则g'(x)=<0,
所以g(x)在R上单调递减.
又f(x)f(x+2)=-1,所以f(x+2)=-,
f(x+4)=-=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.所以f(2 019)=f(-1)=-f(1)=-e,所以f(1)=e.
所以f(x)1.
5.解析　(1)由题意得, f(x1)max≤[m+.
f'(x)=ex(cos x-sin x)-(sin x+xcos x)
=(ex-x)cos x-(ex+1)sin x,
当x∈时, f'(x)>0,故f(x)在上单调递增,
所以当x=0时, f(x)max=f(0)=1.
又g'(x)=cos x-ex,g″(x)=-sin x-ex,当x∈时,g″(x)<0,
所以g'(x)在上单调递减,
所以g'(x)≤g'(0)=1-<0,
故g(x)在上单调递减,
因此,当x=0时,g(x)max=g(0)=-.
所以1≤m-,所以m≥+1.
所以实数m的取值范围是[+1,+∞).
(2)证明:当x>-1时,要证f(x)-g(x)>0,只需证excos x-xsin x-sin x+ex>0,
即证ex(cos x+)>(x+1)sin x,
由于cos x+>0,x+1>0,
所以只需证>.
令h(x)=(x>-1),
则h'(x)==,
当x∈(-1,0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以当且仅当x=0时,h(x)取得最小值,且最小值为1.
解法一:令k=,则kcos x+k=sin x,即sin x-kcos x=k,
即sin(x-φ)=(tan φ=k),
由三角函数的有界性,得≤1,即-1≤k≤1,所以kmax=1,
又当x=0时,k=0<1=h(0),当x≠0时,h(x)>1≥k,
所以>,
即>.
综上所述,当x>-1时, f(x)-g(x)>0成立.
解法二:令φ(x)=,则φ(x)可看作是点A(cos x,sin x)与点B(-,0)连线的斜率k',
所以直线AB的方程为y=k'(x+),
由于点A在圆x2+y2=1上,所以直线AB与圆x2+y2=1相交或相切,
当直线AB与圆x2+y2=1相切且切点在第二象限时,直线AB取得斜率k'的最大值,为1.
又当x=0时,φ(0)=0<1=h(0),当x≠0时,h(x)>1≥k',所以h(x)min>φ(x)max,即>.
综上所述,当x>-1时, f(x)-g(x)>0成立.
解法三:令φ(x)=,
则φ'(x)=,
当x=+2kπ(k∈N)时,φ(x)取得最大值1,
又当x=0时,φ(0)=0<1=h(0),当x≠0时,h(x)>1≥φ(x),
所以h(x)min>φ(x)max,即>.
综上所述,当x>-1时, f(x)-g(x)>0成立.
6.A　根据函数f(x)的解析式可知,函数的图象如下:
要使方程F(x)=f(x)-ax有4个零点,
只需a小于y=ln x在区间[1,e]上的过坐标原点的切线的斜率即可.由y=ln x,得y'=,设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为y-ln x0=(x-x0),又切线过(0,0),所以-ln x0=(-x0),解得x0=e,
故此时切线的斜率为=,故a∈,结合选项知,选A.
7.答案　{a|a<-27或a>5}
解析　f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)=0,
解得x=-1或x=3.
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x=-1时, f(x)有极小值,且极小值为f(-1)=a-5;当x=3时, f(x)有极大值,且极大值为f(3)=a+27.
画出大致图象,要使f(x)的图象与x轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2),
所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5.
故实数a的取值范围为{a|a<-27或a>5}.
8.解析　(1)设g(x)=xln x,x>0,则g'(x)=ln x+1.令g'(x)=0,得x=,
所以函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以g(x)min=g=-,所以m=1.
(2)f(x)-ax2=0,则xln x=ax2,因为x>0,所以=a,
设h(x)=,则h'(x)=,令h'(x)=0,得x=e,
所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(e)=,由h(1)=0,且当x>e时,h(x)>0,当x→+∞时,h(x)→0,可画出函数y=h(x)的图象,如图,
所以当a>时,方程无解;当a=或a≤0时,方程有1个解;当0