2022-2023学年苏科版数学八年级上册 2.5等腰三角形讲义（无答案）

2.5等腰三角形的轴对称性（等腰三角形）
知识梳理 【知识点1】等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°。 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ∠A＝180°－2∠B ∠B＝∠C＝ 【知识点2】等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 【知识点3】等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴。 【知识点4】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典型例题】 题型一：根据等腰三角形的性质，求边长或角度（注意分类讨论，以及需满足两边之和大于第三边的定理） 【例题】已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练】 1.一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长是（　　） A．8cm B．8cm或10cm C．10cm D．6cm或8cm 2.等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的腰长为（　　） A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm 3.已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝50°，则△ABC的顶角度数是（　　） A．50° B．50°或80° C．80° D．50°或65° 4.已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（　　） A．50° B．130° C．50°或 140° D．50°或 130° 5.已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 6．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（ ） A．12 B．15 C．12或15 D．17 7.等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数是___________． 8.在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　 　时，△ABC是等腰三角形． 9.用一条长为21cm的铁丝围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是5cm的等腰三角形吗？ 10.用一条长为24 cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长是6 cm的等腰三角形吗？为什么？ 题型二：等腰三角形的判定 【例题】如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】 1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B均在格点上，在图中给出的C1、C2、C3、C4四个格点中，能与点A、B构成等腰三角形，且面积为2的是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 2．如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 4．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5.已知：a、b、c是的三边，且满足．试判断该三角形的形状． 题型三：等腰三角形的性质证明 【例题】如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 【变式训练】 1.在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由． 2.已知：在中，为的中点，，，垂足分别为点、，且．求证：是等腰三角形． 3.如图，在四边形ABCD中，，AC平分，，交AD的延长线于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接BE，求证：AC垂直平分BE． 4.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：△ABC是等腰三角形． 5.如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，F是的中点连接． (1)求证：； (2)连接，若，． ①判断的形状，并说明理由； ②_________． 【过关检测】 选择题 1.如图，中，，则的度数为（ ） A. B． C． D． 2.等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　） A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm 4.如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交，于点D，E，连接．若，则的长为（ ） A．1 B． C．2 D． 5.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=（ 　） A． B． C． D． 6.如图，将等腰三角形纸片沿DE折叠，使点B与点A重合，并且AC=DC，∠BAC的度数为（ ） A．120° B．108° C．106° D．100° 填空题 1.在中，，点D是的中点，，则_____． 2.如图，在中，，，，点为的中点，则为____________． 3.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝　　cm． 4.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为 　　． 5.如图，AC=BC=12cm，∠B=15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为_____． 6.四边形ABCD中，∠A＝58°，∠C＝100°，连结BD，E是AD上一点，连结BE，∠EBD＝36°，若点A，C分别在线段BE，BD的垂直平分线上，则∠ADC的度数为________． 解答题 1.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点F、G． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6． 与的数量关系为． 求的长． （3）分别连接，，，若的周长为16，求的长． 已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：BE=CF； （2）求AE的长. 4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB． (1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数； (2)求证：BC＝2AB． 5.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证： (1)CD=BE． (2) 6.如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）； （3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．