北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明 单元复习题(含解析）

北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明 单元复习题
一、选择题
1．下列命题属于真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．同旁内角相等，两直线平行
C．同位角相等
D．平行于同一条直线的两条直线互相平行
2．下列命题为假命题的是（　　）
A．垂线段最短 B．同旁内角互补
C．对顶角相等 D．两直线平行，同位角相等
3．如图是木匠师傅利用直尺和三角尺过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其直接理由是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
4．如图，，于点C，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示的两个三角形全等，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的是（　　）
A．同位角相等
B．某彩票中奖率是，则买100张彩票一定有一张中奖
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．等腰三角形的一边长4，一边长9，则它的周长为17或22
7．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是(　　)
A． B． C． D．
8．如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（　　）
A．48° B．58° C．68° D．78°
9．一张对边互相平行的纸条折成如图，是折痕，若，则；；以上结论正确的有(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，在直角三角形中，，，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为　 　．
12．把两块形状、大小相同的三角尺按照如图所示的样子放置，则，理由是　 　．
13．如图，已知，直线分别与直线、交于点Q，E，平分，交于G，若，则　 　．
14．如图，中，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，，则　 　．
三、解答题
15．如图， 交 于点B，已知 ， ．试说明： ．
16．证明:等腰三角形两腰上的中线相等
17．已知：如图，直线与被所截，，求证：．
18．如图，已知，，求的度数．
四、综合题
19．如图，，点E在线段AB上，连结AD，ED，BD，CB，已知.
（1）请说明的理由.
（2）若DE平分，，，求的度数.
20．如图，已知，点B（与点A不重合）是边上一点，作，点P是射线上一动点（与点A不重合），、分别平分和，分别交射线于点C，D．
（1）求，的度数；
（2）探究：当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；
（3）当点P运动到使时，求出的度数．
21．在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．
（1）如图，当点在边上时，
①若时，则 ；
②若时，则 ；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
（2）当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，A是假命题；
B、同旁内角互补，两直线平行，B是假命题；
C、只有两直线平行，被截得的同位角才相等，C是假命题；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，D是真命题。
故答案为：D。
【分析】根据平行线的性质和判定，以及对顶角的定义和性质，分别判定命题的真假，即可得出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 垂线段最短，是真命题，故不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补 ，原说法是假命题，故符合题意；
C、对顶角相等 ，是真命题，故不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等 ，是真命题，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据线段的性质、平行线的性质、对顶角的性质逐项判断即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=∠2，
∴a∥l（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：A.
【分析】根据同位角相等，两直线平行进行判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴∠1+∠ACD=180°，
∵，，
∴∠ACD=115°，∠ACB=90°，
∴∠2=25°，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质结合题意即可得到∠ACD的度数，进而根据垂直即可求解。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∠A=180°-58°-72°=50°，
∵两个三角形全等，
∴∠B=∠A=50°；
故答案为：C.
【分析】先由三角形内角和定理求出∠A的度数，再利用全等三角形的对应边相等即可求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、如图，
与是同位角，但显然，A错误；
B、中奖率是买彩票中奖的可能性，买100张彩票不一定会中奖，B错误；
C、如图，，，
，，
，，
，
，C正确；
D、当等腰三角形的腰长为4时，则三角形三边分别为4、4、9，
4+4=8<9，
长度分别为4、4、9的三条线段不能组成三角形，
当等腰三角形的腰长为9时，则三角形三边分别为4、9、9，
4+9=13>9，
长度分别为4、9、9的三条线段能组成三角形，
周长=4+9+9=22，
等腰三角形的周长为22，D错误，
故答案为：C.
【分析】两直线平行，同位角相等；
事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率；
利用平行线的性质证得相等，进而得到平行于同一条直线的两条直线平行；
确定三角形的边长时需考虑三条线段长度是否符合三角形三边关系.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：当时，，但，
原命题是假命题，
故答案为：D.
【分析】证明假命题的反例需要具备命题的条件，而不具备命题的结论.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵BA∥CD，
∴∠1=∠3=122°，
∵∠2=180°-∠3，
∴∠2=180°-122°=58°.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可求出∠3的度数，再利用邻补角的定义求出∠2的度数.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC'//BD'
∴∠C'EF=∠EFB=35°
故①正确；
由折叠的性质可知∠C'EF=∠CEF=35°
∴∠AEC=180°-35°-35°=110°
故②错误；
∵∠GEC'=∠C'EF+∠CEF=70°，AC'//BD'
∴∠BGE=∠GEC'=70°
故③正确；
∵FD//EC，∠CEF=35°
∴∠DFE=180°-35°=145°
∴∠BFD=∠DFE-∠EFB=145°-35°=110°
故④错误
综上所述结论正确的有2个
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质、折叠的性质即可对各结论进行判断.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，∠C=180°-∠B-∠BAC=44°；
又因为，∠C和∠BDE构成相同的同位角，则∠BDE=44°；
由于，∠ADB=90°，则∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-44°=56°；
故答案为：A.
【分析】根据三角形内角和为180°，可求出未知角度数，再根据两直线关系，分别求出相关角，最终得解.
11．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】【解答】解："对顶角相等"改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
故第1空答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
【分析】按照"如果"后边是已知，"那么"后边是结论，改写成 如果……，那么…… 的形式即可。
12．【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：由题意可得：∠BAD=∠ADC，
∴AB//CD（ 内错角相等，两直线平行 ），
故答案为： 内错角相等，两直线平行 .
【分析】根据平行线的判定方法，结合图形求解即可。
13．【答案】108°
【解析】【解答】解：， ，
，，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义得到的度数，再通过垂直的定义求得的度数.
14．【答案】40°
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=50°.
同理可得∠GAC=∠GCA=20°.
∵∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=110°，
∴∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)=110°-(50°+20°)=40°.
故答案为：40°.
【分析】由垂直平分线的性质可得EA=EB，则∠EAB=∠EBA=50°，同理可得∠GAC=∠GCA=20°，在△ABC中，由内角和定理可得∠BAC的度数，然后根据∠EAG=∠BAC-(∠GAC+∠EAB)进行计算.
15．【答案】解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】根据题意由平行线的判定：内错角相等，两直线平行；可得PQ∥MN，再由平行线公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，得出PQ∥AB，再由平行线的性质即可证明∠Q=∠ABM.
16．【答案】解：如图，已知在△ABC中，AB=AC,BD、CE分别是AC和AB边上的中线求证：BD=CE证明：∵BD、CE分别是AC和AB边上的中线，∴AB=2AE，AC=2AD∵AB=AC，∴AE=AD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE.
【解析】【分析】先找出此命题的题设和结论，再根据题设和结论画出图形，结合图形根据题设写出已知，根据结论写出求证，根据三角形中线的定义可证得AB=2AE，AC=2AD，再证明AE=AD，然后利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
17．【答案】证明：对顶角相等，
又已知，
，
同位角相等，两直线平行．
【解析】【分析】根据对顶角相等和等量代换求出，再利用同位角相等，两直线平行即可证明 ．
18．【答案】解：∵，，
∴，，
∴
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠CBA=∠2=75°，∠CBE=∠1=42°，然后根据∠EBA=∠CBA-∠CBE进行计算.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵DE平分，，
∴设，则，
∵，，
∴，即，
解得，
∴.
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ADC=180°，结合已知，由等量代换得∠C+∠ADC=180°，最后再根据同旁内角互补，两直线平行，可得结论；
（2）由角平分线的定义及已知可设∠ADE=∠BDE=2x，则∠C=3x，由二直线平行，同旁内角互补可得∠ADC+∠C=180°，据此建立方程可求出x的值，从而可求出∠CBD的度数.
20．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴；
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：不变，．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
当时，则有，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠MAB+∠ABN=180°，结合∠MAB的度数可得∠ABN的度数，由角平分线的概念可得∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，然后根据∠CBD=∠CBP+∠DBP=(∠ABP+∠PBN)进行计算；
（2）由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，由角平分线的概念可得∠PBN=2∠DBN，据此求解；
（3）由平行线的性质可得∠ACB=∠CBN，由已知条件可知∠ACB=∠ABD，则∠CBN=∠ABD，进而推出∠ABC=∠DBN，由（1）可知∠ABN=124°，∠CBD=62°，据此求解.
21．【答案】（1）解：；
；
理由如下：
，
，
即，
在和中，，
≌，
，
；
（2）解：当点在的延长线上，，如图所示：
，
，
在和中，
≌，
，
，，
．
【解析】【解答】解：（1）当时，
，
，
即，
在和中，，
≌，
，
；
，
故答案为：；
当时，
，
，
即，
在和中，，
≌，
，
；
，
故答案为：；
【分析】（1）①当∠BAC=40°时，由已知条件可知∠BAC=∠DAE，结合角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE，则∠BAC+∠DCE=∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，据此求解；
②当∠BAC=80°时，同理进行解答；
③同①证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠ACE，则∠BAC+∠DCE=∠BAC+∠BCA+∠ABC，据此求解；
（2）由已知条件可知∠BAC=∠DAE，结合角的和差关系可得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到∠B=∠2，然后结合内角和定理以及平角的概念进行解答.