11.3.2多边形的内角和 课件（24张PPT）

(共24张PPT)
人教版初中数学八年级(上)
第11章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
探究新知
情境导入
要点归纳
典例精讲
查漏补缺
课堂小结
提升能力
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？
情境导入
温故知新
多边形的内角和
多边形的内角和
01
多边形的外角和
02
知识要点
精讲精练
【问题1】三角形内角和是多少度？
三角形内角和是180 .
都是360 .
【问题2】你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
【问题3】猜想任意四边形的内角和是多少度？
猜想：四边形ABCD的内角和是360 .
【问题4】你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
探究新知
知识点一
多边形的内角和
方法1：如图，连接AC,
A
B
C
D
∴四边形ABCD内角和为180 ×2=360 .
∴四边形被分为两个三角形，
A
B
C
D
E
方法2：如图,在CD边上任取一点E,连接AE,DE，
∴四边形ABCD的内角和为
∴该四边形被分成三个三角形，
180×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180×3-180=360 .
探究新知
知识点一
多边形的内角和
方法3：如图,在四边形ABCD内部取一点E,连接AE,BE,CE,DE，
A
B
C
D
E
180 ×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=720 -360 =360 .
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
∴四边形ABCD内角和为：
探究新知
知识点一
多边形的内角和
A
B
C
D
P
方法4：如图,在四边形外任取一点P,连接PA,PB,PC,PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
∴四边形ABCD内角和为180 ×3-180 =360 .
结论：四边形的内角和为360°.
【问题5】你能仿照求四边形内角和的方法,选一种方法求五边形、六边形、n变形内角和吗
结论：多边形的内角和等于(n-2)×180 .
探究新知
知识点一
多边形的内角和
【例1-1】如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系 试说明理由.
解：如图,四边形ABCD中,∠A+∠C=180 .
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180=360
∵∠B+∠D=360 -(∠A+∠C)=360 -180 =180 .
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
典型例题
知识点一
多边形的内角和
【例1-2】一个多边形的内角和比四边形的内角和多720 ,并且这个多边形的各内角都相等,这个多边形的每个内角是多少度
解：设这个多边形边数为n,则
(n-2) 180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等,(8-2)×180 =1080 ，
∴它每一个内角的度数为1080 ÷8=135 ．
典型例题
知识点一
多边形的内角和
多边形的内角和
01
多边形的外角和
02
知识要点
精讲精练
如图,在五边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做五边形的外角和.
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
【问题2】五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
【问题1】任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
【问题3】这五个平角和与五边形的内角和,外角和有什么关系
n边形的外角和等于360°.
【问题4】回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
探究新知
知识点二
多边形的外角和
【例2-1】已知一个多边形,它的内角和等于外角和的2倍,
求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于(n-2) 180 ,多边形外角和等于360 ，
∴ (n-2) 180 =2×360 .解得n=6.
∴这个多边形的边数为6.
典型例题
知识点二
多边形的外角和
【例2-2】已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，
求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的内角为7x ,外角为2x ,根据题意得
7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140 ，每个外角是40 .
360 ÷40 =9.
答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？
解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意得
解得n=9.
典型例题
知识点二
多边形的外角和
1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( )
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( )
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
2.一个正多边形的内角和为720 ，则这个正多边形的
每一个内角等于______．
3.若一个正多边形的内角是120 ,那么这是正____边形.
4.已知多边形的每个外角都是45 ,则这个多边形是_____边形.
120
六
正八
基础训练
知识点二
多边形的外角和
5.如图所示,小华从点A出发,沿直线前进10米后左转24 ,再沿直线前进10米,又向左转24 ,…,照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,走的路程一共是_____米．
6.一个多边形的内角和不可能是( )
A.1800 B.540 C.720 D.810
7.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形内角和等于( ) A.360 B.540 C.720 D.900
150
D
B
基础训练
知识点二
多边形的外角和
多边形的内角和
内角和计算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关.
正多
边形
内角= ，外角=
知识梳理
课堂小结
多边形的内角和
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
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1
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4
1
3
2
4
1
3
你知道吗？
1.用形状、大小完全相同的任意
四边形可拼成一块无空隙的
地板,你知道这是为什么吗？
提升能力
强化训练
多边形的内角和
2.如图,在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,若BE∥DF,求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180 ，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90 ，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90 ，
故△DCF为直角三角形．
提升能力
强化训练
多边形的内角和
3.已知n边形的内角和θ=(n-2)×180 ．
(1)甲同学说,θ能取360 ；而乙同学说,θ也能取630 .甲、乙的说法对吗 若对,求出边数n.若不对,说明理由；
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360 ,用列方程的方法确定x．
解:(1)∵360 ÷180 =2,630 ÷180 =3…90 ，
∴甲的说法对,乙的说法不对，360 ÷180 +2=4.
故甲同学说的边数n是4；
(2)依题意有(n+x-2)×180 -(n-2)×180 =360 ，
解得x=2．故x的值是2．
提升能力
强化训练
多边形的内角和
4.一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125 ,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度 他求的是几边形的内角和
解：设此多边形的内角和为x,则有1125 ＜x＜1125 +180 ，
即180 ×6+45 ＜x＜180 ×7+45 ，
∵x为多边形的内角和,所以它是180 的倍数，
∴x=180 ×7=1260 .
∴7+2=9,1260 -1125 =135 .
∴漏加的这个内角是135 ,这个多边形是九边形．
提升能力
强化训练
多边形的内角和
5.如图,在五边形ABCDE中,∠C=100 ,∠D=75 ,∠E=135 ,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度数．
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540 ,∠C=100 ,∠D=75 ,∠E=135 ，
∴∠EAB+∠ABC=540 -∠C-∠D-∠E=230 .
∵AP平分∠EAB,∴∠PAB＝0.5∠EAB，
同理可得∠ABP＝0.5∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180 ，∴∠P=180 -∠PAB-∠PBA
=180 -0.5(∠EAB+∠ABC)=180 -0.5×230 =65 ．
提升能力
强化训练
多边形的内角和
6.一个正多边形的一个外角比一个内角大60 ，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x ,外角是y ,
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是360 ，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60 ，边数是三条．
提升能力
强化训练
多边形的内角和
7.如图,在正五边形ABCDE中,连接BE,求∠BED的度数．
解：由题意得
AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
提升能力
强化训练
多边形的内角和
8.如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
＝五边形的内角和
＝540°.
8
9
提升能力
强化训练
多边形的内角和