第一章 空间向量与立体几何 单元测试（含答案）

　空间向量与立体几何 练习
一、单项选择题
1.在空间直角坐标系Oxyz中,点M(x,y,2 023)(x∈R,y∈R)构成的集合是　 (　　)
A.一条直线　　　　B.平行于平面Oxy的平面
C.两条直线　　　　D.平行于平面Ozx的平面
2.若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能成为基底的一组向量是 (　　)
A.a+c,a-b,b+c　　　　B.c,a+b,a-b
C.a,a+b,a-b　　　　D.a+b,a+b+c,c
3.已知u=(2,2,-1)是平面α的法向量,a=(-3,4,2)是直线l的方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 (　　)
A.平行或直线在平面内　　　　B.垂直
C.相交但不垂直　　　　D.不能确定
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点M,设=,=,=,则= (　　)
A.---　　B.+-　　C.-　　D.--
5.已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2),=(1,3,λ),若向量,,共面,则实数λ等于 (　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
6.已知空间向量=(2,-2,1),=(3,0,4),则向量在向量上的投影向量是 (　　)
A.(3,0,4)　　B.(3,0,4)　　C.(2,-2,1)　　D.(2,-2,1)
7.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=,点E,F满足,则||= (　　)
A.
8.已知在棱长为2的正四面体ABCD中,点M满足-(x+y-1),点N满足+(1-λ),当AM,BN均最短时,= (　　)
A.-
二、多项选择题
9.已知向量=(1,-1,m),=(-2,m-1,2),则下列结论正确的是 (　　)
A.若||=2,则m=±
B.若⊥,则m=-1
C.不存在实数λ,使得=λ
D.若·=-1,则+=(-1,-2,-2)
10.已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是 (　　)
A.
C.点O到直线BC的距离为　　　　D.O,A,B,C四点共面
11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则下列结论正确的有 (　　)
A.AD与BC所成的角为30°
B.AC与BD所成的角为90°
C.BC与平面ACD所成角的正弦值为
D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P满足,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则以下说法正确的是 (　　)
A.当λ=μ时,BP∥平面CB1D1
B.当μ=时,存在唯一点P使得DP所在直线与直线CB1的夹角为
C.当λ+μ=1时,DP+PB的最小值为
D.当点P落在以B1为球心,为半径的球面上时,λ+μ的最小值为2-
三、填空题
13.已知空间向量=(λ+1,2λ,1),=(6,2,2m-1),若∥,则λ+m=　　　　.
14.已知A(1,2,0),B(0,1,-1),P是x轴上的动点,当||时,点P的坐标为　　　　;当取得最小值时,点P的坐标为　　　　.
15.已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1是边长为1的正方形,下底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱与下底面所成的角均为60°,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为　　　　.
16.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=1,AD=2,AA1=3,AC1=5,∠BAD=∠A1AD=60°,则该平行六面体的体积为　　　　.
四、解答题
17.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设=,=.
(1)若向量k+与k-2互相垂直,求实数k的值;
(2)若向量λ-与-λ共线,求实数λ的值.
18.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E,G分别是AB,CD的中点.
(1)求证:EG⊥AB;
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
19.从下列三个条件中任选一个,补充在问题中的横线上,并加以解答.条件①:图1中,tan∠ABD=2;条件②:图1中,3;条件③:图2中,CD>BD,S△BCD=1.
图1 图2
如图1所示,在△ABC中,∠ACB=45°,|BC|=3,过点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图2).已知点M为棱AC的中点,　　　　,在棱CD上取一点N,使得|CN|=3|DN|,求平面BNM与平面BNC的夹角的余弦值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,棱AB,AD,AP两两垂直,长度分别为1,2,2,且向量.
(1)求CD的长度;
(2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DCB=60°,AB⊥PB,E为棱CD的中点,且PE⊥AD.
(1)证明:PE⊥底面ABCD;
(2)若AB=2,求二面角A-PB-C的余弦值的取值范围.
22.为方便师生行动,某校正实施某栋教学楼电梯加装工程.我们借此构造了以下模型:已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,它抽象自该栋教学楼南侧的楼心花园所占据的空间,设|AB|=|BC|=8,|AA1|=12,O为底面ABCD的中心,正四棱柱OECF-O1E1C1F1与正四棱柱OECF-O2E2C2F2分别代表电梯井与电梯厢,设|OO2|=2,M为棱FF1的中点,N,K分别为棱AA1,DD1上的点,|AN|=8,|DK|=4.
(1)求证:OM∥平面A1CF1;
(2)求直线A1O与平面A1CF1所成角的正弦值;
(3)“你站在桥上看风景,看风景的人在楼上看你.明月装饰了你的窗子,你装饰了别人的梦.”卞之琳诗句中的情景其实也在我们的生活中反复上演.假如甲同学站在楼心花园的中心(O点),她正目送着倚立在电梯厢一角的乙同学,假定甲同学的目光聚焦于棱OO2的中点I,此时,电梯厢中同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室,随着电梯厢向上启动,在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景.现在,请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题:在电梯厢自底部(平面OECF与平面ABCD重合)运行至顶部(平面O2E2C2F2与平面A1B1C1D1重合)的过程中,求点O到平面INK距离的最大值.
参考答案
1.B　2.B　3.A　4.D 5.A 6.C 7.D 8.A
9.AC 10.ABC 11.BD 12.ACD
13. 14.　 15. 16.3
17.解：(1)由已知可得==(1,1,0),==(-1,0,2),
∴k+=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),k-2=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4).
若k+与k-2互相垂直,则(k+)·(k-2)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0,即(2k+5)(k-2)=0,
解得k=-或k=2.
(2)由(1)知=(1,1,0),=(-1,0,2),
则λ-=λ(1,1,0)-(-1,0,2)=(λ+1,λ,-2),-λ=(1,1,0)-λ(-1,0,2)=(1+λ,1,-2λ),
由题意可设λ-=m(-λ)(m∈R),所以
解得因此实数λ的值为±1.
18.解：(1)证明:=()·×12+×1×1××1×1×=0, (3分)
∴⊥,
∴EG⊥AB.
(2)∵|,
)·)=·(-)=[-+()·]=×［-12+1×1×+1×1×+1×1×+1×1×.设异面直线AG和CE所成的角为θ,则cos θ=,
∴异面直线AG和CE所成角的余弦值为.
19.解：由题可知,DB,DC,DA两两垂直.以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
选条件①.
在题图1所示的△ABC中,设|AD|=|CD|=a,则在Rt△ABD中,tan∠ABD==2,解得a=2,
∴|BD|=1.
∴B(1,0,0),N,M(0,1,1),
∴=(-1,1,1).
设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),
由令x=1,则y=2,z=-1,∴n=(1,2,-1).
易知平面BNC的一个法向量为(0,0,1),记m=(0,0,1),
∴|cos|=,
易知平面BNM与平面BNC的夹角为锐角,
∴平面BNM与平面BNC的夹角的余弦值为.
选条件②.
在题图1所示的△ABC中,由3,得2()=,即2,
∴|DC|=2|BD|.
∵|BC|=3,
∴|CD|=2,|BD|=1.
以下同条件①.
选条件③.
在题图2所示的△BCD中,设BD=b(0∴S△BCD=b(3-b)=1,解得b=1或b=2.
又∵|CD|>|BD|,
∴|CD|=2,|BD|=1.
以下同条件①.
20.解：(1)依题意,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),A(0,0,0),
∴=(1,0,0),=(-1,2,0).
由AB∥CD,可设(λ>0),∴C(λ,2,0),
∴=(λ,2,-2),
∴cos<(λ<4),
∴λ2-12λ+20=0,解得λ=2或λ=10(舍去),
∴|CD|=2|AB|=2.
(2)由(1)易得=(1,0,-2),=(0,2,-2),=(2,2,-2).
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),则
令z=1,则x=2,y=1,∴平面PBD的一个法向量为n=(2,1,1).
设直线PC与平面PBD所成的角为θ,θ∈,
则sin θ=|cos<,n>|=,
∴直线PC与平面PBD所成角的正弦值为.
21.解：(1)证明:如图,连接BE,BD.
∵四边形ABCD为菱形,∠DCB=60°,
∴△BCD为等边三角形,则BE⊥DC.
∵AB∥CD,AB⊥PB,
∴CD⊥PB.
∵PB∩BE=B,PB,BE 平面PEB,
∴DC⊥平面PEB,
∵PE 平面PEB,
∴DC⊥PE,
∵PE⊥AD,DC∩AD=D,DC,AD 平面ABCD,
∴PE⊥底面ABCD.
(2)设PE=t(t>0),由(1)可知PE,EB,EC两两垂直.以点E为坐标原点,EB,EC,EP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,t),A(,-2,0),B(,0,0),C(0,1,0),
∴=(0,2,0),=(-,0,t),=(-,1,0).
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),则
即,则y=0,z=,故m=.
设平面PBC的法向量为n=(x',y',z'),则
即,则y'=3,z'=,故n=.
cos=,t>0,
令a=>0,则cos=.
∵∈,
∴cos=∈.
由题图可知二面角A-PB-C的平面角为钝角,
∴二面角A-PB-C的余弦值的取值范围为.
22.解：(1)证明:以O为坐标原点,OE所在直线为x轴,OF所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则O(0,0,0),M(0,4,6),A1(-4,-4,12),C(4,4,0),F1(0,4,12),
∴=(4,8,0),=(-4,0,12),=(0,4,6),
设平面A1CF1的法向量为n=(x,y,z),
则取z=2,得x=6,y=-3,故n=(6,-3,2),
∵n·=6×0-3×4+2×6=0,
∴n⊥,
∵OM不在平面A1CF1内,∴OM∥平面A1CF1.
(2)由(1)得=(4,4,-12),
∴cos<,n>=,
∴直线A1O与平面A1CF1所成角的正弦值为.
(3)同(1)中所建坐标系,设I(0,0,λ),λ∈[1,11].
易知N(-4,-4,8),K(-4,4,4),∴=(0,8,-4),=(-4,4,4-λ),=(0,0,λ).
设平面INK的一个法向量为m=(a,b,c),
则取b=1,得a=,c=2,故m=,
∴点O到平面INK的距离d=,λ∈[1,11],
∴当,即λ=时,d取得最大值,为,
∴点O到平面INK距离的最大值为.