人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念第2课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.1等比数列的概念第2课时 同步作业（原卷版）
1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝1，则a1＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．2
2．(高考真题·全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)
A．2 B．1
C. D.
3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－2
4．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11＝(　　)
A．48 B．72
C．144 D．192
5．在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　)
A. B.
C.或 D．－或－
6．某种产品平均每三年降低价格的，目前售价为640元，9年后售价为(　　)
A．210元 B．240元
C．270元 D．360元
7．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
8．已知公差不为零的等差数列的第1，4，13项恰好是某等比数列的第1，3，5项，那么该等比数列的公比q＝________．
9．正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则＝________．
10．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则a13＋a14＋a15＝________．
11．一直角三角形三边边长成等比数列，则(　　)
A．三边边长之比为3∶4∶5
B．三边边长之比为3∶∶1
C．较大锐角的正弦值为
D．较小锐角的正弦值为
12．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　)
A．－4或 B．4或
C．4 D.
13．五个数1，x，y，z，4成等比数列，且x，y，z都是正数，则z＝________．
14．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5.
求证：{an}是等比数列．
15．数列{an}为等比数列，已知an＞0，且an＝an＋1＋an＋2，则该数列的公比q＝________．
16．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求此数列的通项公式．
1．如果某人在听到“某小镇镇长被审查”的消息后的1 h内将这一消息传给另2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到消息的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把消息传遍一个有2 047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为(　　)
A．8 h B．9 h
C．10 h D．11 h
2．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级．在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为(　　)
A．105 kJ B．104 kJ
C．103 kJ D．102 kJ
3．已知数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的第10项为________．
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.1等比数列的概念第2课时 同步作业（解析版）
1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a52，a2＝1，则a1＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．2
答案　B
解析　因为a3·a9＝2a52，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a62＝2a52，所以＝2，即＝q2＝2，因为公比为正数，故q＝.又因为a2＝1，所以a1＝＝＝.
2．(高考真题·全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)
A．2 B．1
C. D.
答案　C
解析　设数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＝，∴a3＝q2，a5＝q4，a4＝q3，∵a3a5＝4(a4－1)，∴q6＝4，∴q6－16q3＋64＝0，∴q3＝8，∴q＝2，故a2＝a1q＝×2＝.故选C.
3．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－2
答案　B
解析　由题意得b＝1，c＝2，则ad＝bc＝2.
4．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11＝(　　)
A．48 B．72
C．144 D．192
答案　D
解析　a3a4a5，a6a7a8，a9a10a11三数成等比数列．
5．在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　)
A. B.
C.或 D．－或－
答案　C
解析　a4a14＝a7a11＝6，a4＋a14＝5，
∴a4，a14是方程x2－5x＋6＝0的两根x1＝2，x2＝3.
∴或∵＝，∴＝或.
6．某种产品平均每三年降低价格的，目前售价为640元，9年后售价为(　　)
A．210元 B．240元
C．270元 D．360元
答案　C
解析　640×＝270(元)．
7．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
答案　C
解析　等比数列{an}中，a3a11＝a72＝4a7，解得a7＝4，
等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝8.
8．已知公差不为零的等差数列的第1，4，13项恰好是某等比数列的第1，3，5项，那么该等比数列的公比q＝________．
答案　±
解析　设{an}为等差数列，公差为d(d≠0)，则
a1·(a1＋12d)＝(a1＋3d)2.
整理得2a1＝3d，a1＝d，a4＝a1＋3d＝d.
∴q2＝＝3，∴q＝±.
9．正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则＝________．
答案　
解析　∵a3，a5，a6成等差数列，
∴2·a3·q2＝a3＋a3·q3.
∵a3>0，∴q3－2q2＋1＝0，(q－1)(q2－q－1)＝0.
∵q≠1，∴q2－q－1＝0，∴q＝，又q>0，
∴q＝，∴＝＝.
10．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则a13＋a14＋a15＝________．
答案　243
解析　a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15成等比数列，记为{bn}，则b1＝3，b2＝9.
∴q＝3，∴b5＝b1·q4＝3×34＝35＝243.
即a13＋a14＋a15＝243.
11．一直角三角形三边边长成等比数列，则(　　)
A．三边边长之比为3∶4∶5
B．三边边长之比为3∶∶1
C．较大锐角的正弦值为
D．较小锐角的正弦值为
答案　D
解析　不妨设A最小，C为直角，依题意
把①代入②得a2＋ac＝c2，∴＋－1＝0.
∴＝，∵>0，∴＝＝sinA.
12．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　)
A．－4或 B．4或
C．4 D.
答案　B
解析　设这4个数为2，a，b，20，
则　∴a2－a－20＝0，解得a＝5或－4.
当a＝5时，b＝，∴a＋b＝.
当a＝－4时，b＝8，∴a＋b＝4.
13．五个数1，x，y，z，4成等比数列，且x，y，z都是正数，则z＝________．
答案　2
解析　∵1，x，y，z，4成等比数列，
∴1，y，4成等比数列，y2＝4，又 y>0，∴y＝2.
∵y，z，4成等比数列，即2，z，4成等比数列，
∴z2＝8.又z>0，∴z＝2.
14．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5.
求证：{an}是等比数列．
证明　由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5，
∴＝＝1 000＝常数．∴{an}是等比数列．
15．数列{an}为等比数列，已知an＞0，且an＝an＋1＋an＋2，则该数列的公比q＝________．
答案　
解析　由已知可得an＝an·q＋an·q2，
∵an>0，∴q2＋q－1＝0，q＝.
∵q>0，∴q＝.
16．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求此数列的通项公式．
解析　∵a1a5＝a2a4＝a32，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a52，
∴由
得即
∵数列{an}的各项均为正数，
∴解得或
∴公比q＝＝或2.
∴an＝a3·qn－3＝8×＝26－n或an＝2×2n－3＝2n－2.
即an＝26－n或an＝2n－2.
1．如果某人在听到“某小镇镇长被审查”的消息后的1 h内将这一消息传给另2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到消息的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把消息传遍一个有2 047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为(　　)
A．8 h B．9 h
C．10 h D．11 h
答案　C
解析　设需要n个小时，则1＋2＋22＋…＋2n＝2 047，
∴2n＋1－1＝2 047，∴n＋1＝11，n＝10.
2．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级．在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为(　　)
A．105 kJ B．104 kJ
C．103 kJ D．102 kJ
答案　C
解析　设H1，H2，H3中的能量分别为a1，a2，a3，且a3＝10，则a3＝0.1a2＝0.1·(0.1a1)＝10－2a1.∴a1＝102a3＝103.
3．已知数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的第10项为________．
答案　19