2023-2024学年度第一学期高二开学考数学试卷 二．多选题（共 4小题，每题 5分，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分）
9．已知复数 z = (2 + i)i ，则 ( )
（满分 150 分，时间 120 分钟）
A． z =1+ 2i B． | z |= 5
一．单选题（共 8小题，每题 5分。共 40分）
C． z 在复平面内对应的点在第二象限 D． z +1为纯虚数
1．已知向量 a = (1,3 ),b = (2,7 )，若 a / /b ，则 = ( )
10．已知向量a = (2,1)，b = ( 3,1)， e 是与b 同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A．1 B． 1 C．3 D． 3
1 2 3 10 10
2．记 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，若 sin B = ，sin A = ，b = 3，则 a = ( ) A． a + b 与 a 共线 B．单位向量 e = ,
4 3 10 10
A．2 B．4 C．6 D．8
1 5 2 5
3．已知 x，y∈R，若 2+yi＝x﹣i（i为虚数单位），则 y﹣x的值为（ ） C．向量 a 在向量b 上的投影向量为 e D．若c = , ，则a ⊥ c 2 5 5
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
11．为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取 1000 名学生
4．下列函数中，同时满足：①在 上是增函数；②为奇函数；③周期为 π 的函数有（ ） 每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成 6 组：第一组[30 ， 40) ，第二组[40 ，50) ，
A．y＝tanx B．y＝cosx C．y＝tan D．y＝sinx
2 第三组[50 ，60) ，第四组[60 ，70) ，第五组[70 ，80)，第六组[80 ，90]．对统计数据整理得到如图所
5．已知平面向量 a ， b 满足 | a |=1， | b |= 2， | a + 2b |= 13 ，则 a ， b 的夹角为 ( ) 示的频率分布直方图，则下列结论正确的是 ( )
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
6．已知 tanx＝2，则 的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
7．在 ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为CD的中点，设 AB = a ， AC = b ，以向量 a 、b 为基底，则 AE
可以表示为 ( )
A．频率分布直方图中的 a = 0.15
B．估计 1000 名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为 400
C．估计 1000 名学生每天体育活动时间的众数是 55
D．估计 1000 名学生每天体育活动时间的第 25 百分位数为 45.5
1 1 1 1 1 1 1 1
A． a + b B． a b C． a + b D． a b
2 4 2 4 4 2 4 2 1 12．下列关于函数 f (x) = 2sin( x + ) 的表述正确的是 ( )
2 3
8．在 ABC 中，角 A， B ，C 的对边分别为 a， b ， c ，若 sin A = sin B cosC 且 c = 2 3 ， A = ，则
6 A．函数 f (x) 的最小正周期T = 4 B． x = 是函数 f (x) 的一条对称轴
3
c + a
= ( )
sinC + sin A 5 C． ( ,0) 是函数 f (x) 的一个对称中心 D．函数 f (x) 在区间[ , ]上是增函数
12 3 3
A．8 3 B． 4 3 C．8 D．4
{#{QQABDYAUggggABJAARhCQQ3QCEMQkBCACAgGgAAMMAAACANABAA=}#}
三．填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分） 20．已知函数 f (x) = 2 3 sin xcos x 2sin2 x .
1 3
13．已知 sin = ， ( , ) ，则 cos = ．
3 2 (1)求 f ( x)的最小正周期； (2)求函数 f ( x)的值域和单调递增区间.
i
14．已知 i 是虚数单位，若 z = ，则 | z |= ．
2 i
π
15．在 ABC 中， a = 3 ，b = 4 ，面积 S = 3 3 ，则边长 c 为 ． 21．已知函数 f (x) = Asin ( x + ) A 0， 0， 的部分图象如图．
2
nπ π (1)求 f ( x)的表达式；
16．已知 f (n) = sin + (n N+ )，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ + f (2023) = ______
2 4 π
(2)将函数 f ( x)的图象向左平移 个单位长度得到曲线 C，把 C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为
四．解答题（共 6小题，17题 10分，18-22题每题 12分，共 70分） 6
3π
17．已知平面向量 a ， b 的夹角为120 ，且 | a |= 3 ， | b |= 2． 原来的 2 倍得到函数 g (x)的图象．若关于 x 方程 g(x) m = 0在 0, 上有两个不同的实数解，求
2
（1）求 (2a + b) (a 2b)；（2）若 a + b 与 a kb 垂直，求实数 k 的值． 实数m 的取值范围。
18．学校对高一年级生物学科水平测试模拟考试的成绩进行了统计，随机抽取了 80 名学生的成绩作为
样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下： (1)求表中 n， p 的值和频率分布直
方图中a的值；(2)若要使 20%的学生达到优秀等次，请预测优秀等次的分数线．
分组 频数 频率
cos B b
22 ． 在 条 件 ① asin(B +C) + csin C bsin B = 2asin C sin B ， ② + = 0 ， ③
cosC c 2a
60,70) 16 0.2
2a2 = (a2 + b2 c2 )(1+ tanC) 中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．
70,80) 50 n 已知 ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ， c ，且满足 _____．
（1）求角 B 的大小；
80,90) 10 p
（2）若 ABC 的面积为3,a = 2 2 ，求 sin Asin C 的值．
90,100 4 0.05
1
19．在 ABC 中， a = 7，b = 8， cos B = ．
7
（1）求边长 c 与 A；（2）求 ABC 的面积．
{#{QQABDYAUggggABJAARhCQQ3QCEMQkBCACAgGgAAMMAAACANABAA=}#}高二8月开学考数学答案
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，若，则
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：因为，，
所以，解得．
故选：．
2．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：根据正弦定理有，得．
故选：．
3．已知x，y∈R，若2+yi＝x﹣i（i为虚数单位），则y﹣x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】根据复数相等，实部和虚部分别相等，求出x，y的值，再计算y﹣x的值即可．
【解答】解：因为2+yi＝x﹣i，x，y∈R，
所以x＝2，y＝﹣1，所以y﹣x＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的定义和复数相等，是基础题．
4．A
5．已知平面向量，满足，，，则，的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
，
设，的夹角为，则，
又，，
．
故选：．
6．解：因为tanx＝2，
则＝＝＝﹣3．
故选：B．
7．在中，为的中点，为的中点，设，，以向量、为基底，则可以表示为
A． B． C． D．
【解答】解：因为为的中点，
则，
因为为的中点，
则．
所以，
，，
则．
故选：．
8．在中，角，，的对边分别为，，，若且，，则
A． B． C．8 D．4
【解答】解：在中，由可得，
即，
所以，因为，，
所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知复数，则
A．
B．
C．在复平面内对应的点在第二象限
D．为纯虚数
【解答】解：，
则，，故错误，正确；
则在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，故正确；
，为纯虚数，故正确．
故选：．
10．BD
【分析】根据向量共线、单位向量、投影向量和向量垂直的坐标表示依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，不存在实数，使得，则与不共线，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，在上的投影向量为，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：BD.
11．为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，第六组，．对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是
A．频率分布直方图中的
B．估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为400
C．估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55
D．估计1000名学生每天体育活动时间的第25百分位数为45.5
【解答】解：由频率之和为1得，
解得，故错误；
学生每天体育活动不少于一个小时的概率为：，
则估计1000名学生每天体育活动不少于一个小时的学生人数为，故正确；
由频率分布直方图可估计1000名学生每天体育活动时间的众数是55，故正确；
由，，
故第25百分位数位于，内，
则第25百分位数为，
可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故错误．
故选：．
12．下列关于函数的表述正确的是
A．函数的最小正周期
B．是函数的一条对称轴
C．是函数的一个对称中心
D．函数在区间上是增函数
【解答】解：对于函数，
对于：由于函数的周期，故正确；
对于：当时，，故正确；
对于：根据选项的结论，故错误；
对于：由于，所以，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．已知，，则 ．
【解答】解：因为，
可得．
故答案为：．
14．已知是虚数单位，若，则 ．
【解答】解：，
故．
故答案为：．
15．在中，，，面积，则边长为 或 ．
【解答】解：（1），，
或，
当时，，；
当时，，．
故答案为：或．
16．
【分析】利用正弦函数的周期性，诱导公式，求得式子的值.
【详解】，
的周期为，
，
则
.
故答案为：.
四．解答题（共6小题）
17．已知平面向量，的夹角为，且，．
（1）；
（2）求；
（3）若与垂直，求实数的值．
【解答】解：（1）由平面向量，的夹角为，，，
可得；
（2）由已知条件及（1）可得：
；
（3）由与垂直，
可得，
即，
即，
解得．
18．(1)，， (2)79.6
【详解】（1）,,,
（2）设优秀等次的分数线为x，由知在内
则，∴, ∴优秀等次的分数线为79.6
19．在中，，，．
（1）求边长与；
（2）求的面积．
【解答】解：（1）因为，，，
由余弦定理可得，
即，
解得或（舍去），
又，
所以，
利用正弦定理得，即，
解得，
又，
所以；
（2）由、、，
可得．
20．【详解】（1）解：由函数，
所以函数的最小正周期为.
（2）解：由函数，
当时，即，此时；
当时，即，此时，
所以函数的值域为.
令，解得，
所以函数的单调递增区间为
21．(1) (2)
【详解】（1）函数的周期为，由图象可得，得
所以，所以，
因为的图象经过点，
所以，解得，得，因为，所以，
所以，
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线：，
因为再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，
所以，
因为关于的方程在上有两个不同的实数解，
所以在上有两个不同的实数解，
令，则，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以只需与的图象在有两个不同的公共点，
作出在上的简图如下，
由图可知当或时，与的图象有两个不同的公共点，
所以实数的取值范围为
22．在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 _____．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值．
【解答】解：（1）若选①：
因为，
所以，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，，
所以，即，
因为，所以．
若选②：
由正弦定理及，得，
整理得，
所以，
因为，所以，
又，所以．
若选③：
由余弦定理，得，
因为，
所以，
因为，所以，
由正弦定理，得，
所以，
整理得，
因为，所以，即，
又，所以．
（2）由（1）得，
因为的面积为，
所以，解得，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，，
所以，
所以．
