江西省宁冈县中2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

宁冈县中2023-2024学年高二上学期开学考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C．或 D．
2．若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各命题中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
4．已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
5．函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
6．圆台的上 下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ）
A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是
C．圆台的高是 D．圆台的体积是
7．如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲 乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的虚部为 B．的共轭复数
C． D．
10．如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ）

A． B． C． D．
11．设函数，则（ ）．
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称中心
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递增
12．已知O为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共20分）
13．过直线l外两点可以作l的平行线的条数为 ．
14．已知平面向量的夹角为，则
15．函数的部分图象如图所示，若、，且，则 .

16．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是 ．

四、解答题（共70分）
17．已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
18．已知函数．

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求的单调递增区间．
19．已知复数，．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
20．如图，在直三棱柱中，，D是棱的中点，

(1)求证：平面；
(2)求平面与侧面所成锐角的正切值.
21．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的取值范围．
22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知AB⊥AD，，=．函数．

(1)若，求的值域；
(2)若对于任何有意义的边a，在上有解，求b的取值范围．
答案
1．B
∵，∴或，
若，解得或，
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立，
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，
综上所述，．
故选：B．
2．C
若是第一象限角，则，
，则是第四象限角，故D错误；
，则是第一象限角，故A错误；
，则是第二象限角，故B错误；
，则是第三象限角，故C错误.
故选：C.
3．C
对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；
对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.
故选：C.
4．D
若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，则或m与n异面，故C错误；
若，，由平面与平面垂直的判定可得，故D正确.
故选：D
5．A
函数的对称轴满足，
解得，令，则，
故选：A.
6．C
依题意，圆台侧面展开图，如图，

设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，又，
则，同理，于是圆台的母线，高，
表面积，
体积，ABD正确，C错误.
故选：C
7．B

连接，在中，由条件可得，则，
，
在中，由正弦定理得，
在中，由条件得，且，
在中，由余弦定理得
，
，故A，C，D错误.
故选：B.
8．D
如图，连接、，且、分别交于、.
因为四边形是正方形，、分别为和的中点，
故为的中点，因为平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离就是点到平面的距离.
，即，平面，
平面，，平面，
平面平面平面平面，
作交于点，因为平面，平面平面，
平面，所以线段的长就是点到平面的距离.
正方形的边长为.
平面，平面，所以，
在中，，根据，
有，得，
因为，平面，所以的长即为点到平面的距离，
，即与平面成角的正弦值为.
故选：D.

9．ABD
设复数，，，则，
即，则有，解得，
故.
对选项A，的虚部为，选项A错误；
对选项B，的共轭复数， 选项B错误；
对选项C，， 选项C正确；
对选项D，， 选项D错误；
故选：ABD.
10．CD
设，，
因为是线段的中点，则有，
由，可得，
设
，
则由平面向量基本定理可得，解得，
又，，三点共线，
故可设，
设，由为中点可知，
，将代入可得，
即，正确；
又，
，
，
设，
则有，
即，解得，，
故，正确；
故选：CD．
11．ABC
函数，
对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A正确；
对于选项B，令，解得，，
因为当，所以是函数图象的一个对称中心，
故选项B正确；
对于选项C，当时，，因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故选项C正确；
对于选项D，当时，，因为函数在上先增后减，所以函数在上先增后减，故选项D错误，
故选：ABC.
12．ABD
A选项，，，
故，A正确；
B选项，，
故
，
，
故
，
由于，故，B正确；
C选项，，
，
因为不一定相等，故不一定相等，C错误；
D选项，由和差化积可得
，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ABD
13．0条或1条
连接直线l外两点得到直线a.
当直线l外两点与直线l在同一平面内时，直线a与直线l相交或平行，此时过直线l外两点可以作l的平行线的条数为0条或1条；
当直线l外两点与直线l不在同一平面内时，直线a与直线l异面，此时过直线l外两点可以作l的平行线的条数为0条；
综上所诉，过直线l外两点可以作l的平行线的条数为0条或1条.
故答案为：0条或1条.
14．
因为向量的夹角为，则，
所以.
故答案为：
15．
由图象可得，函数的最小正周期为，
所以，，则，
因为，且函数在附近单调递增，
所以，，则，
因为，所以，，则，
因为、，则，，
又因为，则，可得，
因此，.
故答案为：.
16．
如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，

由正方体，E，N分别为，的中点，
易知，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF，
因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面，
因为P是底面上一点，且平面，所以点，
由分别为的中点，且，，则，，即，
由，则
在等腰中，底边上的高，
则AP的长度的取值范围为，
设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足，
所以．
故答案为：.
17．(1)
(2)
（1）由于，所以，
所以.
（2）
.
18．(1)答案见解析
(2)，．
（1）分别令，，，，，可得：
0
0 1 0 0
画出在一个周期的图像如图所示：

（2），
若求单调递增区间，需满足，，
，，
则的单调递增区间为，．
19．(1)；
(2)
（1）是纯虚数，
故，解得
（2）因为在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
故的取值范围为．
20．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：因为直三棱柱中，，D是棱的中点，
所以，，，
所以，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为，平面，所以平面，
所以平面，所以，
因为，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，
因为，平面平面，
所以就是平面与侧面所成的平面角，
因为平面，平面，所以，
在中，，则，
所以平面与侧面所成锐角的正切值为.
21．(1)
(2)
(3)
（1）因为，
且，则，可得，
整理得，所以.
（2）由余弦定理，即，
解得或（舍去），
所以的面积.
（3）由正弦定理，可得，
则
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，可得，
则，
所以的取值范围为.
22．(1)
(2)
（1）由题设知：，
又a＝b＝1，故
，
即，
∵令，∴，抛物线开口向上，对称轴，
因为，所以当时，最小且为，
当t＝1时，最大且为，所以．故的值域为；
（2），根据条件得，得到，
又，所以．设，则，，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，所以，0＜a＜2．
由（1）易知：
．
依题意对于任意a值，使得恒成立，
因为，所以，
即，
又－4＜－2a＜0，所以，有解即可．
令，，，容易知道在上是增函数，
故，只需的最大值大于等于0即可，又，故．