数学：第三章 三角恒等变换 3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式学案（人教A版必修4）

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式
自主学习
知识梳理
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝.
2．倍角公式常用变形
(1)＝________，＝________；
(2)(sin α±cos α)2＝____________；
(3)sin2α＝____________，cos2α＝____________.
(4)1－cos α＝____________，1＋cos α＝____________.
自主探究
如何用tan 表示sin α，cos α，tan α.(结论不要求记忆)
对点讲练
知识点一　化简求值
例1　求下列各式的值．
(1)coscosπ；(2)－cos215°.
回顾归纳　解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．
变式训练1　求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；
(2)tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)．
知识点二　化简或证明
例2　求证：＝tan4 A.
回顾归纳　利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．
变式训练2　化简：.
知识点三　条件求值
例3　若cos＝－，求的值．
回顾归纳　本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．
变式训练3　已知sin＝，01．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝.
课时作业
一、选择题
1．函数y＝2cos2(x－)－1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
2．若＝－，则cos α＋sin α的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
3．若sin＝，则cos的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
4．若＝1，则的值为(　　)
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
二、填空题
6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.
7．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈，则α＝________.
8．已知tan ＝3，则＝______.
三、解答题
9．已知cos＝，≤α<，求cos的值．
10．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(，)，若a·b＝且3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案
知识梳理
2．(1)cos α　sin α　(2)1±sin 2α
(3)　　(4)2sin2　2cos2
自主探究
解　sin α＝2sin cos ＝
＝；
cos α＝cos2－sin2＝
＝；
tan α＝＝.
对点讲练
例1　解　(1)原式＝cos·sin
＝sin＝.
(2)原式＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°
＝－.
变式训练1　解　(1)原式＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝·cos 10°
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·2
＝·(sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°)
＝
＝＝－1.
例2　证明　∵左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4 A＝右边．
∴＝tan4 A.
变式训练2　解　方法一　原式
＝
＝
＝
＝tan θ
方法二　原式＝
＝
＝＝tan θ.
例3　解　
＝
＝
＝sin 2x＝sin 2xtan
＝costan
＝tan，
∵∴－<－x<－π.
又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－.
∴原式＝×＝－.
变式训练3　解　原式＝
＝＝2sin.
∵sin＝cos＝，且0∴＋x∈，
∴sin＝ ＝，
∴原式＝2×＝.
课时作业
1．A　[因为y＝2cos2(x－)－1＝cos(2x－)
＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.]
2．C　[＝＝－(sin α＋cos α)＝－.∴sin α＋cos α＝.]
3．B　[cos＝－cos[π－]
＝－cos＝－[1－2sin2]
＝2sin2－1＝－.]
4．A　[∵＝1，∴tan θ＝－.
∴＝＝
＝＝＝3.]
5．C　[∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∵<<，∴sin <0.
由sin2＝＝，
∴sin ＝－.]
6．－
解析　∵tan(π＋2a)＝－，
∴tan 2α＝－＝，
∴tan α＝－或tan α＝2.
又α在第二象限，∴tan α＝－.
7.
解析　∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈.∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．
∴α＝.
8．3
解析　＝
＝＝tan ＝3.
9．解　sin 2α＝－cos＝－cos2
＝1－2cos2＝，
∵≤α<π，
∴π≤α＋<π，π≤2α<3π.
又cos>0，∴π<α＋<π，
∴π<α<π，π<2α<3π，
∴cos 2α＝－＝－，
∴cos＝cos 2α·cos －sin 2α·sin
＝－.
10．解　∵a·b＝cos x＋sin x
＝2sin＝.
∴sin＝，∵∴∴cos＝－，tan＝－.
∴＝cos·tan
＝·
＝·
＝·＝－.