正数与负数及数轴

　有理数之一： 正数与负数及数轴。
　　本章是在小学学过的算术数的基础上引进了负数，从而使数域扩大到了有理数；并由此引出数轴，相反数，绝对值等概念以及有理数的运算法则。随着知识的不断深入，初二时我们的数域将扩大到实数，到了高中还会学习复数。这一章以及第一章是为我们以后的数学学习打下的基础，我们务必认真学好这一章的知识。
　　一、本讲的重点，难点和关键
　　重点：有理数特别是负数的意义以及数轴的意义。
　　难点：了解有理数特别是负数的意义；利用数轴进一步理解有理数的意义。
　　关键：利用数轴建立起来的数与形统一的观点。
　　二、知识要点：
　　1．在小学学过的算术数包括正整数，正分数和0的基础上，由实际生活中具有相反意义的量，如温度有零上，零下之分；帐目有收入，支出之分；买卖有盈亏之分等等。我们把这样具有相反意义的量分别用不同符号记号，以示区别，如当零上15°C记作+15°C，则零下5°C记作-5°C；收入20元记作+20元，则支出20元记作-20元等等。在这里，“+”号读作“正”号，“+20”读作“正20”；“-”号读作“负号”，“-10”读作“负10”。这样引入了负数和正数，由此建立了有理数的概念。正数前面的“+”号常省略不写，如+12可写成12。
　　整数：正整数，0和负整数统称为整数；如5，0，-3等等。
　　分数：正分数，负分数统称为分数。如，，-3等等。
　　有理数：整数和分数统称为有理数。
　　2．有理数的分类我们要弄清楚；其分类如下：
　　或　
　　3．零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。
　　4．数轴的意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。
　　数轴的三要素是：原点，正方向和单位长度，三者缺一不可。我们必须能正确，规范地画出数轴。
　　对于给出的有理数，我们应能以刻度尺为工具，准确地在数轴上画出表示这些数的点，表示指定数的点要用笔涂成小圆黑点。比如给出-5，-4，0，0.5, 3等，能画一条数轴，并在数轴上面标出表示它们的点，如图：
　　反之，对于一条数轴上标出的点能说出它们表示的数。比如，指出下列图中A，B，C，D，E各点分别表示的有理数：
　　答：点A表示-3，点B表示-1，点C表示2，点D表示3，点E表示4。
　　5．数轴的建立使任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点，有的也可以表示有理数，而点是最基本的几何图形，从而就建立了数与几何图形之间的关系，我们称其为“数形结合”。从而使有理数的大小直观化：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数。
　　我们应该知道：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点并不都表示有理数，有的点还表示无理数，这个数轴也叫做“实数轴”，这些我们将在初二时学到。
　　三、例题：
　　例1．把下列各数分别填在相应的大括号内：25,-6,-0.91, p, 3.14,-7, 0, -50, , 9.
　　(1) 整数集合：{25, -7, 0, -50, 9 ......}
　　(2) 分数集合：{-6, -0.91, 3.14, ......}
　　(3) 正整数集合：{25, 9 ......}
　　(4) 负整数集合：{-7, -50 ......}
　　(5) 正分数集合：{3.14, ......}
　　(6) 负分数集合：{-6, -0.91 ......}
　　(7) 正有理数集合：{25, 3.14, , 9 ......}
　　(8) 负有理数集合：{-6, -0.91, -7, -50 ......}
　　(9) 有理数集合：{25, -6, -0.91, 3.14, -7, 0, -50, , 9 ...... }
　　注意：整数都可以看作是分母为1的分数，因此有理数一定能写成分数的形式，而p是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以p不是有理数，p是无理数。
　　例2．判断正误，并说明理由。
　　（1）所有正数都是整数。
　　（2）在整数中除了正整数就是负整数。
　　（3）分数是有理数。
　　（4）正整数都是自然数。
　　（5）任何有理数都有倒数。
　　答：
　　（1）不正确。因为正分数是正数但不是整数。如是正分数，但它不是整数。
　　（2）不正确。因为零是整数，但它既不是正整数也不是负整数。
　　（3）正确。因为整数和分数统称为有理数。
　　（4）正确。
　　（5）不正确。因为零不能做除数，故有理数零没有倒数。
　　例3．下列各图中，哪些是数轴？为什么？
　　
　　答：只有（3）是数轴。因为它是具有三要素：正方向，原点，单位长度的直线。
　　（1）不是数轴。因为它是曲线，不是直线。
　　（2）不是数轴。因为它没有长度单位。
　　（4）不是数轴。因为它是线段，不是直线。
　　（5）不是数轴。因为它的方向反了。
　　（6）不是数轴。因为它没有规定正方向。
　　例4．比较和的大小。
　　说明：比较两个数的大小是初中数学中重要内容之一，在前面我们已经谈到可以利用数轴来比较大小，但这不是唯一的方法。下面我们来研究另外的比较两个正数的大小的常用方法。
　　解：方法一：利用两数的差来判断，即两数a和b，若a-b>0,，则a>b；若a-b=0, 则a=b;
　　若 a-b<0, 则a　　∵-==>0.
　　∴>.
　　方法二：利用通分化为同分母分数，再比较分子的大小来判定。
　　∵=， =，且 180 >169.
　　∴>.
　　（*）方法三：利用两数的比，看比值大于1还是小于1来判断，即若>1,则a>b；若<1, 则a　　∵：=·=>1,
　　∴>.
　　例5．当x分别为3，7，10时，比较5x-35与0的大小。
　　解：当x=3时，5x-35=5×3-35=15-30=-20<0,
　　∴ 当x=3时, 5x-35<0,
　　当x=7时, 5x-35=5×7-35=35-35=0,
　　∴ 当x=7时, 5x-35=0,
　　当x=10时, 5x-35=50-35=15>0,
　　∴ 当x=10时，5x-35>0.
　　说明：通过此题我们应进一步理解当代数式5x-35中的字母x取不同的值时，对应代数式的值也不同。
　　四、练习：
　　（一）用正数，负数填空：
　　（1）支出100元记作_______元，收入150元记作_______元。
　　（2）盈利800元记作_______元，亏损600元记作_______元。
　　（3）电梯上升5米记作_______米，下降3米记作_______米。
　　（4）王淼向东走5米，记作+5米，那么他走了_______米，则表示他向西走了8米。
　　（5）足球比赛胜2场记作_______场，负1场记作_______场。
　　（6）海拔_______米，相当于海面上高度100米，海拔_______米相当于海面下300米。
　　（二）判断正误：
　　（1）所有的整数都是正数。　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）
　　（2）正数和负数统称有理数。　　　　　　　　 　　　　　　　（　 ）
　　（3）零不是正数，也不是负数，但是整数。　　　　　　　　　 （　 ）
　　（4）没有最大的正整数，也没有最大的负整数。　　　　　　　 （　 ）
　　（5）在有理数中，不是正数的数一定是负数。　　　　 　　　　（　 ）
　　（6）任何一个有理数都可以在数轴上找到和它对应的点。　　　 （　 ）
　　（7）数轴上任意一点都表示一个有理数.　　　　　 　　　　 　（　 ）
　　（8）-3>-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 （　 ）
　　（9）>-100　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　（　 ）
　　（10）a为有理数，则3a一定大于2a。　　　　　　　　　　　　 （　 ）
　　（三）填空：
　　（1）正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是_______集合。
　　（2）既不是正数，也不是负数的数是_______；是正数而不是整数的数是_______。
　　（3）最大的负整数是_______，最小的正整数是_______。
　　（4）大于-3.1的负整数是_______，小于4.3的正整数是_______。
　　（5）大于-5而不大于2的所有的整数是_______。
　　（6）写出满足条件-3≤x<1.5的x的所有整数值_______。
　　（7）字母a表示一个有理数，则a可能是_______。
　　（8）当a=__________时，7-3(a-)2的值最大，这个值是_______。
　　（9）规定了_______，_______和_______的_______叫做数轴。
　　（10）比较大小：①____-20;　 ②-____ 0;　 ③___; 　④-___ -.
　　练习参考答案：
　　（一）用正数，负数填空：
　　(1)-100; +150　　 (2) +800; -600　　 (3)+5; -3
　　(4)-8　　 (5)+2;-1　　 (6)+100; -300
　　（二）判断正误
　　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√　(7)×　(8)×　(9)√　(10)×
　　（三）填空：
　　（1）非零整数　　 （2）0；正分数　　 （3）-1；1
　　（4）-3，-2，-1； 1，2，3，4　　 （5）-4，-3，-2，-1，0，1，2
　　（6）-3，-2，-1，0，1　
　　（7）正数，负数或0（注意：我们在考虑字母取值时一定要注意考虑周到，在没有其它约束条件时，应考虑一个字母可能表示正数，也可能表示负数，还可能表示零；
　　（8）; 7　　
　　（9）正方向；原点；单位长度；直线
　　（10）①> ②< ③< ④<.
正数与负数
　　中考考点:
　　1．了解有理数的意义，会用正数与负数表示相反意义的量。
　　2．能按要求把给出的有理数归类。
　　考点讲解:
　　1．正数与负数的概念：（1）了解正数与负数是怎样产生的。数是随着生活实际的需要、生产发展的需要而产生的。比如一些具有相反意义的量，高于海平面800米与低于海平面500米，温度上升5℃和温度下降3℃等，用我们小学学过的数已不能很好地表达，若我们把一种意义规定为正的，另一种规定为负的，就能解决了这个问题，这就产生了新的数：正数和负数。（2）会判断一个数是正数还是负数，大于0的数是正数，也即是我们小学里学过的自然数和分数。在正数的前面加上“-”号的数叫做负数。正数前面的“+”号可以加上，也可省略不写。要注意，带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数，尤其是字母表示的数，在后面的内容里将看到这点。（3）会用正数和负数表示两个具有相反意义的量。（4）理解0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。
　　2．有理数有以下两种分类方法：
　　（1）按整数分数关系分类　 　　　（2）按正数、负数与0的关系分类
　　　　　　　
　　考题例析:
　　1．甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米，-15米和-10米，那么最高的地方比最低的地方高（　　 ）.
　　（A）10米　　 （B）25米　　 （C）35米　　 （D）5米
　　考点：负数的应用，有理数的运算。
　　评析：根据负数与正数的实际应用，找出最高点与最低点的数值，再计算求出即可，故选（C）。
　　2．（湖南长沙）下表是我国四个城市某年一月份的平均气温．把它们按从高到低的顺序排列：　　　 ．
北京 长沙 哈尔滨 南京
-4.6℃ 3.8℃ -19.4℃ 2.4℃
　　考点：有理数大小的比较
　　评析：把表格内的数表示在数轴上，根据“右大左小”的判断方法可以判定，所以该题从高到低的顺序应为3.8℃>2.4℃>-4.6℃>-19.4℃
　　真题实战:
　　1．下列各数中，负数是（　 ）
　　A．(－3)0　　B．　　C．(－3)2　　D．3－2
　　答案：B
数　轴
　　考点分析:
　　1．了解数轴的概念和数轴的画法。
　　2．会以刻度尺为工具用数轴上的点表示整数或分数。
　　3．掌握用数轴比较有理数大小的方法，会用不等号连接两个或两个以上不同的有理数。
　　考点讲解:
　　1．数轴能够把我们所学过的数直观地、形象地表示出来，这是研究数学的一种“数形结合”的重要方法。画数轴一般先取向右为正方向，原点和单位长度则由我们具体情况灵活选定它们位置和大小。规定了原点，正方向和单位长度的直线才叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。
　　2．数轴的应用（1）掌握数轴的画法，要求规范、美观。（2）能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。（3）会利用数轴比较有理数的大小，并理解和熟记有理数大小比较的法则：正数都大于０；负数都小于０；正数大于一切负数。这些是以后进一步学习其他知识的重要基础。
　　考题例析:
　　1．一家三人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅行团外出旅游，甲旅行社告知：“父母买全票，女儿按半价优惠”．乙旅行团告知：“家庭旅游可按团体票计价，即每人均按全价的收费”，若这两家旅行社每人的原票价相同，那么，优惠条件是（　 ）
　　(A)甲比乙更优惠　　（B）乙比甲更优惠　　（C）甲与乙相同　　（D）与原票价有关
　　考点：有理数大小的比较
　　评析：本题直接运算比较，易知甲用钱为原票价的，乙用钱为原票价的，将与比较易知大小，即可作出判定，从而选出正确选项。
　　答案：B
　　2、在数轴上表示数2的点与表示数-5的点之间的距离是_______。
　　考点：数轴
　　评析：距离为正的，在数轴上表示的两个数2与-5，距原点的距离分别为2和5，所以所求距离为2+5=7
　　答案：7。
　　3、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数_______。
　　考点：数轴
　　答案：大。
　　4、数a、b在数轴上的位置如图，则b_______a（填“>”或“<”）。
　　考点：利用数轴比较大小
　　评析：因为数轴上原点左边的数小于0，∴a<0，原点右边的数大于0，所以b>0，∴b>a，
　　答案：>
　　5．（杭州市）-5的相反数是（　 ）
　　A、-5　　B、　　C、　　D、5
　　考点：相反数的求法
　　评析：只有符号不同的两个数互为相反数，即数a的相反数是- a，可知-5的相反数是5．
　　真题实战:
　　1．（河北省）-的相反数是　　　　　　 ．
　　2．（江苏南京）-2的相反数是（　 ）．
　　A、-2　　B、2　　C、-　　D、
　　3．（扬州市）3的相反数是　　　 的倒数是　　　　
　　4．（厦门市）的相反数是　　 ．
　　5．（益阳市）如果a=3，则- a =　　　　
　　6．（黑龙江省）-2001的倒数的相反数是　　　 ．
　　7．（福建龙岩市）-的相反数是　　 ．
　　8．（北京崇文区） -6的相反数是（　 ）
　　A、6　　 B、-6　　 C、　　 D、-
　　9．（陕西省）如果2(x+3)的值与3(1-x)的值互为相反数，那么x等于（　 ）
　　A、-8　　 B、8　　 C、-9　　 D、9
　　答案：
　　1、　　2、B　　3、-3，3　　4、-　　5、-3　　6、　　7、　　8、A　　　　　　　　
　　9.D（提示：由相反数的几何意义可知应为相反数的两数之和是0，所以可列方程2（x+3）+3（1-x）=0，运用前面学过的解方程的方法，解此方程得：x=9．所以选D，也可以将给出的四个选项代入验证：分别代入两个代数式看求得的值是否互为相反数）．
　　10.若a　　答案：1<1-b<1-a.
　　11.-3与-7的大小关系是_______。
　　考点：利用数轴比较大小
　　评析：因为-3与-7表示在数轴上，-3在-7的右边，数轴上右边的数总比：左边的大，所以-3>-7。
　　12.π与3.14的大小关系是π____3.14．
　　答案：>
　　13.下列说法正确的是（　　 ）
　　A 所有的有理数都可以用数轴上的点表示；
　　B 数轴上的每一个点都表示一个整数；
　　C 规定了正方向和单位长度的一条直线叫做数轴；
　　D 在同一数轴上，单位长度可以不统一。
　　答案：A
　　14.下列说法正确的是（　　 ）
　　A 没有最大的正数，但有最大的负数；
　　B 没有最小的负数，但有最小的正数；
　　C 有最大的负整数，也有最小的正整数；
　　D 有最小的有理数是0。
　　答案：C
　　1.下列说法中，正确的是 (　 )
　　(A)正整数和正分数统称正有理数
　　(B)正整数和负整数统称整数
　　(C)正整数、正分数、负整数、负分数统称有理数
　　(D)零不是整数
　　2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 (　 )
　　(A)0是整数　　　 (B)0是偶数
　　(C)0是正整数　　 (D)0既不是正数也不是负数
　　3.下列各语句中，正确的一个是 (　 )
　　(A)整数就是自然数和零　　　　　　 (B)正整数和负整数统称整数
　　(C)整数不能分成奇数和偶数两类　　 (D)整数和分数统称有理数
　　4.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 (　 )
　　(A)前进-18米的意义是后退18米
　　(B)收入-4万元的意义是减少4万元
　　(C)盈利的相反意义是亏损
　　(D)公元-300年的意义是公元后300年
　　5.下列各判断句中，错误的一个是 (　 )
　　(A)有限小数和无限循环小数都是有理数　　 (B)圆周率π不是有理数
　　(C)正有理数和负有理数统称有理数　 　　　(D)任意一个有理数都可以写成分数形式
　　6.若有理数m>n，在数轴上的点M表示数m，点N表示数n，那么 (　 )
　　(A)点M在点N右边
　　(B)点M在点N左边
　　(C)点M在原点的右边，点N在原点左边
　　(D)点M和点N都在原点的右边，且点M更右—些
　　7.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 (　 )
　　(A)甲站的东边70千米处　　 (B)甲站的西边20千米处
　　(C)甲站的东边30千米处　　 (D)甲站的西边30千米处
　　8.在数轴上A点和B点所表示的数分别为-2和1、若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应将A点 (　 )
　　(A)向左移动5个单位　 　(B)向右移动5个单位
　　(C)向右移动4个单位　 　(D)向左移动1个单位或向右移动5个单位
　　9.比较-1，-0.5, 0,0.01的大小，正确的是（　）。
　　(A)-1<-0.5<0<0.01 　　(B)-0.5<-1<0<0.01
　　(C)-1<-0.5<0.01<0 　　(D)0<-0.5<-1<0.01
　　10.如图所示，根据有理数a,b,c在数轴上的位置，下列关系正确的是（　）。　　　　　　　
　　
　　(A)b>a>0>c 　　(B)a　　答案：
　　1.A 　2.C　 3.D 　4.D 　5.C　 6. A 　7.C 　8.B 　9.A 　10.C