1.1探索勾股定理（第一课时） 课件（43张PPT）

(共43张PPT)
新课标 北师大版 八年级上册
2023-2024学年度上学期北师大版精品课件
第一章勾股定理
1.1探索勾股定理（第一课时）
1.经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展空间概念和推理能力.
2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
学习目标
复习提问
1.什么叫直角三角形？
2.直角三角形两个锐角之间有怎样的关系？
3.直角三角形三边之间又有怎样的数量关系？
实例引入
1.使用什么语言与外星人沟通呢？
数学家曾建议用勾股定理作为与“外星人”联系的信号.
实例引入
2.2002年世界数学家大会在我国北京召开，
下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关
实例引入
如图1-1，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
8m
6m

事实上，古人发现：
直角三角形三条边长度的
平方存在一种特殊的关系
探究新知
探究活动一：
在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
两直角边的平方和等于斜边的平方
猜想：三边长的平方之间的关系
测量法
a
b
c
探究新知
探究活动二：
A的面积 SA B的面积 SB C的面积
SC
图1
图2
填表：
9
9
？
怎样计算正方形C的面积呢？
4
4
？
如图1-2，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流.
方法一、割：分割成四个等腰直角三角形
图1
图2
图1
SC= ×3×3×4=18
图2
SC= ×2×2×4=8
怎样计算正方形C的面积呢？
探究新知
方法二、补：补成大正方形，用大正方形的面积减去
四个直角三角形的面积.
图1
SC=6×6- ×3×3×4=18
图2
SC=4×4- ×2×2×4=8
怎样计算正方形C的面积呢？
探究新知
方法三、拼：将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色可拼成一个小正方形.
图1
SC=18
图2
SC=8
怎样计算正方形C的面积呢？
探究新知
探究新知
下面直角三角形（等腰直角三角形）三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
A的面积 SA B的面积 SB C的面积
SC
图1
图2
填表：
9
9
4
4
18
数量关系 ：SA+SB=SC
8
探究活动三：
探究活动三：
填表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
16
？
9
怎样计算正方形C的面积呢？
1
9
？
对于图1-3中的直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？
探究新知
方法一、割：分割成四个等腰直角三角形和一个小正方形
怎样计算正方形C的面积呢？
探究新知
图1
SC=4×（ ×3×4）+1=25
图2
SC=4×（ ×3×1）+4=10
方法二、补：补成大正方形，用大正方形的面积减去
四个直角三角形的面积.
图1
SC=7×7- ×3×4×4=25
图2
SC=4×4- ×3×1×4=10
怎样计算正方形C的面积呢？
探究新知
方法三、拼：将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色可拼成一个小正方形.
图1
SC=25
图2
SC=10
怎样计算正方形C的面积呢？
探究新知
探究新知
填表：
A的面积 SA B的面积 SB C的面积
SC
左图
右图
16
9
1
9
25
10
数量关系 ：SA+SB=SC
下面直角三角形（一般的直角三角形）三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？
探究新知
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成一个正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
正方形面积的几种常见求法
建立模型
通过上面的活动，我们发现：
∴a2+b2=c2
A
B
a
c
b
∵SA=a2，
SB=b2，
SC=c2
∵SA+SB=SC
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
C
建立模型
勾股定理
勾
股
弦
我国古代把直角三角形中，
较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
斜边称为弦
“勾股定理”因此而得名.
我国古代”周髀算经“里就有”勾3股4弦5“的记载
建立模型
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
勾股定理
两千多年前，古希腊有个哥拉
斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此
在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯
年希腊曾经发行了一枚纪念票。
定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
解释应用
例1：如图1-1，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°
根据勾股定理,
∴AB =AC +BC
=8 +6
=64+36
=100=102
∴AB=10m
答：需要钢索的长度为10m
例2： 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
解：∵在Rt△ABC中∠ACB=90°
由勾股定理可得，
∴AB2=AC2+BC2=25，
∴ AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ = AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
解释应用
解释应用
例3：△ABC中,若AB=13，AC=15,BC=14,求△ABC的面积.
D
解：过点A作AD⊥BC,垂足为D
设BD=x，则CD=BC-BD=14-x
∵∠ADB=∠ADC=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2
∴132-x2=152-（14-x）2
解得：x=5
∴AD2=AB2-BD2=132-52=144， ∴AD=12
∴ = BC×AD= ×14 ×12=84
随堂练习
1.求下列图中字母所代表的正方形的面积
=625
225
400
A
225
81
B
=144
随堂练习
A
C
B
46cm
58cm
2.小明家买了一台29in（in表示英寸，1in=25.4mm）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？
随堂练习
S5=S1+S2=4，
S7=S5+S6=10.
S6=S3+S4=6，
3.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值.
随堂练习
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16；
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9.
∴BC＝BD＋CD＝25，
∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
4. 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
随堂练习
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7，
∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结
中考链接
中考链接
课堂小结
勾股定理
文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
符号语言∵在Rt△ABC，∠C=90°，∴a2+b2=c2
图形语言
a
A
B
C
b
c
∟
当堂测试
当堂测试
当堂测试
分层作业
分层作业
分层作业
分层作业
分层作业
祝所有同学
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
不负韶华