数学： 第三章 三角恒等变换 章末检测（人教A版必修4）

第三章 三角恒等变换　章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
3．tan 15°＋等于(　　)
A．2 B．2＋ C．4 D.
4．在△ABC中，tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于(　　)
A．45° B．135° C．150° D．30°
5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是(　　)
A. B. C. D.
6．函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝π D．x＝
7．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为(　　)
A.＋1 B.－1
C. D．2
8．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为(　　)
A. B．－
C．2 D.或－
9．已知cos＝，则cos的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
10．已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
11．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
12．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．方程sin x＋cos x－a＝0有解，则实数a的取值范围是________．
14.的值是________．
15．已知α是第三象限角且sin α＝－，则tan＝________.
16.2002年在北京召开的国际数学家大 ( http: / / www.21cnjy.com )会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<.
求：tan(α＋β)及α＋β的值．
18．(12分)求值：－.
19.(12分)在三角形ABC中，sin(A－B)＝，
sin C＝，求证：tan A＝2tan B.
20．(12分)求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．
21.(12分)已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
22．(12分)已知函数f(x)＝2sin2－·cos 2x.
(1)求f(x)的周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
第三章　章末检测
答案
1．D　[
＝cos2－sin2＝cos ＝.]
2．C　[原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15°
＝sin 30°＝，故选C.]
3．C　[原式＝＋＝
＝＝4.]
4．A　[由题意得tan A＋tan B＝－1＋tan Atan B.
∴tan(A＋B)＝＝－1，
∴A＋B＝135°，C＝45°.]
5．A　[∵0<θ<，∴θ＋∈，
∴又sin θ＋cos θ＝sin，
16．C　[y＝sin·cos＋
cos·sin＝sin
＝sin＝cos x，故选C.]
7．A　[y＝2sin2x＋2sin xcos x
＝sin 2x＋1－cos 2x
＝sin＋1
∴ymax＝＋1.]
8．B　[∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，
化简得tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，
∴tan θ＝－.]
9．D　[cos＝－cos
＝－cos＝－
＝.]
10．B　[sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，
∴sin α＋cos α＝.
两端平方，∴1＋sin 2α＝.∴sin 2α＝－.]
11．C　[y＝sin x＋cos x＝sin
y＝sin x－cos x＝sin
＝sin]
12．A　[由于α∈，β∈，
因此α－β∈(0，π)．
又由于cos(α－β)＝>0，
因此α－β∈(0，)．
sin(α－β)＝且cos β＝，sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝.]
13．[－2,2]
解析　∵a＝sin x＋cos x＝2sin.
∴－2≤a≤2.
14．1
解析　∵＝
＝tan 45°＝1.
∴＝1.
15．－
解析　∵α是第三象限角，sin α＝－.
∴cos α＝－.
∴tan ＝＝＝－.
16.
解析　由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈.
∴cos θ－sin θ＝.
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
得cos θ＋sin θ＝.
∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
17．解　∵tan α、tan β为方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，
∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
18．解　原式＝－
＝
＝
＝
＝＝＝4.
19．证明　∵A＋B＋C＝π.
∴C＝π－(A＋B)．
∴sin C＝sin(A＋B)＝.
∴sin Acos B＋cos Asin B＝①
∵sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝②
由①②联立得：
得：＝2.
∴tan A＝2tan B.
20．解　y＝7－4sin xcos x＋4cos2x －4cos4x
＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin 2x＋sin22x
＝(1－sin 2x)2＋6.
当sin 2x＝1时，ymin＝6；
当sin 2x＝－1时，ymax＝10.
21．解　(1)因为f(x)＝coscos
＝
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
所以f(x)的最小正周期为＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.
h(x)取得最大值时，对应的x的集合为
.
22．解　(1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得单调递增区间为(k∈Z)．
(2)x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．