数学：第三章 三角恒等变换 3.1.1　两角差的余弦公式学案（人教A版必修4）

第三章　三角恒等变换
§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1　两角差的余弦公式
自主学习
知识梳理
1.如图所示，在平面直角坐标系xOy内作 ( http: / / www.21cnjy.com )单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则A点坐标是________________，B点坐标是______________，向量＝______________，向量＝______________.·＝______________.另一方面·＝|| ·||·cos∠AOB＝____________.
2．两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.
自主探究
灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例 ( http: / / www.21cnjy.com )如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．
对点讲练
知识点一　给角求值
例1　求下列各式的值．
(1)sin 195°＋cos 105°；
(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．
回顾归纳　(1)公式C(α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；
(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．
变式训练1　求下列各式的值．
(1)cos；
(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．
知识点二　给值求值
例2　设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos .
回顾归纳　三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
变式训练2　已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．
知识点三　给值求角型
例3　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．
回顾归纳　(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．
变式训练3　已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
1．公式C(α－β)是三角恒等式，既可正用，也可逆用，要注意公式的结构名称、特征、灵活变换角或名称．
2．公式C(α－β)中的角 ( http: / / www.21cnjy.com )α、β为任意角，既可以代表具体的角，也可以代表代数式．可以把α、β视为一个“代号”，将公式标记作：cos( －△)＝cos cos△＋sin sin△.
课时作业
一、选择题
1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得(　　)
A．cos α B．cos β
C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)
A．α＝π，β＝π B．α＝π，β＝π
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
3．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.
4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　)
A．－ B. C. D.
5．若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　)
A. B．－ C. D．1
二、填空题
6．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.
7．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
三、解答题
8．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
9．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
第三章　三角恒等变换
§3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1　两角差的余弦公式
答案
知识梳理
1．(cos α，sin α)　(co ( http: / / www.21cnjy.com )s β，sin β)　(cos α，sin α)　(cos β，sin β)　cos αcos β＋sin αsin β　cos(α－β)
2．cos αcos β＋sin αsin β
自主探究
解　方法一　15°＝60°－45°
cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝×＋×＝.
方法二　15°＝45°－30°，
cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
对点讲练
例1　解　(1)原式＝cos 105°＋sin 195°
＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝cos 105°＋cos 105°
＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2×(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2×＝.
(2)原式＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(45°－α)·cos(15°＋90°＋α)
＝cos(α－45°)cos(15°＋α)－sin(45°－α)sin(15°＋α)
＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)
＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
变式训练1　解　(1)原式＝cos
＝coscos＋sinsin＝.
(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)·sin(x－40°)
＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(70°－x)·sin(x－40°)
＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋sin(x＋20°)·sin(x－40°)
＝cos[(x＋20°)－(x－40°)]
＝cos 60°
＝.
例2　解　∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝
＝ ＝，
cos＝ ＝ ＝.
∴cos ＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝－×＋×＝.
变式训练2　解　因为α∈，sin α＝<，
所以0<α<.
又因为α－β∈，cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－，
所以cos α＝＝＝，
sin(α－β)＝－
＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
例3　解　∵α、β∈且cos α＝，
cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
变式训练3　解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝，
α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，
α－β∈ 2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
课时作业
1．B　2.A
3．C　[sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．
sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝·＋·＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]
4．B　[∵sin(π＋θ)＝－，
∴sin θ＝，θ是第二象限角，
∴cos θ＝－.
∵sin＝－，∴cos φ＝－，
φ是第三象限角，
∴sin φ＝－.
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.]
5．B　[由题意知
①2＋②2 cos(α－β)＝－.]
6.
7.
解析　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝.
8．解　∵α∈，tan α＝4，
∴sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
9．解　∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵<α＋β<2π，
sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵<α－β<π，<α＋β<2π，
∴<2β<，∴2β＝π，∴β＝.