第一章 三角形的证明 单元复习题（含解析）北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明 单元复习题
一、选择题
1．如图，中，，则的度数是（　　）
A．80° B．70° C．20° D．50°
2．两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一锐角对应相等； B．两锐角对应相等；
C．一条边对应相等； D．两条边对应相等.
3．如图，△ABC，AB=AC，∠B=40°，边AC的垂直平分线DE交AC、BC于点D、E，连接EA．则∠BAE的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（　　）
A．2 B．3 C． D．4
5．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．12 C．15 D．12或15
6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
7．如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为(　　)
A．20° B．40° C．60° D．70°
8． 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，若DE垂直平分OC，且OC=2，则DE的长度为（　　）
A．1 B． C． D．2
9．如图，在Rt中，是的平分线，若，则：为（　　）
A．5：13 B．12：13 C．12：5 D．13：5
10．如图，在中，，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，则的值为（　　）
A．1 B．2.4 C．3 D．2.5
二、填空题
11．已知，等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则它的周长是　 　cm．
12．如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝　 　，△ABC与△APQ全等．
13．在平面直角坐标系中，已知，，作的垂直平分线交轴于点，则点坐标为　 　．
14．如图，矩形纸片中，，E为上一点，平分，，则的长为　 　．
三、解答题
15．如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，，.
求证：.
16．如图，在四边形ABCD中，，连接AC，且，点E在边BC上，连接DE，过点A作，垂足为F，.求证：.
17．已知在中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.
18．如图，在中，和的平分线相交于点F，过点F作，交于点D、E．若，，求的周长．
四、综合题
19．联想中垂线的性质，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的“智慧心”.
（1）举例：如图①，在中，，判断：点　 　（填“是”或“不是”）的“智慧心”；
（2）应用：如图②，若CD为等边三角形ABC的高，“智慧心”P在高CD上，且，则的度数为　 　；
（3）探究：已知为直角三角形，，，，“智慧心”P在AC边上，则PA的长为　 　.
20．已知：如图，在中，于点为上一点，且．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
21．如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
（1）若的周长为18cm，求的长；
（2）若，求的度数．
22．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB=DC．
（1）求证：BE=CF；
（2）如果BD∥AC，∠DAF=15°，求证：AB=2DF．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=80°，
∴∠C=∠B=80°，
∴∠A=180°-80°-80°=20°.
故答案为：C.
【分析】由等边对等角可得∠C=∠B，然后根据三角形的内角和等于180度可求解.
2．【答案】D
【解析】【分析】A．一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
B．两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
C．一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；
D．两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确。
故选D．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴．
∵DE垂直平分线段AC，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用线段垂直平分线的性质可得，最后利用角的运算可得。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE=PD=2，
故答案为：A.
【分析】过点P作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”并结合已知条件得PE=PD可求解.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：当腰为3时，三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，∴不能构成三角形，故不符合题意；
当腰为6时，三边分别为3、6、6，
∵3+6＞9，∴能构成三角形，故符合题意，
∴ 这个等腰三角形的周长为：3+6+6=15；
故答案为：C.
【分析】分两种情况：当腰为3或6时，然后根据等腰三角形的性质及三角形三边关系进行解答即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=40°.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴2∠ABC=180°-40°=140°，
∴∠ABC=70°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°.
故答案为：A.
【分析】由垂直平分线的性质可得AE=BE，则∠A=∠ABE=40°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可求出∠ABC的度数，然后根据∠CBE=∠ABC-∠ABE进行计算.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD是高，∠CBD=20°，
∴∠BCD=180°-90°-20°=70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD=∠CBE=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出∠BCD=70°，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD=OC=2，
∵DE垂直平分OC，
∴OE=OC=1，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质求出OD=OC=2，再根据垂直平分线求出OE=1，最后利用勾股定理求出DE的值即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=5，BC=12，∠C=90°，
∴，
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DE，进而根据等高三角形的面积之比就是底之比可得答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，由题意可知AP为∠CAB的平分线，
∵∠C=90°，
∴DE=DC，AE=AC=12。
设DE=DC=x，
在△ABC中，
AB=
=13
∴EB=AB-AE=1
在△DEB中，
DE2=DB2-EB2
即：x2=(5-x)2-12
解得：x=2.4.。
即CD=2.4
故选：B
【分析】由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，可得DE=DC，设DC=x，在△DEB中，根据勾股定理即可求。
11．【答案】27
【解析】【解答】解：①当11cm为腰，5cm为底时， 它的周长是27cm，
②当5cm为腰，11cm为底时，不能构成三角形，
∴等腰三角形的周长是27cm.
故答案为：27.
【分析】分两种情况讨论：①当11cm为腰，5cm为底时，得出它的周长是27cm，②当5cm为腰，11cm为底时，根据三角形三边关系得出不能构成三角形，即可得出答案.
12．【答案】8或
【解析】【解答】解：由题意得∠C=∠QAP=90°，
当时，由题意得Rt△AQP≌Rt△CBA（HL），
当AP=BC=8时，由题意得Rt△AQP≌Rt△CBA（HL），
综上所述，AP＝8或，△ABC与△APQ全等，
故答案为：8或
【分析】先根据题意即可得到∠C=∠QAP=90°，进而根据三角形全等的判定（HL）结合题意进行分类讨论即可求解。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵点A（8，0），点B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∵DC垂直平分AB，
∴BC=AC，
设OC=x，则AC=BC=8-x，
∵OB2+OC2=BC2即42+x2=（8-x）2
解之：x=3，
∴点C（3，0）
故答案为：（3，0）.
【分析】连接BC，利用点A、B的坐标可求出OA、OB的长，利用线段垂直平分线的性质可证得BC=AC，设OC=x，可表示出BC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点C的坐标.
14．【答案】5
【解析】【解答】解： 平分 ，
设BE=x，则AE=BC=BE+CE=x+1
在中，，即
，解得：x=4
故答案为5
【分析】利用角平分线定理，两直线平行内错角相等性质，可证明AD=AE，再根据勾股定理即可求出答案。
15．【答案】证明：在△BCE和△CBD中，
，
∴，
∴∠CBE=∠BCD，
∴AB=AC.
【解析】【分析】先利用SAS证明△BCE≌△CBD，得出∠CBE=∠BCD，然后根据三角形等角对等边的性质，即可得出结论.
16．【答案】证明：∵，∴.
在和中，
，
∴，
∴，∴，
∴.
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠B=∠DFA=90°，由已知条件可知AD=AC，AB=AF，利用HL证明△ADF≌△ACB，得到∠DAF=∠CAB，然后根据角的和差关系进行证明.
17．【答案】解：，证明如下：
如图，连接BD，CD，
∵AD平分，，，
∴，
∵DE垂直平分BC，
∴，
在与中，，
∴，
∴.
【解析】【分析】连接BD，CD，根据角平分线的性质可得DM=DN，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后利用HL证明△BMD≌△CND，据此可得结论.
18．【答案】解：∵ 和 的平分线相交于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的周长 ，
，
，
，
．
【解析】【分析】先根据角平分线的性质得到 ， ，再根据平行线的性质得到 ， ，再结合题意进行角的变化得到 的周长 ，即可求解。
19．【答案】（1）是
（2）90°
（3）2
【解析】【解答】解：（1）∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，
∴点P是三角形的“智慧心”；
（2）∵点P是三角形ABC的"智慧心"，∴PA =PB，
∵ ABC是等边三角形，且CD⊥AB，∴AD=BD；
∵PD=AB，∴PD=AD=BD，
∴∠PAD=∠APD，∠DPB=∠PBD，
∴2∠APD+2∠BPD=180°，则∠APD+∠BPD=90°，即∠APB=90°；
（3）∵"智慧心"点P在AC边上，∴PA=PC，
∵AC=4，∴PA=AC=2.
【分析】（1）由等角对等边可得PA=PB，根据"智慧心"的定义可得点P是三角形的“智慧心”；
（2）由"智慧心"定义可得PA =PB，由等边三角形的性质可得AD=BD，结合已知可得PD=AD=BD，由等边对等角可得∠PAD=∠APD，∠DPB=∠PBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠APB=90°；
（3）根据"智慧心"定义可得PA=PC，结合已知可求解.
20．【答案】（1）证明：∵于点，
∴，
在与中，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到，进而根据三角形全等的判定（HL）即可求解；
（2）先根据三角形全等的性质即可得到，进而根据勾股定理即可求出BD，再结合题意即可求解。
21．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AM=CM，BN=CN，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案；
（2）先求出∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，再结合∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，可得∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°。
22．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°；
在Rt△BDE和Rt△DFC中，
∴Rt△BDE≌Rt△DFC （HL），
∴BE＝CF；
（2）∵AD平分∠BAC，∠DAF＝15°，
∴∠BAC＝30°，∠BAD＝∠DAF，
∵BD∥AC，
∴∠DBE＝∠BAC＝30°，∠DAF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE，
∴AB＝2DE，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴AB＝2DF．
【解析】【分析】（1）证明DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°；进而证明Rt△BDE≌Rt△DFC，即可解决问题；
（2）根据平行线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可