数学：第三章 三角恒等变换 3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学案（人教A版必修4）

3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
自主学习
知识梳理
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________.
S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝________，其α、 ( http: / / www.21cnjy.com )β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与__________互余．
(2)若α＋β＝______，其α，β为任 ( http: / / www.21cnjy.com )意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与________互补，__________与π－α互补．
自主探究
以两角差的余弦公式为基础，结合三角函数诱导公式，就可以推导出公式C(α＋β)，S(α＋β)，S(α－β)，试完成下列推导过程．
C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(本章基础公式)
(1)C(α＋β)的推导过程：
cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝ ( http: / / www.21cnjy.com )________________________＝________________________.
(2)S(α＋β)的推导过程：
sin(α＋β)＝cos＝cos＝______________＝__________________.
(3)S(α－β)的推导过程：
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝________________＝______________________________.
对点讲练
知识点一　化简求值
例1　化简求值．
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan 10°－)·.
回顾归纳　解答此类题一般要先用诱导公式把角化正化小，化切为统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
变式训练1　化简求值．
(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
(3)sin －cos .
知识点二　给值求值
例2　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
回顾归纳　解答此类题目的关键是角的变换，通过灵活拆角、凑角沟通已知角与问题中角之间的联系．例如本题中把2α视为(α－β)与(α＋β)的和．
变式训练2　已知α、β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
知识点三　证明三角恒等式
例3　已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
回顾归纳　证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
变式训练3　证明：－2cos(α＋β)＝.
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：
sin＝sinπcos α－cossin α＝－cos α.
2．使用和差公式时不仅要会 ( http: / / www.21cnjy.com )正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.
课时作业
一、选择题
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)
A. B. C. D.
2．已知A、B均为钝角，sin A＝，sin B＝，则A＋B的值为(　　)
A. B. C. D.
3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
4．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
5．已知sin α＝，cos β＝－，α为第二象限角，β为第三象限角．则sin(α＋β)＋sin(α－β)的值为________．
6．若锐角α、β满足cos α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值是________．
7.＝________.
三、解答题
8．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.
9．已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
答案
知识梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β
2．sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β
3．(1)　＋α　－α
(2)π　π－α　α＋
自主探究
(1)cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)
cos αcos β－sin αsin β
(2)coscos β＋sinsin β
sin αcos β＋cos αsin β
(3)sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
sin αcos β－cos αsin β
对点讲练
例1　解　(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋
cos(27°＋x)·sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]
＝sin 45°＝.
(2)原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－＝－2.
变式训练1　解　(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
(3)方法一　原式＝2×
＝2×
＝－2cos
＝－2cos ＝－.
方法二　原式＝2×
＝2×
＝2sin＝－2sin ＝－.
例2　解　因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝
＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
变式训练2　解　∵α、β均为锐角，
sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，
∴α－β＝－.
例3　证明　sin(2α＋β)＝3sin β
sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α
tan(α＋β)＝2tan α.
变式训练3　证明　－2cos(α＋β)
＝
＝
＝
＝＝.
课时作业
1．A　[sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.故选A.]
2．A
3．D　[cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.
∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.]
4．C　[∵sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝2cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0.
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]
5．－
解析　sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β)＝2sin αcos β＝－.
6.
解析　∵0<α<，0<β<，cos(α＋β)＝>0，
∴0<α＋β<.
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
7.
解析　原式＝
＝
＝＝tan 60°＝.
8．解　∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－.
∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos[(β－α)＋α]
＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α
＝×－×＝.
∴β＝.
9．解　∵0<α<<β<
∴<＋α<π，－<－β<0.
又sin＝，cos＝
∴cos＝－，sin＝－.
cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.