人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2数列通项的求法 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2数列通项的求法 同步作业（原卷版）
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100＝(　　)
A．9 900　　　　　　　　 B．9 902
C．9 904 D．11 000
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项an为(　　)
A．2n－1 B．2n＋1
C. D.
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
4．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
5．一个正整数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：
第1行 1
第2行 2　　　3
第3行 4　　　5　　　6　　　7
… …
则第8行中的第5个数是(　　)
A．68 B．132
C．133 D．260
6．数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N*)，则bn＝________．
7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________．
8．在数列{an}中，a1＝3，且n(an＋1－2)＝(n＋1)(an＋2n－2)．
(1){an}的通项公式为________；
(2)在a1，a2，a3，…a2 019这2 019项中，被10除余2的项的个数为________．
9．(2016·浙江，理)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．
10．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
11．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(， )在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn.
13．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2018年底全地区的绿化率已达到30%，从2019年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，被改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．
(1)设全区面积为1，2018年底绿洲的面积为a1＝，经过1年(指2019年底)绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an＋1，求证：数列为等比数列；
(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求an的表达式．
　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.　
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
人教版高中数学选择性必修第二册
4.3.2数列通项的求法 同步作业（解析版）
1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a100＝(　　)
A．9 900　　　　　　　　 B．9 902
C．9 904 D．11 000
答案　B
解析　a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2
＝2×＋2＝9 902.
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项an为(　　)
A．2n－1 B．2n＋1
C. D.
答案　C
解析　∵an＋1＝，∴＝＋2.
∴为等差数列，公差为2，首项＝1.
∴＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝.
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
答案　A
4．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n＋1 D．4n－1
答案　A
5．一个正整数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：
第1行 1
第2行 2　　　3
第3行 4　　　5　　　6　　　7
… …
则第8行中的第5个数是(　　)
A．68 B．132
C．133 D．260
答案　B
解析　前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.
6．数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N*)，则bn＝________．
答案　
7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an，则数列{an}的通项公式an＝________．
答案　n
解析　an＝··…···a1
＝··…··＝n.
8．在数列{an}中，a1＝3，且n(an＋1－2)＝(n＋1)(an＋2n－2)．
(1){an}的通项公式为________；
(2)在a1，a2，a3，…a2 019这2 019项中，被10除余2的项的个数为________．
答案　(1)an＝2n2－n＋2　(2)403
解析　本题考查构造法求数列的通项．
(1)因为n(an＋1－2)＝(n＋1)(an＋2n－2)，所以＝＝＋2，即－＝2，则为等差数列，且首项为1，公差为2，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，故an＝2n2－n＋2.
(2)因为an＝n(2n－1)＋2，所以当n能被10整除或n为偶数且2n－1能被5整除时，an被10除余2，所以n＝8，10，18，20，…，2 010，2 018，故被10除余2的项数为＋1＝403.
9．(2016·浙江，理)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．
答案　1　121
解析　由解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.
10．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
答案　
解析　在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2，得a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．
把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋33.∴＝＝n＋－1≥2－1，当且仅当n＝，即n＝时取等号，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5＜＜6，∴当n＝5时，＝5－1＋＝，当n＝6时，＝6－1＋＝＝，∵＞，∴的最小值是.
11．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点(， )在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝4n－2
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn.
解析　(1)由已知，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)an＝×22n＝×4n＝2×4n－1，
∴{an}是等比数列，a1＝2，公比q＝4.
∴Sn＝＝－＋×4n.
13．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2018年底全地区的绿化率已达到30%，从2019年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，被改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．
(1)设全区面积为1，2018年底绿洲的面积为a1＝，经过1年(指2019年底)绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an＋1，求证：数列为等比数列；
(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．
解析　(1)证明：因为2018年底绿洲面积为a1＝，所以2018年底的沙漠面积为1－a1＝，经过n－1年后绿洲面积为an，沙漠面积为1－an，由题意得，再过一年，即经过n年后，绿洲面积为an＋1＝(1－an)×16%＋an(1－4%)，即an＋1＝an＋.
所以an＋1－＝.
又因为a1－＝－＝－，
所以数列是以为公比，－为首项的等比数列．
(2)由(1)知，an－＝×，所以an＝－·.
设经过n年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即an＋1>60%.
所以－·>，所以<.
验证当n＝1，2，3，4时，>.
当n＝5时，＝<，
故至少经过5年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求an的表达式．
解析　(1)证明：∵n≥2时，an＋2Sn·Sn－1＝0，
∴Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
∴－＝－2，即－＝2.
∴是以2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)＝2n，∴Sn＝.
∴当n＝1时，S1＝a1＝，当n≥2时an＝－＝.∴an＝
　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.　
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
解析　(1)证明：b1＝a2－a1＝1，
当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1，
∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋…＋
＝1＋＝1＋＝－，
当n＝1时，－＝1＝a1.
∴an＝－(n∈N*)．