数学：第三章 三角恒等变换 3.2　简单的三角恒等变换学案（人教A版必修4）

3.2　简单的三角恒等变换
自主学习
知识梳理
1．半角公式
(1)S：sin ＝__________；(2)C：cos ＝________；
(3)T：tan ＝________________＝________________＝__________(有理形式)．
2．辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________
其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．
自主探究
1．试用cos α表示sin2、cos2、tan2.
2．证明：tan ＝＝.
对点讲练
知识点一　半角公式的应用
例1　已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan 的值．
回顾归纳　在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．
变式训练1　已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos .
知识点二　利用辅助角公式研究函数性质
例2　已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
回顾归纳　研究形如f(x)＝asin2ω ( http: / / www.21cnjy.com )x＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝Asin(ω′x＋φ)＋B的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．
变式训练2　已知函数f(x)＝sin(x＋)＋sin＋cos x＋a(a∈R)．
(1)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(2)若函数f(x)在上的最大值与最小值的和为，求实数a的值．
知识点三　三角函数在实际问题中的应用
例3　如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
回顾归纳　利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．
变式训练3　某工人要从一块圆心角为45°的 ( http: / / www.21cnjy.com )扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．
1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．
2．形如f(x)＝asin x＋bcos ( http: / / www.21cnjy.com )x，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f(x)＝sin(x＋φ) (φ由sin φ＝，cos φ＝确定)进而研究函数f(x)性质．
如f(x)＝sin x±cos x＝sin，
f(x)＝sin x±cos x＝2sin等.
课时作业
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
2．如果|cos θ|＝，<θ<3π，那么sin 的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．a>b>c B．aC．a4．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)
A. B.
C. D.
5．函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)的最小正周期为(　　)
A．2π B．π C. D.
二、填空题
6．函数y＝cos x＋cos的最大值是________．
7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．
8．已知函数f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为________．
三、解答题
9．已知向量a＝(sin(＋x)，cos x)，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)如果三角形ABC中，满足f(A)＝，求角A的值．
10．已知函数f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋b (a>0)的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．
§3.2　简单的三角恒等变换
答案
知识梳理
1．(1)± 　(2)±
(3)± 　　
2.　　点(a，b)
自主探究
1．解　∵cos α＝cos2－sin2＝1－2sin2
∴2sin2＝1－cos α，sin2＝. ①
∵cos α＝2cos2－1，∴cos2＝ ②
由得：tan2＝.
2．证明　∵＝＝tan .
∴tan ＝，同理可证：tan ＝.
∴tan ＝＝.
对点讲练
例1　解　∵sin θ＝，<θ<3π.
∴cos θ＝－＝－.
又<<.
∴cos ＝－＝－＝－.
tan ＝＝＝2.
变式训练1　解　∵α为钝角，β为锐角，
sin α＝，sin β＝.
∴cos α＝－，cos β＝.
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×＋×＝.
又∵<α<π，0<β<，
∴0<α－β<π.0<<.
∴cos ＝＝＝.
例2　解　(1)∵f(x)＝sin
＋2sin2
＝sin2＋1－cos2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
变式训练2　解　(1)f(x)＝sin＋
sin＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a
＝2sin＋a，
解不等式2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得y＝f(x)的单调增区间是
(k∈Z)．
(2)当x∈时，－≤x＋≤，sin∈，
∴f(x)的值域是[－＋a,2＋a]．
故(－＋a)＋(2＋a)＝，即a＝－1.
例3　解　在直角三角形OBC中，
OB＝cos α，BC＝sin α.
在直角三角形OAD中，＝tan 60°＝.
∴OA＝DA＝BC＝sin α，
∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin－.
由于0<α<，所以<2α＋<，
所以当2α＋＝，
即α＝时，S最大＝－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
变式训练3　解　
如图所示，连OC，
设∠COB＝θ，则0<θ<，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD
＝cos θ－sin θ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC
＝(cos θ－sin θ)·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ
＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ
＝(sin 2θ＋cos 2θ)－
＝cos－
∴当2θ－＝0，即θ＝时，Smax＝(m2)，
∴割出的长方形桌面的最大面积为(m2)．
课时作业
1．C　2.C
3．C　[由题可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a4．D　[f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
令k＝0得增区间为.]
5．B　[f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin＋.∴T＝π.]
6.
解析　(1)y＝cos x＋cos
＝cos x＋cos xcos －sin xsin
＝cos x－sin x
＝
＝cos.
当cos＝1时，y有最大值.
7．－
解析　3sin x－cos x＝2
＝2sin.∴φ＝－.
8．π
解析　由＝2，∴a＝3，
∴f(x)＝－sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝π.
9．解　(1)由题意知，
f(x)＝sin xcos x＋＋cos 2x
＝sin(2x＋)＋
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z
最小正周期为π，单调增区间为
[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋.
∵f(A)＝，∴sin(2A＋)＝0，
又∵A∈(0，π)，∴<2A＋<，
∴2A＋＝π或2π，
∴A＝或.
10．解　f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋b
＝2a·－asin 2x＋b
＝－(asin 2x＋acos 2x)＋a＋b
＝－2asin＋a＋b
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π.
∴－≤sin≤1.
∵a>0，∴f(x)max＝2a＋b＝4，f(x)min＝b－a＝－5.
由，得.