人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2特殊数列求和方法 同步作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2特殊数列求和方法 同步作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 196.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-15 09:15:36 | ||
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文档简介
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2特殊数列求和方法 同步作业（原卷版）
1．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A. B.
C. D.
2．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2
3．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为( )
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和T10＝( )
A. B.
C. D.
5．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )
A．5 B.
C. D.
6．【多选题】已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，则( )
A．数列为等差数列
B．数列{an}为递增数列
C．数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1＋4
D．数列的前n项和Tn＝
7．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝________．
8．Sn＝＋＋…＋＝________．
9．已知an＝n＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
10．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列{an}的通项公式an＝________，数列的前n项和Sn＝________．
数列{an}的前n项和为Sn＝10n－n2，求数列{|an|}的前n项和．
12．求1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．
13．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
14．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
16．(2016·课标全国Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
2．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2特殊数列求和方法 同步作业（解析版）
1．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A. B.
C. D.
答案 B
2．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2
答案 A
3．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为( )
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
答案 D
解析 记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n.
4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和T10＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 bn＝＝＝－，
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10
＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.
5．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )
A．5 B.
C. D.
答案 B
解析 ∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11×＋10×2＝.故选B.
6．【多选题】已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，则( )
A．数列为等差数列
B．数列{an}为递增数列
C．数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1＋4
D．数列的前n项和Tn＝
答案 BD
解析 本题考查数列的递推公式及错位相减法求数列的前n项和．由2(n＋1)an－nan＋1＝0得＝2×，所以数列是以＝a1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝n·2n＋1，显然递增，故B正确；因为Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n＋2，所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2，故Sn＝(n－1)·2n＋2＋4，故C错误；因为＝＝n，所以数列的前n项和Tn＝＝，故D正确．故选BD.
7．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝________．
答案 5 050
解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＝5 050.
8．Sn＝＋＋…＋＝________．
答案
解析 ∵an＝＝＝，
∴Sn＝
＝＝.
9．已知an＝n＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
答案
解析 Sn＝(1＋2＋…＋n)＋＝.
10．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列{an}的通项公式an＝________，数列的前n项和Sn＝________．
答案
解析 本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和．由题意可知a1＝2，a2－a1＝3, a3－a2＝4，…，an－an－1＝n＋1，累加可得an＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，∴＝＝2(－)．∴Sn＝2×[＋(－)＋…＋]＝2＝.
11．数列{an}的前n项和为Sn＝10n－n2，求数列{|an|}的前n项和．
解析 易求得an＝－2n＋11(n∈N*)．
令an≥0，得n≤5；令an＜0，得n≥6.
记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则
当n≤5时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝10n－n2.
当n≥6时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a6－a7－…－an
＝2(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋an)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上，得Tn＝
12．求1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．
解析 当a＝1时，则an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当a≠1时，an＝＝(1－an)．
∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]
＝＝－.
∴Sn＝
13．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.
因为an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，
所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为an＝2n＋1，所以an2－1＝4n(n＋1)．
因此bn＝＝.
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
所以数列{bn}的前n项和Tn＝.
14．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，
故S1＝1，＝＋＋…＋.
所以，当n>1时，
＝a1＋＋…＋－
＝1－－
＝1－－＝.
所以Sn＝，S1也适合此式．
综上，数列的前n项和Sn＝.
15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析 (1)证明：由an＋1＝2an＋2n，两边同除以2n，
得＝＋1.
∴－＝1，即bn＋1－bn＝1，
∴{bn}为等差数列．
(2)由(1)得，＝＋(n－1)×1＝n.
∴an＝n·2n－1，
∴Sn＝20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1.①
∴2Sn＝21＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n.②
∴①－②，得－Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1.
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
16．(2016·课标全国Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解析 (1)设数列{an}的公差为d，
由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4，5时，2<<3，bn＝2；
当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9，10时，4<<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
答案 C
解析 由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.故选C.
2．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝2n－1.
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.
4.3.2特殊数列求和方法 同步作业（原卷版）
1．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A. B.
C. D.
2．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2
3．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为( )
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和T10＝( )
A. B.
C. D.
5．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )
A．5 B.
C. D.
6．【多选题】已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，则( )
A．数列为等差数列
B．数列{an}为递增数列
C．数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1＋4
D．数列的前n项和Tn＝
7．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝________．
8．Sn＝＋＋…＋＝________．
9．已知an＝n＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
10．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列{an}的通项公式an＝________，数列的前n项和Sn＝________．
数列{an}的前n项和为Sn＝10n－n2，求数列{|an|}的前n项和．
12．求1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．
13．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
14．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
16．(2016·课标全国Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
2．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2特殊数列求和方法 同步作业（解析版）
1．数列，，，…，，…的前n项和为( )
A. B.
C. D.
答案 B
2．数列1，2，3，4，…的前n项和为( )
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2
答案 A
3．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为( )
A．2n－1 B．n·2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
答案 D
解析 记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n.
4．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和T10＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 bn＝＝＝－，
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10
＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.
5．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为( )
A．5 B.
C. D.
答案 B
解析 ∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11×＋10×2＝.故选B.
6．【多选题】已知数列{an}的首项为4，且满足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，则( )
A．数列为等差数列
B．数列{an}为递增数列
C．数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)·2n＋1＋4
D．数列的前n项和Tn＝
答案 BD
解析 本题考查数列的递推公式及错位相减法求数列的前n项和．由2(n＋1)an－nan＋1＝0得＝2×，所以数列是以＝a1＝4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝n·2n＋1，显然递增，故B正确；因为Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n＋2，所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2，故Sn＝(n－1)·2n＋2＋4，故C错误；因为＝＝n，所以数列的前n项和Tn＝＝，故D正确．故选BD.
7．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝________．
答案 5 050
解析 原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝＝5 050.
8．Sn＝＋＋…＋＝________．
答案
解析 ∵an＝＝＝，
∴Sn＝
＝＝.
9．已知an＝n＋，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
答案
解析 Sn＝(1＋2＋…＋n)＋＝.
10．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列{an}的通项公式an＝________，数列的前n项和Sn＝________．
答案
解析 本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和．由题意可知a1＝2，a2－a1＝3, a3－a2＝4，…，an－an－1＝n＋1，累加可得an＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，∴＝＝2(－)．∴Sn＝2×[＋(－)＋…＋]＝2＝.
11．数列{an}的前n项和为Sn＝10n－n2，求数列{|an|}的前n项和．
解析 易求得an＝－2n＋11(n∈N*)．
令an≥0，得n≤5；令an＜0，得n≥6.
记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则
当n≤5时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝10n－n2.
当n≥6时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a6－a7－…－an
＝2(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋an)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
综上，得Tn＝
12．求1，1＋a，1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0)．
解析 当a＝1时，则an＝n，于是Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
当a≠1时，an＝＝(1－an)．
∴Sn＝[n－(a＋a2＋…＋an)]
＝＝－.
∴Sn＝
13．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.
因为an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，
所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为an＝2n＋1，所以an2－1＝4n(n＋1)．
因此bn＝＝.
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
所以数列{bn}的前n项和Tn＝.
14．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，
故S1＝1，＝＋＋…＋.
所以，当n>1时，
＝a1＋＋…＋－
＝1－－
＝1－－＝.
所以Sn＝，S1也适合此式．
综上，数列的前n项和Sn＝.
15．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析 (1)证明：由an＋1＝2an＋2n，两边同除以2n，
得＝＋1.
∴－＝1，即bn＋1－bn＝1，
∴{bn}为等差数列．
(2)由(1)得，＝＋(n－1)×1＝n.
∴an＝n·2n－1，
∴Sn＝20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1.①
∴2Sn＝21＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n.②
∴①－②，得－Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1.
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
16．(2016·课标全国Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解析 (1)设数列{an}的公差为d，
由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4，5时，2<<3，bn＝2；
当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9，10时，4<<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
答案 C
解析 由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.故选C.
2．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解析 (1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，
又a1＋a4＝9，可解得或(舍去)．
由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)Sn＝＝2n－1.
又bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.