人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2数列的应用问题 同步作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2数列的应用问题 同步作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 226.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-15 09:14:44 | ||
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文档简介
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2数列的应用问题 同步作业（原卷版）
1．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于( )
A．54 B．45
C．36 D．27
3．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是( )
A. B.
C.－1 D.－1
4．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )
A．成等差数列 B．成等比数列
C．倒数成等差数列 D．不确定
5．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{an2}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列
6．两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )
A. B.
C. D.
7．【多选题】在《增删算法统宗》中有这样的一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D．此人后三天共走了四十二里路
8.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了________支铅笔．
9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝，＋＋＋…＋＝，则log2(a6a8)的值为________．
10．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－p，则a12＋a22＋a32＋…＋an2＝________．
11．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.
12．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)设bn＝an－n，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
13．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
14．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(lg2≈0.3)
15．在①2Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝，③Sn＝1－2an＋1这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________，正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
16．被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔8 844.43 m，是世界第一高峰．但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有0.01 cm厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度．”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看．(取lg2＝0.3)
1．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n∈N*)．
2．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比它前一号盒子多放同样粒数的米．
(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
(2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
3．某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
4．碘－131是一种放射性物质，在医疗诊断中常会用到它．下表是20 g碘－131在3天内每天衰减的实验数据：
时间/天 0 1 2 3
剩余/g 20.0 18.0 16.2 14.58
按此规律衰减，问7天后还能不能保证有10 g该物质用于治疗，说明你的理由．(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2数列的应用问题 同步作业（解析版）
1．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
答案 B
解析 ∵26＝14.8＋(n－1)·0.7，∴0.7n＝11.9，n＝17，∴an＝0＋(17－1)×100＝1 600.故选B.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于( )
A．54 B．45
C．36 D．27
答案 A
解析 ∵2a8＝a5＋a11，2a8＝6＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.
3．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是( )
A. B.
C.－1 D.－1
答案 C
解析 设月平均增长率为p，则(1＋p)11＝m，∴p＝－1.
4．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )
A．成等差数列 B．成等比数列
C．倒数成等差数列 D．不确定
答案 B
解析 由题意，得2a2＝a1＋a3，a32＝a2·a4，①
＝＋，②
∴a2＝，代入①式，得a4＝.③
③式代入②式，得＝＋，
∴＋＝＋，∴a32＝a1a5，故a1，a3，a5成等比数列．
5．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{an2}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列
答案 A
解析 设bn＝an2，则＝＝＝q2，∴{bn}为等比数列，故A正确；＝2an＋1－an≠常数，故B错误；当an<0时，lgan无意义，故C错误；设cn＝nan，则＝＝·q≠常数，故D错误．
6．两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ＝＝＝.
7．【多选题】在《增删算法统宗》中有这样的一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D．此人后三天共走了四十二里路
答案 ACD
解析 本题考查等比数列的性质和等比数列的前n项和．设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为的等比数列，因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192.由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，故A正确；由于a3＝192×＝48，>，故B错误；由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故C正确；由于a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．故选ACD.
8.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了________支铅笔．
答案 7 260
解析 从下向上依次放了1，2，3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．
9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝，＋＋＋…＋＝，则log2(a6a8)的值为________．
答案 5
解析 ∵＋＋＋…＋＝·＝·＝
·＝·＝·S13，
∴×＝，∴a72＝32，∴log2(a6a8)＝log2a72＝5.
10．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－p，则a12＋a22＋a32＋…＋an2＝________．
答案 (4n－1)
解析 ①当n＝1时，a1＝2－p；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－p)－(2n－1－p)＝2n－1.
因为数列{an}为等比数列，所以a1＝2－p＝21－1＝1 p＝1
从而等比数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列．
故等比数列{an2}为首项为1，公比为q2＝4的等比数列．
所以a12＋a22＋a32＋…＋an2＝(4n－1)．
11．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.
解析 (1)设公差为d，由题意，得a112＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)．
∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.
(2)由(1)知a3n－2＝31－6n，
∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．
令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝＝－3n2＋28n.
12．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)设bn＝an－n，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
解析 (1)∵bn＋1＝an＋1－(n＋1)＝4an－3n＋1－(n＋1)＝4(an－n)＝4bn，且b1＝a1－1＝1，
∴{bn}是以1为首项，以4为公比的等比数列，
∴bn＝b1qn－1＝4n－1.
(2)∵an＝bn＋n＝4n－1＋n，∴Sn＝＋.
13．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
解析 (1)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝＋·，∴－1＝.
又∵a1＝，∴－1＝，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知－1＝×＝，
即＝＋1，∴＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋，①
则Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②式，得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－，
∴Tn＝2－－.又∵1＋2＋3＋…＋n＝，
∴数列的前n项和Sn＝2－＋＝－.
14．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(lg2≈0.3)
解析 设a1，a2，…，a20表示从今年开始的各年木材存量，且a0＝3 300，则an＝an－1(1＋25%)－b.
∴an＝an－1－b，an－4b＝(an－1－4b)，
即数列{an－4b}是等比数列，公比q＝.
∴a20－4b＝(a0－4b)·.
令t＝，则lgt＝20lg＝20(1－3×0.3)＝2.
∴t＝100，∴a20－4b＝100(a0－4b)．
∴a20＝100a0－396b.由a20≥4a0，
得100a0－396b≥4a0，b≤a0＝800.
故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．
15．在①2Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝，③Sn＝1－2an＋1这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________，正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)易知条件①③等价，故不能同时选择．
若选择①②，解答过程如下：
当n≥2时，由2Sn＋1＝Sn＋1得2Sn＝Sn－1＋1，两式相减得2an＋1＝an，那么＝(n≥2)．
当n＝1时，有2S2＝S1＋1，即2(a1＋a2)＝a1＋1，所以a1＝，
所以＝，所以{an}为首项为，公比为的等比数列，所以an＝.
设等差数列{bn}的公差为d，d≥0，
因为b1，b2－1，b3成等比数列，所以b1·b3＝(b2－1)2，即2(2＋2d)＝(1＋d)2，
解得d＝3，所以bn＝3n－1.
若选择②③，解答过程如下：
当n≥2时，由Sn＝1－2an＋1得Sn－1＝1－2an，两式相减得an＝2an－2an＋1，即2an＋1＝an，以下解法同前．
(2)由cn＝an·bn＝得Tn＝＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
所以Tn＝1＋3－＝－，
所以Tn＝5－.
16．被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔8 844.43 m，是世界第一高峰．但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有0.01 cm厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度．”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看．(取lg2＝0.3)
解析 纸的厚度组成等比数列{an}，
a1＝0.01 cm＝0.0001 m，q＝2.
∴a31＝a1q30＝0.0001×230
∴lga31＝lg(0.0001×230)
＝－4＋30lg2
＝－4＋30×0.3
＝5
∴a31＝105＝10 000>8 844.43.
∴这张报纸不是吹牛．
1．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n∈N*)．
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R)，
由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.
因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，
即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，所以q＝.
故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝64.
(2)证明：Sn＝＝
＝128<128.
2．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比它前一号盒子多放同样粒数的米．
(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
(2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
解析 设每个盒子所放米的粒数组成等差数列{an}，公差为d.
(1)S9＝9×11＋d＝351，∴d＝7.
(2)∵
∴
∴d＝8.
3．某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
解析 从第一辆车投人工作算起，各车工作时间(单位：h)依次设为a1，a2，…，a25.
这是一个等差数列，其中首项a1＝24，公差d＝－.
25辆车可以完成的工作量为
a1＋a2＋…＋a25＝25a1＋d＝25×24＋×＝500.
需要完成的工作量为24×20＝480.
因此，在24 h内能构筑成第二道防线．
4．碘－131是一种放射性物质，在医疗诊断中常会用到它．下表是20 g碘－131在3天内每天衰减的实验数据：
时间/天 0 1 2 3
剩余/g 20.0 18.0 16.2 14.58
按此规律衰减，问7天后还能不能保证有10 g该物质用于治疗，说明你的理由．(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
解析 碘－131每天剩余的质量组成首项a1＝20，公比q＝0.9的等比数列．
而第7天后剩余的质量相当于数列的第8项．
a8＝20×0.97，
∴lga8＝lg20＋7lg0.9
＝1＋lg2＋7(2lg3－1)
≈1＋0.301 0＋7×(－0.045 8)
≈1＋0.301 0－0.320 6
≈1－0.019 6<1
∴a8<10.
故7天后不能保证有10 g该物质用于治疗．
4.3.2数列的应用问题 同步作业（原卷版）
1．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于( )
A．54 B．45
C．36 D．27
3．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是( )
A. B.
C.－1 D.－1
4．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )
A．成等差数列 B．成等比数列
C．倒数成等差数列 D．不确定
5．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{an2}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列
6．两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )
A. B.
C. D.
7．【多选题】在《增删算法统宗》中有这样的一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D．此人后三天共走了四十二里路
8.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了________支铅笔．
9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝，＋＋＋…＋＝，则log2(a6a8)的值为________．
10．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－p，则a12＋a22＋a32＋…＋an2＝________．
11．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.
12．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)设bn＝an－n，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
13．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
14．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(lg2≈0.3)
15．在①2Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝，③Sn＝1－2an＋1这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________，正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
16．被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔8 844.43 m，是世界第一高峰．但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有0.01 cm厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度．”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看．(取lg2＝0.3)
1．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n∈N*)．
2．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比它前一号盒子多放同样粒数的米．
(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
(2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
3．某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
4．碘－131是一种放射性物质，在医疗诊断中常会用到它．下表是20 g碘－131在3天内每天衰减的实验数据：
时间/天 0 1 2 3
剩余/g 20.0 18.0 16.2 14.58
按此规律衰减，问7天后还能不能保证有10 g该物质用于治疗，说明你的理由．(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2数列的应用问题 同步作业（解析版）
1．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是( )
A．1 500 m B．1 600 m
C．1 700 m D．1 800 m
答案 B
解析 ∵26＝14.8＋(n－1)·0.7，∴0.7n＝11.9，n＝17，∴an＝0＋(17－1)×100＝1 600.故选B.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于( )
A．54 B．45
C．36 D．27
答案 A
解析 ∵2a8＝a5＋a11，2a8＝6＋a11，∴a5＝6，∴S9＝9a5＝54.
3．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是( )
A. B.
C.－1 D.－1
答案 C
解析 设月平均增长率为p，则(1＋p)11＝m，∴p＝－1.
4．在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5( )
A．成等差数列 B．成等比数列
C．倒数成等差数列 D．不确定
答案 B
解析 由题意，得2a2＝a1＋a3，a32＝a2·a4，①
＝＋，②
∴a2＝，代入①式，得a4＝.③
③式代入②式，得＝＋，
∴＋＝＋，∴a32＝a1a5，故a1，a3，a5成等比数列．
5．如果数列{an}是等比数列，那么( )
A．数列{an2}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列
答案 A
解析 设bn＝an2，则＝＝＝q2，∴{bn}为等比数列，故A正确；＝2an＋1－an≠常数，故B错误；当an<0时，lgan无意义，故C错误；设cn＝nan，则＝＝·q≠常数，故D错误．
6．两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ＝＝＝.
7．【多选题】在《增删算法统宗》中有这样的一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第三天走的路程占全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D．此人后三天共走了四十二里路
答案 ACD
解析 本题考查等比数列的性质和等比数列的前n项和．设此人第n天走an里路，则数列{an}是首项为a1，公比为的等比数列，因为S6＝378，所以S6＝＝378，解得a1＝192.由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，故A正确；由于a3＝192×＝48，>，故B错误；由于378－192＝186，192－186＝6，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故C正确；由于a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确．故选ACD.
8.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了________支铅笔．
答案 7 260
解析 从下向上依次放了1，2，3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．
9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S13＝，＋＋＋…＋＝，则log2(a6a8)的值为________．
答案 5
解析 ∵＋＋＋…＋＝·＝·＝
·＝·＝·S13，
∴×＝，∴a72＝32，∴log2(a6a8)＝log2a72＝5.
10．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－p，则a12＋a22＋a32＋…＋an2＝________．
答案 (4n－1)
解析 ①当n＝1时，a1＝2－p；
②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－p)－(2n－1－p)＝2n－1.
因为数列{an}为等比数列，所以a1＝2－p＝21－1＝1 p＝1
从而等比数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列．
故等比数列{an2}为首项为1，公比为q2＝4的等比数列．
所以a12＋a22＋a32＋…＋an2＝(4n－1)．
11．已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.
解析 (1)设公差为d，由题意，得a112＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)．
∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.
(2)由(1)知a3n－2＝31－6n，
∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．
令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝＝－3n2＋28n.
12．在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)设bn＝an－n，求数列{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
解析 (1)∵bn＋1＝an＋1－(n＋1)＝4an－3n＋1－(n＋1)＝4(an－n)＝4bn，且b1＝a1－1＝1，
∴{bn}是以1为首项，以4为公比的等比数列，
∴bn＝b1qn－1＝4n－1.
(2)∵an＝bn＋n＝4n－1＋n，∴Sn＝＋.
13．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
解析 (1)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝＋·，∴－1＝.
又∵a1＝，∴－1＝，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知－1＝×＝，
即＝＋1，∴＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋，①
则Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②式，得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－，
∴Tn＝2－－.又∵1＋2＋3＋…＋n＝，
∴数列的前n项和Sn＝2－＋＝－.
14．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(lg2≈0.3)
解析 设a1，a2，…，a20表示从今年开始的各年木材存量，且a0＝3 300，则an＝an－1(1＋25%)－b.
∴an＝an－1－b，an－4b＝(an－1－4b)，
即数列{an－4b}是等比数列，公比q＝.
∴a20－4b＝(a0－4b)·.
令t＝，则lgt＝20lg＝20(1－3×0.3)＝2.
∴t＝100，∴a20－4b＝100(a0－4b)．
∴a20＝100a0－396b.由a20≥4a0，
得100a0－396b≥4a0，b≤a0＝800.
故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．
15．在①2Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝，③Sn＝1－2an＋1这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________，正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析 (1)易知条件①③等价，故不能同时选择．
若选择①②，解答过程如下：
当n≥2时，由2Sn＋1＝Sn＋1得2Sn＝Sn－1＋1，两式相减得2an＋1＝an，那么＝(n≥2)．
当n＝1时，有2S2＝S1＋1，即2(a1＋a2)＝a1＋1，所以a1＝，
所以＝，所以{an}为首项为，公比为的等比数列，所以an＝.
设等差数列{bn}的公差为d，d≥0，
因为b1，b2－1，b3成等比数列，所以b1·b3＝(b2－1)2，即2(2＋2d)＝(1＋d)2，
解得d＝3，所以bn＝3n－1.
若选择②③，解答过程如下：
当n≥2时，由Sn＝1－2an＋1得Sn－1＝1－2an，两式相减得an＝2an－2an＋1，即2an＋1＝an，以下解法同前．
(2)由cn＝an·bn＝得Tn＝＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
所以Tn＝1＋3－＝－，
所以Tn＝5－.
16．被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔8 844.43 m，是世界第一高峰．但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有0.01 cm厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度．”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看．(取lg2＝0.3)
解析 纸的厚度组成等比数列{an}，
a1＝0.01 cm＝0.0001 m，q＝2.
∴a31＝a1q30＝0.0001×230
∴lga31＝lg(0.0001×230)
＝－4＋30lg2
＝－4＋30×0.3
＝5
∴a31＝105＝10 000>8 844.43.
∴这张报纸不是吹牛．
1．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n∈N*)．
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R)，
由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.
因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以a4＋a6＝2(a5＋1)，
即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，所以q＝.
故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝64.
(2)证明：Sn＝＝
＝128<128.
2．在编号为1～9的九个盒子中，共放有351粒米，已知每个盒子都比它前一号盒子多放同样粒数的米．
(1)如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
(2)如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？
解析 设每个盒子所放米的粒数组成等差数列{an}，公差为d.
(1)S9＝9×11＋d＝351，∴d＝7.
(2)∵
∴
∴d＝8.
3．某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24 h后方可筑成第二道防线．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
解析 从第一辆车投人工作算起，各车工作时间(单位：h)依次设为a1，a2，…，a25.
这是一个等差数列，其中首项a1＝24，公差d＝－.
25辆车可以完成的工作量为
a1＋a2＋…＋a25＝25a1＋d＝25×24＋×＝500.
需要完成的工作量为24×20＝480.
因此，在24 h内能构筑成第二道防线．
4．碘－131是一种放射性物质，在医疗诊断中常会用到它．下表是20 g碘－131在3天内每天衰减的实验数据：
时间/天 0 1 2 3
剩余/g 20.0 18.0 16.2 14.58
按此规律衰减，问7天后还能不能保证有10 g该物质用于治疗，说明你的理由．(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
解析 碘－131每天剩余的质量组成首项a1＝20，公比q＝0.9的等比数列．
而第7天后剩余的质量相当于数列的第8项．
a8＝20×0.97，
∴lga8＝lg20＋7lg0.9
＝1＋lg2＋7(2lg3－1)
≈1＋0.301 0＋7×(－0.045 8)
≈1＋0.301 0－0.320 6
≈1－0.019 6<1
∴a8<10.
故7天后不能保证有10 g该物质用于治疗．