人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时 同步作业（原卷版）
1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．－4
C．－2 D．2
2．等比数列{an}各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和S5＝(　　)
A．179 B．211
C．248 D．275
3．在公比为正数的等比数列中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8＝(　　)
A．21 B．42
C．135 D．170
4．【多选题】已知等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则(　　)
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)
A. B.
C. D.
6．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项总和为，则此数列的项数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
7．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________．
8．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2＝________．
9．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________．
10．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________．
11．数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．4
12．等比数列{an}中，a6－a5＝324，a2－a1＝4，则Sn＝__________．
13．(2016·课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
14．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
15．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求数列{an}的前8项和．
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4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时 同步作业（解析版）
1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．－4
C．－2 D．2
答案　A
解析　∵S5＝，
∴44＝＝＝11a1.∴a1＝4.
2．等比数列{an}各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和S5＝(　　)
A．179 B．211
C．248 D．275
答案　B
解析　∵a5＝a1q4，∴16＝81q4.∴q＝±.
又∵数列{an}的各项都是正数，∴q＝.
∴S5＝＝＝211.
3．在公比为正数的等比数列中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8＝(　　)
A．21 B．42
C．135 D．170
答案　D
解析　q2＝＝4，又q>0，∴q＝2.
∴a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝.
∴S8＝＝170.
4．【多选题】已知等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则(　　)
A．数列{a2n}是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列{log2an}是等差数列
D．数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
答案　AC
解析　等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1，Sn＝2n－1.
于是a2n＝22n－1，＝，log2an＝n－1，故数列{a2n}是等比数列，数列是递减数列，数列{log2an}是等差数列．
因为S10＝210－1，S20＝220－1，S30＝230－1，≠，所以S10，S20，S30不成等比数列(应是S10，S20－S10，S30－S20成等比数列)．故选AC.
5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　显然公比q≠1且q＞0，由题意，得解得∴S5＝＝＝.
6．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项总和为，则此数列的项数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　B
解析　∵q≠1，∴Sn＝.
∴＝，解得q＝－，＝14×.
∴n＝3，故该数列共5项．
7．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________．
答案　15
解析　设数列{an}的首项为a1，则S4＝＝a1，a4＝a1·＝a1，∴＝＝15.
8．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2＝________．
答案　(4n－1)
解析　∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，∴公比q＝2.又∵数列{an2}也是等比数列，首项为a12＝1，公比为q2＝4，∴a12＋a22＋…＋an2＝＝(4n－1)．
9．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________．
答案　2　2n＋1－2
解析　∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q，∴q＝2.再根据a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20，有a1＝2，∴an＝2n，利用求和公式可以得到Sn＝2n＋1－2.
10．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________．
答案　
解析　由条件an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，q>0，得q＝2，又a2＝1，所以a1＝，S4＝.
11．数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．4
答案　A
解析　等比数列{an}中，q≠1时，
Sn＝＝·qn－＝A·qn－A.
12．等比数列{an}中，a6－a5＝324，a2－a1＝4，则Sn＝__________．
答案　3n－1或
解析　∵a6－a5＝(a2－a1)·q4，
∴q4＝＝81，∴q＝±3.
当q＝3时，由a1(q－1)＝a1·(3－1)＝4，得a1＝2.
∴Sn＝＝3n－1.
当q＝－3时，由a1·(－3－1)＝4，得a1＝－1.
∴Sn＝＝.
13．(2016·课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
解析　(1)由已知得a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，则a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.
14．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
解析　由题设知a1≠0，an＝a1qn－1，Sn＝，则
由②得1－q4＝5(1－q2)，则(q2－4)(q2－1)＝0.
即(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，则an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，代入①得a1＝，则an＝×(－2)n－1.
综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，an＝×(－2)n－1.
15．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解析　(1)∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2，
∴q＝1不满足题意．
∴＝a1＋，解得q＝－.
(2)由(1)知q＝－，又a1－a3＝a1－a1q2＝a1＝3，∴a1＝4.
∴Sn＝＝.
　在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64，求数列{an}的前8项和．
解析　方法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an＝a1qn－1，由已知条件得a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24，①
a3a5＝(a1q3)2＝64，∴a1q3＝±8.
将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，没有实数q满足此式，故舍去．
将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，得a1＝1，所以S8＝＝255；
当q＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝＝85.
方法二：∵{an}是等比数列，∴依题意得a42＝a3a5＝64，
∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8.
∵{an}是实数列，∴>0，
故舍去a4＝－8，而a4＝8，a6＝32，从而a5＝±＝±16.
公比q的值为q＝＝±2，
当q＝2时，a1＝1，a9＝a6q3＝256，
∴S8＝＝255；
当q＝－2时，a1＝－1，a9＝a6q3＝－256，
∴S8＝＝85.