人教版高中数学选择性必修第二册4.4数学归纳法第2课时 同步作业（含解析）

人教版高中数学选择性必修第二册
4.4数学归纳法第2课时 同步作业（原卷版）
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项公式为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)
A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34·34k＋1＋52·52k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式是Sn＝________．
4．用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
5．用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．
6．已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．
7．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*其中λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．
9．首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(an2＋3)，n∈N*.
(1)求证：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
(2)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．
1．设数列{an}的前n项和为Sn，方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n∈N*.
(1)求a1，a2；
(2)求{an}的通项公式．
2．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
人教版高中数学选择性必修第二册
4.4数学归纳法第2课时 同步作业（解析版）
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项公式为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案　B
2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)
A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34·34k＋1＋52·52k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
答案　A
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式是Sn＝________．
答案　
4．用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
证明　(1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时命题成立，即f(k)＝k(k－3)，那么，当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k－1条，则f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，
即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)(2)，可知命题对任意的n≥4，n∈N*都成立．
5．用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．
证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)(2)知命题成立．
6．已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．
解析　推测Sn＝(n∈N*)．
用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，即Sk＝，那么当n＝k＋1时，
Sk＋1＝Sk＋
＝＋
＝
＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．
7．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有S1＝a1＝－，S2＝－＝－，
S3＝－＝－，S4＝－＝－.
由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
②假设n＝k(k∈N*)时猜想成立，即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－＝－＝－.
即n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任意n∈N*，猜想结论均成立．
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*其中λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．
解析　(1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
(2)由(1)可猜想数列的通项公式an＝(n－1)λn＋2n.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝2，等式成立．
②假设当n＝k时等式成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，那么ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝λ(k－1)λk＋λ·2k＋λk＋1＋2k＋1－λ·2k
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.
即当n＝k＋1时等式也成立，根据①和②可知，等式对任何n∈N*都成立．
9．首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(an2＋3)，n∈N*.
(1)求证：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
(2)若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．
解析　(1)证明：已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n∈N*，an都是奇数．
(2)方法一：由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，an＋1>an当且仅当an<1或an>3时成立．
另一方面，若0若ak>3，则ak＋1>＝3.
根据数学归纳法，03 an>3，n∈N*.
综上所述，对一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是03.
方法二：由a2＝>a1，得a12－4a1＋3>0，于是03.
an＋1－an＝－
＝，
因为a1>0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号．根据数学归纳法，任意n∈N*，an＋1－an与a2－a1同号．
因此，对一切n∈N*都有an＋1>an的充要条件是03.
1．设数列{an}的前n项和为Sn，方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n∈N*.
(1)求a1，a2；
(2)求{an}的通项公式．
解析　(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，于是－a2－a2＝0，解得a2＝.
所以a1＝，a2＝.
(2)因为方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，
所以(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0(*)
由(1)知，S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝，由(*)可得S3＝，由此猜想Sn＝，n∈N*.
下面用数学归纳法证明这个结论：
①当n＝1时，已知结论成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即Sk＝.
当n＝k＋1时，由(*)得Sk＋1＝，
所以Sk＋1＝＝＝.
故当n＝k＋1时结论也成立．
根据①②可知，Sn＝对所有正整数n都成立．
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
又因为当n＝1时，a1＝＝，符合此通项公式，
所以{an}的通项公式为an＝，n∈N*.
2．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋<.
解析　(1)由条件得
2bn＝an＋an＋1，an＋12＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，即
ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，
bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)证明：＝<.
当n≥2时，由(1)知
an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n.
故＋＋…＋
<＋[＋＋…＋]
＝＋(－＋－＋…＋－)
＝＋(－)<＋＝.