数学：第三章 三角恒等变换 3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学案（人教A版必修4）

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
自主学习
知识梳理
1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________.
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝__________________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________.
tan α·tan β＝__________________.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝__________________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________.
tan αtan β＝__________________.
自主探究
根据同角三角函数关系式完成公式T(α＋β)、T(α－β)的推导过程．
∵sin(α＋β)＝__________________.
cos(α＋β)＝__________________.
∴tan(α＋β)＝＝____________＝_________________________________.
∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]
∴tan(α－β)＝________________＝________________.
对点讲练
知识点一　化简求值
例1　求下列各式的值．
(1)；(2)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°.
回顾归纳　公式T(α＋β)，T(α－β) ( http: / / www.21cnjy.com )是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．
变式训练1　求下列各式的值．
(1)；(2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
知识点二　给值求角
例2　若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
回顾归纳　此类题是给值求角题，解题步骤如下 ( http: / / www.21cnjy.com )：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．
变式训练2　已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β.
知识点三　三角形中的问题
例3　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
回顾归纳　三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．
变式训练3　已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角．求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋ (k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特别注意tan＝，tan＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.
课时作业
一、选择题
1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于(　　)
A. B．7 C．－ D．－7
2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是(　　)
A. B．－ C．－7 D．－
3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是(　　)
A. B. C. D.
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　)
A．1 B．2 C．tan 10° D.tan 20°
二、填空题
6．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
7．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
8．已知tan＝2，则的值为________．
三、解答题
9．求下列各式的值．
(1)；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以 ( http: / / www.21cnjy.com )Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16
579 68 10
100/6=
18*37+154+16*33-2 666 512
3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)　(2)
2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β)　tan(α＋β)
1－
(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β)　tan(α－β)　－1
自主探究
sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
　
对点讲练
例1　解　(1)原式＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
(2)∵tan 60°＝＝.
∴tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)
∴原式＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°
＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°
＝.
变式训练1　解　(1)原式＝
＝tan(60°＋15°)＝tan 75°
＝tan(30°＋45°)
＝＝
＝2＋.
(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°·tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－.
例2　解　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1
∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.
∵α，β∈.∴α＋β∈(π，2π)．
∴α＋β＝.
变式训练2　解　由已知得
∴tan α、tan β均为负．
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∵tan α<0，tan β<0，∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
例3　解　∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－.
又∵0∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰三角形．
变式训练3　证明　∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C.
∴tan(A＋B)＝＝－tan C.
∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C.
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
课时作业
1．A　2.C　3.C
4．A　[tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．]
5．A　[原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)
＝×＝1.]
6．1
解析　tan β＝＝.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
7．－
解析　∵tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，
∴＝
＝＝＝－.
8.
解析　∵tan＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
∴＝
＝＝＝.
9．解　(1)原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°
＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.
10．解　由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，
∴α＋2β＝.