数学:第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学案(人教A版必修4)

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名称 数学:第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学案(人教A版必修4)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2014-11-28 08:39:21

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文档简介

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
自主学习
知识梳理
1.两角和与差的正切公式
(1)T(α+β):tan(α+β)=__________________.
(2)T(α-β):tan(α-β)=__________________.
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α+β)的变形:
tan α+tan β=__________________.
tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=______________.
tan α·tan β=__________________.
(2)T(α-β)的变形:
tan α-tan β=__________________.
tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=________________.
tan αtan β=__________________.
自主探究
根据同角三角函数关系式完成公式T(α+β)、T(α-β)的推导过程.
∵sin(α+β)=__________________.
cos(α+β)=__________________.
∴tan(α+β)==____________=_________________________________.
∵tan(α-β)=tan[α+(-β)]
∴tan(α-β)=________________=________________.
对点讲练
知识点一 化简求值
例1 求下列各式的值.
(1);(2)tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°.
回顾归纳 公式T(α+β),T(α-β) ( http: / / www.21cnjy.com )是变形较多的两个公式,公式中有tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者知二可表示或求出第三个.
变式训练1 求下列各式的值.
(1);(2)tan 36°+tan 84°-tan 36°tan 84°.
知识点二 给值求角
例2 若α,β均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,求α+β.
回顾归纳 此类题是给值求角题,解题步骤如下 ( http: / / www.21cnjy.com ):①求所求角的某一个三角函数值,②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,会使求出的角不合题意或者漏解.
变式训练2 已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,求角α+β.
知识点三 三角形中的问题
例3 已知△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B=tan Atan B-1,试判断△ABC的形状.
回顾归纳 三角形中的问题,A+B+C=π肯定要用,有时与诱导公式结合,有时利用它寻找角之间的关系减少角.
变式训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
1.公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α+β(或α-β)的终边不能落在y轴上,即不为kπ+ (k∈Z).
2.公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如tan =1,tan =,tan =等.
要特别注意tan=,tan=.
3.公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β,tan αtan β时,有灵活应用公式T(α±β)的意识,就不难想到解题思路.
课时作业
一、选择题
1.已知α∈,sin α=,则tan的值等于(  )
A. B.7 C.- D.-7
2.若sin α=,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tan β的值是(  )
A. B.- C.-7 D.-
3.已知tan α=,tan β=,0<α<,π<β<,则α+β的值是(  )
A. B. C. D.
4.A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是(  )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
5.化简tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°的值等于(  )
A.1 B.2 C.tan 10° D.tan 20°
二、填空题
6.已知α、β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)=________.
7.如果tan α,tan β是方程x2-3x-3=0两根,则=________.
8.已知tan=2,则的值为________.
三、解答题
9.求下列各式的值.
(1);(2)(1-tan 59°)(1-tan 76°).
10. 如图,在平面直角坐标系xOy中,以 ( http: / / www.21cnjy.com )Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.
123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16
579 68 10
100/6=
18*37+154+16*33-2 666 512
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
答案
知识梳理
1.(1) (2)
2.(1)tan(α+β)(1-tan αtan β) tan(α+β)
1-
(2)tan(α-β)(1+tan αtan β) tan(α-β) -1
自主探究
sin αcos β+cos αsin β
cos αcos β-sin αsin β
 
对点讲练
例1 解 (1)原式=
=tan(45°-15°)=tan 30°=.
(2)∵tan 60°==.
∴tan 20°+tan 40°=(1-tan 20°tan 40°)
∴原式=(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°tan 40°
=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°
=.
变式训练1 解 (1)原式=
=tan(60°+15°)=tan 75°
=tan(30°+45°)
==
=2+.
(2)原式=tan 120°(1-tan 36°tan 84°)-tan 36°·tan 84°
=tan 120°-tan 120°tan 36°tan 84°-tan 36°·tan 84°=tan 120°=-.
例2 解 ∵(1-tan α)(1-tan β)=2,
∴1-(tan α+tan β)+tan αtan β=2,
∴tan α+tan β=tan αtan β-1
∴=-1.∴tan(α+β)=-1.
∵α,β∈.∴α+β∈(π,2π).
∴α+β=.
变式训练2 解 由已知得
∴tan α、tan β均为负.
∴tan(α+β)===.
∵tan α<0,tan β<0,∴-<α<0,-<β<0.
∴-π<α+β<0,∴α+β=-.
例3 解 ∵tan A+tan B=tan Atan B-1,
∴(tan A+tan B)=tan Atan B-1,
∴=-,
∴tan(A+B)=-.
又∵0∵tan B+tan C+tan Btan C=,tan C=,
∴tan B++tan B=,tan B=,
∴B=,∴A=,∴△ABC为等腰三角形.
变式训练3 证明 ∵A+B+C=π,
∴A+B=π-C.
∴tan(A+B)==-tan C.
∴tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C.
即tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
课时作业
1.A 2.C 3.C
4.A [tan A+tan B=,tan A·tan B=,
∴tan(A+B)=,∴tan C=-tan(A+B)=-,
∴C为钝角.]
5.A [原式=tan 10°tan 20°+tan 20°+ tan 10°
=(tan 10°+tan 20°+tan 10°tan 20°)
=×=1.]
6.1
解析 tan β==.
∴tan β+tan αtan β=1-tan α.
∴tan α+tan β+tan αtan β=1.
∴tan α+tan β=1-tan αtan β.
∴=1,∴tan(α+β)=1.
7.-
解析 ∵tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两根,∴tan α+tan β=3,tan αtan β=-3,
∴=
===-.
8.
解析 ∵tan=2,
∴=2,解得tan α=.
∴=
===.
9.解 (1)原式=
==tan 15°=tan(45°-30°)
===2-.
(2)原式=1-tan 59°-tan 76°+tan 59°tan 76°
=1-(tan 59°+tan 76°)+tan 59°tan 76°
=1-tan 135°(1-tan 59°tan 76°)+tan 59°tan 76°
=1+1-tan 59°tan 76°+tan 59°tan 76°=2.
10.解 由条件得cos α=,cos β=.
∵α,β为锐角,
∴sin α==,
sin β==.
因此tan α==7,tan β==.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)∵tan 2β===,
∴tan(α+2β)===-1.
∵α,β为锐角,
∴0<α+2β<,
∴α+2β=.